С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Матрице ЛА соответствует оператор В, действующий но правилу: Вх = (ЛА)х = ЛАх, т.е. оператор ЛА. Следовательно, указанное соответствие являегся изоморфизмом. Теорема доказана. Следствие. йгоА(Ь", Ь™) = тп. 3. Образ оператора. Определение 1. Мыожестоо значений линейного оператора А называется образом этого оператора и обозначается так: пи А. Таким образом, пи А = А(Ь").
Замечание. Ясно, что если А — линейный оператор, действующий из Ь" в Ьы, то 1ш А С Ьы (т. е. 1ш А являетсн подмножеством Ь ). Более гого, шг А — это линейное подпространство Ь™. В самом деле: 1' если ум уз Е ппА, т.е. уг = Ах, и уз = Ахз при некоторых хм хм тоА(х1 +хе) =Ах, +Ахг =у, +уг,т.е. у, +уз е ппА; 2' если у Е 1ш А, т. е, у = Ах, то А(Лх) = ЛАх = Лу, г. е. Лу Е пп А. Теорема. с1пп пп А = гана А. Доказательство. Пусть А .— линейный оператор, действующий из Ь" в Ь . Имеем: А(х) = А(2 хге,) = 2 х,А(е,), поэтому пи А = т=-1 г=1 = Ь(А(ег), ..., А(е„)), т.
е. пп А — это линейная оболочка столбцов матрицы А, которая, очевидно, совпадает с линейной обшючкой базисных столбцов. Поскольку базисные столбцы линейно независимы и их количество равно рангу матрицы А, то йпз пи А = тапи А. Теорема доказана. С л е д с т в и е. йш пп А < и. Определение 2. Рогозом линейного оператора называется ранг его матрицы. Из доказанной теоремь1 шгедует, что ранг оператора, будучи равным размерности его образа, нс зависит от выбора базисов.
3 а м е ч а н и е. Пусть ппА — линейное дополнение образа оператора А, действующего из Ь" в Ь . Каждый ненулевой вектор у этого пространства не имеег прообраза. Иными словами, система уравнений Ах = у не имеет решений (в противном случае оказалось бы, что у б пп А, чего не может быть, поскольку (гпА С пп А = о). Ясно, что йш ппА + йгп пп А = т. 4. Ядро оператора. Определение.
Множество всех аргументов х линейного оператора Ах, для которых Ах = о, называелпся ядром этого оператора и обозначается так: 1сег А. Операторы, действующие иг Ье в 1 97 3 а м е ч а н и е. В арифметическом пространстве 1сег А — это множество решений однородной системы линейных уравнений Ах = о. Следовательно,1сег А — это линейное надпространство того пространства,из которого действует оператор А.
Т е о р е м а. Пусть А — линейный оператор, действующий из Ь" в Ьт. Тогда с1ппппА+ с1пп1сегА = и,. Доказательство. с1!ш1сегА — это размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений Ах = о. Следовательно, с1!ш 1сег А = и — гапк А = и — с1пп пп А. Теорема доказана. Замечание. Пусть 1сегА — линейное дополнение ядра оператора А, действующего из 1 и в Ет. Для каждого ненулевого вектора х этого пространства имеет место неравенство Ах ф о (в противном случае оказалось бы, что х е 1сег А, чего не может быть, поскольку ГегА П 1сег А = о).
Ясно, что с1!ш1сегА+ с1!ш1сегА = п, поэтому из доказанной теоремы следует равенство сйш ЙегА = с1пп пп А. 5. Произведение операторов. О и р е д ел е н и е. Пусть  — линейный оператор, действующий из Ьп в 1 ~, А — линейный оператор, действующий из 1 ь в Ьт. Произведением АВ нагываетсл отобрижение С Ь" в Ь™ вида: С(х) = А(Вх). Поскольку АВ(х+ у) = А(Вх+ Ву) = АВ(х) + АВ(у) и АВ(Лх) = = А(ЛВх) = ЛАВ(х), то А — линейный оператор. Теорема 1. Матрица оператора АВ равна АВ. Доказательство. Пусть у = АВ(х). Имеем: Й у и и ь «,=г ..!~ь«„*„)=~~~ ьь„)*„. «=С ь — — ! « — — с «=ь Теорема доказана. Следствие.
Произведение операторов обладает всеми свойствами произведения матриц. Теорема 2, гапяАВ < гапиА и гапкАВ < гапяВ. Д о к аз а тел ь от в о. Справедливость этого утверждения легко усматривается из следующего схематического рисунка. 'пп А —: В самом деле, ппА — это то, во что оператор А переводит ппВ. Следовательно, с!!ш пп АВ < с!1ш пп В (см. следствие из теоремы п. 3), т.
е. 7 С.Ь Кепеыцее !'л 2. Линейные операторы гапиАВ < гапиВ. Дюсее, пи В С г.", а значит, ппАВ С ппА. Поэтому й1шппАВ < йпсшсА, т.е. ганя АВ < ганя А. Теорема доказана. Замечание. Пользуясь рисунком, нетрудно найти точное значение разности гапя — гапиАВ. Действительно, если рассматривать оператор А как действующий из ппВ в ппАВ, то (согласно теореме п.4) можно написать так: й1шш~А~; и + йш1сегА~;ып = с1шг1шВ. Но йшпиА~ы,п = йспппАВ = ганя АВ, йш1сегА~ьп и = с1пп(1сегА 11 Ппи В), йшпп В = гани В. Таким образом, ганя  — гани АВ = йш(1сег А и 1пс В). й 2.
Операторы, действующие из Ь" в 1" 1. Тождественный оператор и обратный оператор. Особого внимания заслуживает случай, когда размерность того пространства, из которого действует линейный оператор, совпадает с размерностью того пространства, в которое он действует. В этом случае обычно считают, что указанные пространства совпадают ) . Иными словами, под линейным оператором, сс действующим из Ьп в 1", понимают оператор, переводящий элементы пространства 1 " в элементы этого же пространства.
Напомним, что для определения матрицы линейного оператора, действующего из Ьп в 1, необходимо задать два базиса: один в пространстве Т ", а другой -- в пространстве Ь"'. Если же эти пространства совпадают, то необходимость введения двух базисов отпадает — достаточно одного базиса. Тем самым, матрица линейного оператора, действующего из п 1 и в 1 ", определяется равенствами: А (е ) = ~ , 'а, е,. =1 Оп р од ел ение 1.
Отображение Е 1" в г." вида Е(х) = х пазыоаетсл тождестеепн м оператором. Ясно, что Е(х) — линейный оператор. Замечание. Матрица тождественного оператора е любом базисе единичная. В самом деле, из равенства Ае, = е, следует, что у сзго столбца этой матрицы с-ый элемент равен 1, а нсе остальные элементы равны О. Определение 2. Линейный оператор А с, действующий из Тп е Т ", нлзыеаетсл обратным по отношению к оператору А, если АА '=Е.
Замечание 1. Линейным оператором, обратным по отношению к оператору А, является оператор с мотрицей А с, поскольку произведение этой матрицы на матрицу А должно быть равно Е. Из этого следует, что оператор А ' существует тогда и гполько тогда, когда с1ес А ~ О, т.е. тогда и только тогда, когда гапиА = и (или 1сегА = о, так как й1ш1сегА = п — гапиА).
') Это предположение не ограничивает общности рассмотрения, поскольку все и-мсрпыс пространства изоморфны друг другу. Операторы, действующие из Ь" в Ь 99 Заме чан не 2. Если оператор А действует из Ь" в Ь"', то и операторы Аг = АА, Аз = АЛА, ... действуют из Ь" в Ь". При этом, очевидно, А~'"ч = А"АЩ Считают также, что Ао = Е и А и = (А г)и (если, конечно, оператор А г существует). 2. Инварнантные надпространства.
Определение. Подпространслпво Ь ч Ь' называется инвараантным подпрострапством линейного опертпора А, действующего из Ь" в Ь", если для любого х й Ь Ах Е Ь. Иными словами, надпространство Ь называется инвариантным подпространством оператора А, если А(Ь) С Ь. Примерами инвариантных подпространстн могут служить ЬР и о. Теорема 1. Длл любого напгурольного к' надпространства 1сег Ль, пи А" являютпся инвариантными подпростронствалт операглора А.
Доказательство. Если х б 1сегАь, т.е. А"х = о, то А" (Ах) = = А(А"х) = Ао = о, поэтому Ах б нег А". Если х б пи Аь, т. е. х = Аьу для некоторого у, то Ах = А(Алу) = = А" (Ау), и, следовательно, Ах е ппА". Теорема доказана. Следствие. !щА~ ' ' ~ 1щАг, поскольку пи А"+' = А(!щАл) С пи А". Теорема 2. Если Ь" = Ьг б! Ьг, причем Ь1 и Ьз инвариантные надпространства оператора А, то в некотором базисе матрица оператора А имеет вид А= (О с), где  — матрица опертпора, действующего из Ьг в Ьы С вЂ” матргща оператора, действующего из Ьг в Ьг, а матрицы Ог и Ог состоят из нулей.
Доказательство. Пусть еы ...,еь базис пространства Ьы е;,,~, ...,е, — базис пространства Ьг, и, следовательно, еы ...,е„— базис пространства Ь". Рассмотрим матрицу оператора А н этом базисе. п Поскольку при всех з < й А(ед) = 2,' а, ег й Ь(еы ..., еь), то при всех а=! 1 > й и д < й агд = О. Полагам би = а,з пРи Ь д < к, полУчаем матРицУ оператора В, действующего нз Ь1 в Ьы в базисе еы ..., еы Аналогично находим: а, = О при всех г < й и з > л. Полагая с, = аб ь! 1..ь! при Ь г > й, получаем матрицу оператора С, действующего из Ьг в Ьз, в базисе еь, г, ..., е„.
Теорема доказана. 3 ам е ч а н и е. Пусть Ь вЂ” инвариантное надпространство оператора А. Линейный оператор В, действующий из Ь в Ь и совпадающий с А на подпространстве Ь, называется сузсением оператора А на инвариантное надпространство Ь. Обращаясь к доказанной теореме, можно сказать, что операторы В и С представляют собой сужения оператора А на инвариантные надпространства Ьг и Ьз. 3. Образ н ядро. Специфика рассматриваемого случая состоит в том, что ядро и образ оператора А, а значит и линейные дополнения к ним, Гл 2.
100 Линейные операторы оказываются лежащими в одном и том же пространстве Ь". При этом с11гпппА + йсп1сегА = йгпппА + йсп1сегА = и, с1ппппА = с1пп1сегА и, следовательно, йгп1сегА = д1шппА. Это, однако, не означает, что, например, пространство Ьп предсчавляет собой прямую сумму образа и ядра. Изучение взаимного расположения указанных четырех надпространств составит основную цель этого и следующего пунктов. Существенную роль в наших рассуждениях будет играть формула, выведенная в конце п. 5 0 1: гана  — ганя АВ = с1пп(1сегА Г1 пи В). Теорема 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
