Главная » Просмотр файлов » С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра

С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 24

Файл №1113054 С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра) 24 страницаС.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054) страница 242019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

набор чисел). Именно параллельное рассмотрение указанных интерпретаций в наибольшей мере способствует эффективному построению линейной алгебры. Например, то, что размерность образа линейного оператора не превосходит размерности его области определения, отнюдь не очевидно геометрически, но очевидно алгебраически — ранг матрицы не превосходит количества ее строк. С другой стороны, то, что ранг произведения операторов не превосходит рангов сомножителей, почти очевидно геометрически 1вспомним рисунок), но далеко не очевидно алгебраически. Идея параллельного рассмотрения геометрической и алгебраической интерпретации вектора как рвз и лежит в основе понятия тензора.

При изучении геометрического объекта методом координат мы фактически заменяем его новым обьектом: «геометрический объект е система координата. Поэтому итогом нашего исследования является информация об этом новом объекте, а не об исходном. Тем самым, на последнем этапе всегда возникает задача о разделении полученной информации на чисто геометрическую и ту, которая привнесена специальным выбором системы координат. Иногда эта задача оказывается весьма сложной. Один из способов ее решения состоит в том, чтобы все время оперировать только такими объектами (их и называют тензорами), которые, в определенном смысле, не зависят от выбора системы координат.

Поясним, о чем идет речь. Если интерпретировать вектор как набор чисел, то он, конечно, будет зависеть от выбора системы координат. Однако вектор — направленный отрезок — от выбора системы координат, очевидно, не зависит. Но с этой точки зрения такие объекты, как линейный оператор, линейная, билинейная и полилинейная форма также не зависят от выбора Преобразование базисов и координат системы координат —. их можно интерпретировать как функции ог направленных отрезков.

Все эти объекты и называются тснзорами. С алгебраической точки зрения вектор, линейный оператор, линейная, билинейная и полилинейная форма — это наборы чисел, преобразующиеся при переходе к новому базису по формулам 13) — 17). Рассмотрение этих формул приводит нас к следующему определению. О п р е д ел е н и е. Геометрический объект, задаваемый в каждом бгьзисе пространства Ь" совокупностью пг~ ч чисс, называетсяр раз кввариантным и $7 раз контравариантиым теизором, если при переходе к новому базису зти числа преобразуются так; 1 Зг" Зч »1 «Рагг ЗЗ«1Р1 ...$., $1-Лр $1 ' ' ' $» »1 ' ' Рч '$1..$»' В этих формулах матрица сз встречается р раз, а матрица Д вЂ” д раз, чем и объясняется название «р раз ковариантный и д рвз контравариантный тензор». Иногда этот тензор называют теизором типа (р, $7), а число р+$1— его валснтиостью или рангом.

Обратим внимание на то, что числа р и д представляют собой количества нижних и верхних индексов 1, что является формальным следствием принятого нами соглашения о суммировании. Тем самым, можно сказать, что вектор — это тензор типа 10, 1), линейный оператор — тензор типа 11111), линейная форма — тснзор типа (1, О), билинейная форма — тензор типа (2,0), полилинейная форма -- тензор типа (йг О). Замечание. Полезно в качестве самостоятельного упражнения убедиться в корректности определения тензора: если сначала перейти от базиса (е ) к базису (е',1, а затем от базиса (е'$) — к базису (е.;1, то результат будет таким же, как при переходе от базиса (е;) непосредственно к базису (е,).

2. Сумма тензоров одинаковой структуры. О п ре де лен не. Суммой А+В двух тензоров типа(р, $1) называется объект С, определяемый в каждом биисс пространства 1Р совокупностью и"тч чисел с '"' ' = а '"' ' + 6 "" '. гг .Лр $1. Лр $1.,.гр' Теорема. Сумма двух тензорвв типа (р, д) является тсизором типа (р,д). Доказательство.

Имеем; -Зг" М вЂ” Р,, ~гг...чч гг,.Лр $1.,.$» Вг . Вр — гх*1 ов~ згзг $«зч 1 ""ч + „»1 „в»гззг Глзч~ 1.. $« $1 ''' гр $1''' гч Вг...з„г ''' гр 1''' -ч Вг...з„ гр Рг ''' Рч Вг...рр ' Вг..гр $1 ''' гр Рг ''' Рч Вг...чр Теорема доказана. 3. Прямое произведение тензоров. Определение. Прямым произведением тензора А типа (рз,«1з) иа теизор В типа (рт,дз) называется объект. С, определяемый в каждом 119 Тензоры базисе пространства 1 и совокупностью пг' ч»! чтг 2»2 чисел ,21'''Зч! 'З21 22 б '' Зч! 6221 1'"221 !' 2 с ' =а '!" 1Р1" гр1.!Р2 г1" гр1 1Р1 1 "лр1.Р Т е о р е м а.

Прямое произведение тензора А типа (рг, дг) на тензор В пшпа (рю 212) является те!мором типа (р! + рч, у! -'р 92). Доказательство. с~ ои У" !'2 = аг лнбг" г„...гр ..Лр р. 11..ЛР гр Р1..ЛР гр„ в! Рм,»2! лгн г'1" 'ч! Рр!Р1 Ур Р1 — ' Р2 лгч! ! ! лгч! 122 1 ч! ! 1' »1 ! 22 Ы».рг Мчч! ! .. ~~21-22!'Рм+!. РР!Ррг 21 21 Р!Р Р1РР2Д31 ч ''' гр! 'р! ! ' 121!Рч 121 лг 1-1 л! ! — 22 21» Рп 132! !1 Зч! 12 Д ч! ч! !' '' ' 21! 22 !" Рг~гр!Р1. лр1РР2 „в! „Вю „Вргвг „Вр! Ррг лв! лгч! лгчгв! ллгчгрчг 21 —.Рн".Рчгвчг что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е. Если все компоненты тензора типа (р, д) в каждом базисе умножить на одно и го же число Л, т.е, составигь прямое произведение данного тензора и тензора типа (Ог О) г то получится тензор типа (р, ц).

Ясно, что множество всех тензоров типа (р, 21) в 1 " образует линейное пространство, так как при фиксированном наборе индексов складываются н умножаются на число обычные числа. Его размерность равна и" '», поскольку координаты тензора в одном базисе могут быть выбраны произвольно, а в любом другом базисе —. вычислены по формулам (9). 4. Свертка тензора. Определение. Сверчпкой тензора типа (р, д), где р, ц > 1, по двум индексам, один из которых нижний, а другой — верхний, назъгвается обвект, определяемый в каждом базисе пространства Ь" совокупностью и"+» ' чисел, которые строятся так; указанные индексы переобозначаются одной буквой, в результате чего сверху и снизу оказывается одип и тот же индекс и, следовательно, по нему производится суммирование.

Теорема. Свертка гпензора А типа (р, д) яв яется тензором типа (р — 1, ц — 1). Доказательство. Пусть, например, свертка осуществляется по первым индексам (в остальных случаях доказательство аналогичное). Имеем: 932 Зч 222 Зч 21 Р лв !»22 12.. гр 212...гр В г! ! г! ! !'ч В!...В! Поскольку о„'1,32 = б ', то из суммы по з! остается одно слагаемое— то, в котором з! = г!.

Тем самым, бгг" 22 вг вр !»22 !»22 г !г Р..рч в* ~р г»вг г»вчб г "гч 12 гр 12 ''' гр! 12 '' "г РЧ 2122...ВР 12 ''' 1Р 22 ''' РЧ 22...ВР! что и требовалось доказать. Гл 3. Превбразова ие базисов и координат 120 Замечание 1. Теперь при желании можно полностью перейти на язык тензоров, отказавшись от употребления слов «векторз, «линейная форма», «линейный оператор» и т. д.

Приведем несколько примеров. Рассмотрим тензор аз гила (1, 0) (линейную форму) и тензор хз типа (0,1) (вектор). Их прямое произведение а,хз — это тензор типа (1, 1). Следовательно, его свертка а,хз —. это тензор типа (О, 0), т.е. число, не зависящее от выбора базиса (оно представляет собой значение линейной формы А при аргументе х). Другой пример: если Ь,.

— тензор типа (2, 0) (билинейная форма), хз и у' — тензоры типа (О, 1) (векторы), то Ь,.хзуз это тензор типа (0,0), т. е. число, не зависящее от выбора базиса (оно представляет собой значение билинейной формы при аргументах х,у). Аналогично, если аз — тензор типа (1, 1) (линейный оператор), х'— тензор типа (О, 1) (вектор), то аз х' — это тензор типа (О, 1) (вектор, представляющий собой результат действия линейного оператора на вектор х). Замечание 2. Линейный оператор — это тензор типа (1, 1), поэтому его свертка а, '— это тензор тина (О, 0), т.

е, число, не зависящее от выбора базиса. Это число обозначается эр А и называется следом оператора А. Оно предо«валяет собой сумму диагональных элементов матрицы оператора. Тем самым, ар А, равно как и с1еб А (и. 2 3 2), не зависиг от выбора базиса. Это ясно и из других соображений. Собственные значения оператора, очевидно, не зависят от выбора базиса. Следовательно, от выбора базиса не зависят и коэффициенты характеристического уравнения, поскольку они выражаются через корни этого уравнения. Но вр А — это коэффициент при Л!" з з, а с1ес А — это коэффициент при Л".

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6556
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее