Главная » Просмотр файлов » С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра

С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 28

Файл №1113054 С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра) 28 страницаС.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054) страница 282019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Его матрица при переходе к новому базису преобразуется так: А = БАе. Магрица тензора типа (2, 0) (билинейной или квадрагичной формы) преобразуется так: В = сг"'Во. Но при ортогональном преобразовании Б = о'", поэтому эти две формулы становятся одинаковыми. С этим, в частности, связана «путаница» с верхними и нижними индексами, иногда возникающая при рассмотрении ортонормированных базисов. 4. Самосопряженпый оператор. Определение. Лиггейггый оператор А иазыоаетсл самосоггрлзюеииым, если А* = А.

Тем самым, можно сказать, что в любом ортоиормироваином базисе матрица самосопрязкеииого операгпора си метрична: а, = а,. Теорема 1. Все корпи кариктеришпического уравпенил длл сачосопрлзсштого оператори веществегты. Доказательство. Допустим, что указанное характеристическое уравнение имеет корень Л + гд, т.е. г1е1(А — (Л + гд)Е) = О. Тогда однородная система Ак = (Л е гд)к имеет нетривиальное решение к = х+ + гу: А(х+ гу) = (Л + гр)(х+ гу), или Ах+ гАу = Лх — ду+ г(Лу+ дх), Операторы в Е 1ЗЗ откуда Ах = Лх — ру ( Ау = Лу + рх ) Умножая скалярно первое уравнение на ( — у), второе — на х и складывая их, получаем: — (Ах, у) + (х, Ау) = д(~х~э + ~у~г).

Но левая час гь этого равенства равна нулю, поскольку оператор А — самосопряженный. Следовательно, р = О. Теорема доказана. Теорема 2. Длл любого самосопрлженного оператора существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Доказательство. Заметим сначала, что если х — собственный вектор самосопряженного оператора А, у2 х, то Ау ' х. В самом деле, (х, Ау) = (Ах, у) = Л(х,у) = О. Таким образом, ортогональное дополнение надпространства 1 (х) является инвариантным подпространством оператора А. Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Найдем какое-нибудь собственное значение Л1 (его существование гарантирует теорема 1) и соответствующий ему единичный собственный вектор еы Ортогональное дополнение надпространства 1 (ег) является инвариантным подпространством оператора А, поэтому теперь можно рассматривать оператор А только на нем.

Найдем какое-нибудь собственное значение Лг и соответствующий ему единичный собственный вектор ею после чего будем рассматривать оператор А только на ортогональном дополнении надпространства В(ем еэ) и т, д, В результате мы построим ортонормированный базис из собственных векторов е„ег, ...,е„. Теорема доказана. Следствие. Длл любого самосопрлзюенного оператора существует такой ортояормированный базис, в котором его матрица диагональна. 3 а м е ч а н и е 1. Справедливо и обратное утверждение: если существует оргпопормированный базис, в котором матрица оператора диагон льна, то 'этот оператор — с мосопрлженпый, поскольку в указанном базисе матрица этого оператора симметрична.

Замечание 2. Отметим, что в том базисе, в котором матрица ортогонального оператора А имеет вид, указанный в теореме 3 п. 2, матрица А + Аы диагональна, Попробуйте объяснить этот факт и, основываясь на Вашем обьяснении, привести еще одно доказательство упомянутой теоремы. 5. Квадратичная форма в Еп. Теорема.

Длл любой квадратичной или си етричной билинейной формы существуегп такой ортонормированпый базис, в котором ее матрица диагональна Доказательство. Рассмотримсначалапроизвольныйортонормированный базис и запишем в нем матрицу данной квадратичной или симметричной билинейной формы. Рассмотрим теперь самосопряженный оператор с такой же матрицей и построим ортонормированный базис из его собственных векторов. В нем матрица оператора диагональна. Но переход !"л 4. Ев лидово пространство 134 от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису — это ортогональное преобразование, а при таких преобразованиях матрицы оператора и квадратичной или билинейной формы преобразуются одинаково. Следовательно, построенный ортонормированный базис— искомый. Теорема доказана.

Следствие. В линейном пространсгпве над полем К длл люб х двух квадратичных или си метричпых билинейных форм, одна из которых— полооюительпо определеюпзл, существует такой базис, в котором мазпраца одной иг них единичная, а другой диагональная. В самом деле, принимая положительно определенную симметричную билинейную форму (данную, или гу, из которой получена данная положительно определенная квадратичная форма) за скалярное произведение, мы сможем построить такой ортонормированный базис, в котором матрица второй квадратичной или симметричной билинейной формы диагональна. В 4. Гиперповерхности второго порядка 1.

Система координат. Добавим теперь последнюю, %группу аксиом Вейля. Будем считагь, что наряду с векторами в ст имеются точки, а также правило, по которому любой упорядоченной паре точек А, В ставится в соответствие вектор АВ. При этом: 1' для любого вектора х и любой точки О суи1ествует единственнаа »почка М такая, что ОМ = х (откладывание вектора от данной точки); 2' для любых точек А, В и С имеет место равенство АВ+ВС = АС !правило треугольника). Следствие 1.

Для любой точки А меет место равенство АА = = о. В самом деле, прибавляя к обеим частям равенства АА+ АА = АА вектор ( — АА), получим; АА+ о = о, откуда АА = о. Следствие 2. Для лзобых точек А и В имеет место равенство ВА = — АВ. Действительно, АВ й ВА = АА = о.

Определение. Сисзпемой координата Ох~... х" называется совокупность ортонормированного б зиса 1е,) и точки О (качала координат), а координатами точки М вЂ” координаты век»пора ОМ в базисе 1ез). Ясно, что каждая точка ЛХ имеет вполне определенный набор координат хз, ..., х"; обратно, для любых чисел хз, ..., хв существует ровно одна точка ЛХ с координатами х, ..., х" !это следует из аксиомы 1 ).

Иными словами, соответствие ЛХ ~-~ (х~, ..., хп) является взаимно однозначным. Тот факт, что точка ЛХ имеет координаты хз, ..., х" будем обозначать так; ЛХ1х~, ..., х"). Пусть Ох~, ...,х" — «старая» система координат, Охз, ...,х"-- «новая», О (о'', ..., о"). Выразим «новые» координаты точки ЛХ через се «старые» координаты. Для этого заметим, что «новые» координаты точки М вЂ” это координаты вектора ОМ в «новой» системе координат. Найдем сначала координаты этого вектора в «старой» системе координат. 1 ипврновврхности второго порядка Согласно аксиоме 2' и следствию 2 имеем: ОМ = ОО + ОМ = — ОО + + ОМ =. (х~ — о, ..., хо — оо). Следовательно, х' = Д,' (х' — о').

Таким образом, переход от «старой» системы координат к «новой» осуществляется при помощи параллельного переноса на вектор ОО и ортогонального преобразования, поскольку «старый«и «новый» базисы— ортонормированные. Из полученных формул следует, что старые координаты выражаются через новыс так: х' = а',х' + о', где о = (э~". 2. Каноническое уравнение гиперповерхности второго порядка. Множество всех точек ЛХ(х", ..., х"), координаты которых удовлетворяют уравнению ((х, ..., хв) = О, называется гинерповерхностью. В частности, если г(х~, ..., х") = а«х' + Ь и 2, а«ф О, то гиперповерхность называется гиперпяоскостью. Примерами гиперплоскостей могут служить прямая на плоскости и плоскость в пространстве.

Множество всех точек йб(х, ..., х"), координаты которых удовлетворяют уравнению а«х'хд + 2Ь;х' + с = О, где 2" а~ ф О, называется гиперповехностью второго порядка. Прн переходе к новому базису по формулам х« = а',х«это уравнение преобразуется тнк; (о с«";а,„) х'хо + + 2 (о,'Ь«) х' + с = О.

Следовательно, А(х,х) = а«.х'хг квадратичная форма, В(х) = Ь,х' — линейная форма. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением ортонормнрованных базисов и, следовательно, не делаем различия между ковариантными и контравариантными тензорами, то линейную форму В(х) можно рассматривать как скалярное произведение вектора 1эна вектор х: В(х) = (1э,х). Уравнение гипсрповерхности второго порядка можно существенно упростить, если перейти к новой системе координат.

Делается это, вообще говоря, в трн этапа. 1'. Не меняя начала координат, выполним такое ортогональное преобразование, при котором матрица А примег диагональный вид. Само уравнение при этом перепишется так: Л, (х') + 2 ~ ~Ь,х' + с = О. Здесь 1« = ганя А < и, Л«ф О. 2«. Сделаем теперь параллельный перенос, полагая при «( 1«х' = у' — Ь,/Л«. В результате уравнение примет вид Л;(у*) + 2 ~~~ Ь,х'+ с = О (при й = и вторая группа слагаемых отсутствует). !'л 4.

Евклидова прострапствв 136 3'. В случае lс + 1 < п в нашем распоряжении остается еще ортогональаое преобразование в пространстве Т (еьэг,,..,еи) — оно, очевидно, не меняет квадратичной формы. Выберем базис в этом пространстве так, чтобы новый (6+ 1)-й базисный вектор оказался направленным вдоль вектора Ь. Тогда в новой системе координат вектор Ь будет иметь координаты (6, О, ..., О). Возвращаясь к старым обозначениям, получим окончательно: ~Л,( *)'+26 ""+ ° =О. 1=.1 Это уравнение называется каноническим уравнением гиперпвверхнвсти второго порядка 3.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее