С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 24
Текст из файла (страница 24)
набор чисел). Именно параллельное рассмотрение указанных интерпретаций в наибольшей мере способствует эффективному построению линейной алгебры. Например, то, что размерность образа линейного оператора не превосходит размерности его области определения, отнюдь не очевидно геометрически, но очевидно алгебраически — ранг матрицы не превосходит количества ее строк. С другой стороны, то, что ранг произведения операторов не превосходит рангов сомножителей, почти очевидно геометрически 1вспомним рисунок), но далеко не очевидно алгебраически. Идея параллельного рассмотрения геометрической и алгебраической интерпретации вектора как рвз и лежит в основе понятия тензора.
При изучении геометрического объекта методом координат мы фактически заменяем его новым обьектом: «геометрический объект е система координата. Поэтому итогом нашего исследования является информация об этом новом объекте, а не об исходном. Тем самым, на последнем этапе всегда возникает задача о разделении полученной информации на чисто геометрическую и ту, которая привнесена специальным выбором системы координат. Иногда эта задача оказывается весьма сложной. Один из способов ее решения состоит в том, чтобы все время оперировать только такими объектами (их и называют тензорами), которые, в определенном смысле, не зависят от выбора системы координат.
Поясним, о чем идет речь. Если интерпретировать вектор как набор чисел, то он, конечно, будет зависеть от выбора системы координат. Однако вектор — направленный отрезок — от выбора системы координат, очевидно, не зависит. Но с этой точки зрения такие объекты, как линейный оператор, линейная, билинейная и полилинейная форма также не зависят от выбора Преобразование базисов и координат системы координат —. их можно интерпретировать как функции ог направленных отрезков.
Все эти объекты и называются тснзорами. С алгебраической точки зрения вектор, линейный оператор, линейная, билинейная и полилинейная форма — это наборы чисел, преобразующиеся при переходе к новому базису по формулам 13) — 17). Рассмотрение этих формул приводит нас к следующему определению. О п р е д ел е н и е. Геометрический объект, задаваемый в каждом бгьзисе пространства Ь" совокупностью пг~ ч чисс, называетсяр раз кввариантным и $7 раз контравариантиым теизором, если при переходе к новому базису зти числа преобразуются так; 1 Зг" Зч »1 «Рагг ЗЗ«1Р1 ...$., $1-Лр $1 ' ' ' $» »1 ' ' Рч '$1..$»' В этих формулах матрица сз встречается р раз, а матрица Д вЂ” д раз, чем и объясняется название «р раз ковариантный и д рвз контравариантный тензор». Иногда этот тензор называют теизором типа (р, $7), а число р+$1— его валснтиостью или рангом.
Обратим внимание на то, что числа р и д представляют собой количества нижних и верхних индексов 1, что является формальным следствием принятого нами соглашения о суммировании. Тем самым, можно сказать, что вектор — это тензор типа 10, 1), линейный оператор — тензор типа 11111), линейная форма — тснзор типа (1, О), билинейная форма — тензор типа (2,0), полилинейная форма -- тензор типа (йг О). Замечание. Полезно в качестве самостоятельного упражнения убедиться в корректности определения тензора: если сначала перейти от базиса (е ) к базису (е',1, а затем от базиса (е'$) — к базису (е.;1, то результат будет таким же, как при переходе от базиса (е;) непосредственно к базису (е,).
2. Сумма тензоров одинаковой структуры. О п ре де лен не. Суммой А+В двух тензоров типа(р, $1) называется объект С, определяемый в каждом биисс пространства 1Р совокупностью и"тч чисел с '"' ' = а '"' ' + 6 "" '. гг .Лр $1. Лр $1.,.гр' Теорема. Сумма двух тензорвв типа (р, д) является тсизором типа (р,д). Доказательство.
Имеем; -Зг" М вЂ” Р,, ~гг...чч гг,.Лр $1.,.$» Вг . Вр — гх*1 ов~ згзг $«зч 1 ""ч + „»1 „в»гззг Глзч~ 1.. $« $1 ''' гр $1''' гч Вг...з„г ''' гр 1''' -ч Вг...з„ гр Рг ''' Рч Вг...рр ' Вг..гр $1 ''' гр Рг ''' Рч Вг...чр Теорема доказана. 3. Прямое произведение тензоров. Определение. Прямым произведением тензора А типа (рз,«1з) иа теизор В типа (рт,дз) называется объект. С, определяемый в каждом 119 Тензоры базисе пространства 1 и совокупностью пг' ч»! чтг 2»2 чисел ,21'''Зч! 'З21 22 б '' Зч! 6221 1'"221 !' 2 с ' =а '!" 1Р1" гр1.!Р2 г1" гр1 1Р1 1 "лр1.Р Т е о р е м а.
Прямое произведение тензора А типа (рг, дг) на тензор В пшпа (рю 212) является те!мором типа (р! + рч, у! -'р 92). Доказательство. с~ ои У" !'2 = аг лнбг" г„...гр ..Лр р. 11..ЛР гр Р1..ЛР гр„ в! Рм,»2! лгн г'1" 'ч! Рр!Р1 Ур Р1 — ' Р2 лгч! ! ! лгч! 122 1 ч! ! 1' »1 ! 22 Ы».рг Мчч! ! .. ~~21-22!'Рм+!. РР!Ррг 21 21 Р!Р Р1РР2Д31 ч ''' гр! 'р! ! ' 121!Рч 121 лг 1-1 л! ! — 22 21» Рп 132! !1 Зч! 12 Д ч! ч! !' '' ' 21! 22 !" Рг~гр!Р1. лр1РР2 „в! „Вю „Вргвг „Вр! Ррг лв! лгч! лгчгв! ллгчгрчг 21 —.Рн".Рчгвчг что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е. Если все компоненты тензора типа (р, д) в каждом базисе умножить на одно и го же число Л, т.е, составигь прямое произведение данного тензора и тензора типа (Ог О) г то получится тензор типа (р, ц).
Ясно, что множество всех тензоров типа (р, 21) в 1 " образует линейное пространство, так как при фиксированном наборе индексов складываются н умножаются на число обычные числа. Его размерность равна и" '», поскольку координаты тензора в одном базисе могут быть выбраны произвольно, а в любом другом базисе —. вычислены по формулам (9). 4. Свертка тензора. Определение. Сверчпкой тензора типа (р, д), где р, ц > 1, по двум индексам, один из которых нижний, а другой — верхний, назъгвается обвект, определяемый в каждом базисе пространства Ь" совокупностью и"+» ' чисел, которые строятся так; указанные индексы переобозначаются одной буквой, в результате чего сверху и снизу оказывается одип и тот же индекс и, следовательно, по нему производится суммирование.
Теорема. Свертка гпензора А типа (р, д) яв яется тензором типа (р — 1, ц — 1). Доказательство. Пусть, например, свертка осуществляется по первым индексам (в остальных случаях доказательство аналогичное). Имеем: 932 Зч 222 Зч 21 Р лв !»22 12.. гр 212...гр В г! ! г! ! !'ч В!...В! Поскольку о„'1,32 = б ', то из суммы по з! остается одно слагаемое— то, в котором з! = г!.
Тем самым, бгг" 22 вг вр !»22 !»22 г !г Р..рч в* ~р г»вг г»вчб г "гч 12 гр 12 ''' гр! 12 '' "г РЧ 2122...ВР 12 ''' 1Р 22 ''' РЧ 22...ВР! что и требовалось доказать. Гл 3. Превбразова ие базисов и координат 120 Замечание 1. Теперь при желании можно полностью перейти на язык тензоров, отказавшись от употребления слов «векторз, «линейная форма», «линейный оператор» и т. д.
Приведем несколько примеров. Рассмотрим тензор аз гила (1, 0) (линейную форму) и тензор хз типа (0,1) (вектор). Их прямое произведение а,хз — это тензор типа (1, 1). Следовательно, его свертка а,хз —. это тензор типа (О, 0), т.е. число, не зависящее от выбора базиса (оно представляет собой значение линейной формы А при аргументе х). Другой пример: если Ь,.
— тензор типа (2, 0) (билинейная форма), хз и у' — тензоры типа (О, 1) (векторы), то Ь,.хзуз это тензор типа (0,0), т. е. число, не зависящее от выбора базиса (оно представляет собой значение билинейной формы при аргументах х,у). Аналогично, если аз — тензор типа (1, 1) (линейный оператор), х'— тензор типа (О, 1) (вектор), то аз х' — это тензор типа (О, 1) (вектор, представляющий собой результат действия линейного оператора на вектор х). Замечание 2. Линейный оператор — это тензор типа (1, 1), поэтому его свертка а, '— это тензор тина (О, 0), т.
е, число, не зависящее от выбора базиса. Это число обозначается эр А и называется следом оператора А. Оно предо«валяет собой сумму диагональных элементов матрицы оператора. Тем самым, ар А, равно как и с1еб А (и. 2 3 2), не зависиг от выбора базиса. Это ясно и из других соображений. Собственные значения оператора, очевидно, не зависят от выбора базиса. Следовательно, от выбора базиса не зависят и коэффициенты характеристического уравнения, поскольку они выражаются через корни этого уравнения. Но вр А — это коэффициент при Л!" з з, а с1ес А — это коэффициент при Л".