С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Его матрица при переходе к новому базису преобразуется так: А = БАе. Магрица тензора типа (2, 0) (билинейной или квадрагичной формы) преобразуется так: В = сг"'Во. Но при ортогональном преобразовании Б = о'", поэтому эти две формулы становятся одинаковыми. С этим, в частности, связана «путаница» с верхними и нижними индексами, иногда возникающая при рассмотрении ортонормированных базисов. 4. Самосопряженпый оператор. Определение. Лиггейггый оператор А иазыоаетсл самосоггрлзюеииым, если А* = А.
Тем самым, можно сказать, что в любом ортоиормироваином базисе матрица самосопрязкеииого операгпора си метрична: а, = а,. Теорема 1. Все корпи кариктеришпического уравпенил длл сачосопрлзсштого оператори веществегты. Доказательство. Допустим, что указанное характеристическое уравнение имеет корень Л + гд, т.е. г1е1(А — (Л + гд)Е) = О. Тогда однородная система Ак = (Л е гд)к имеет нетривиальное решение к = х+ + гу: А(х+ гу) = (Л + гр)(х+ гу), или Ах+ гАу = Лх — ду+ г(Лу+ дх), Операторы в Е 1ЗЗ откуда Ах = Лх — ру ( Ау = Лу + рх ) Умножая скалярно первое уравнение на ( — у), второе — на х и складывая их, получаем: — (Ах, у) + (х, Ау) = д(~х~э + ~у~г).
Но левая час гь этого равенства равна нулю, поскольку оператор А — самосопряженный. Следовательно, р = О. Теорема доказана. Теорема 2. Длл любого самосопрлженного оператора существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Доказательство. Заметим сначала, что если х — собственный вектор самосопряженного оператора А, у2 х, то Ау ' х. В самом деле, (х, Ау) = (Ах, у) = Л(х,у) = О. Таким образом, ортогональное дополнение надпространства 1 (х) является инвариантным подпространством оператора А. Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Найдем какое-нибудь собственное значение Л1 (его существование гарантирует теорема 1) и соответствующий ему единичный собственный вектор еы Ортогональное дополнение надпространства 1 (ег) является инвариантным подпространством оператора А, поэтому теперь можно рассматривать оператор А только на нем.
Найдем какое-нибудь собственное значение Лг и соответствующий ему единичный собственный вектор ею после чего будем рассматривать оператор А только на ортогональном дополнении надпространства В(ем еэ) и т, д, В результате мы построим ортонормированный базис из собственных векторов е„ег, ...,е„. Теорема доказана. Следствие. Длл любого самосопрлзюенного оператора существует такой ортояормированный базис, в котором его матрица диагональна. 3 а м е ч а н и е 1. Справедливо и обратное утверждение: если существует оргпопормированный базис, в котором матрица оператора диагон льна, то 'этот оператор — с мосопрлженпый, поскольку в указанном базисе матрица этого оператора симметрична.
Замечание 2. Отметим, что в том базисе, в котором матрица ортогонального оператора А имеет вид, указанный в теореме 3 п. 2, матрица А + Аы диагональна, Попробуйте объяснить этот факт и, основываясь на Вашем обьяснении, привести еще одно доказательство упомянутой теоремы. 5. Квадратичная форма в Еп. Теорема.
Длл любой квадратичной или си етричной билинейной формы существуегп такой ортонормированпый базис, в котором ее матрица диагональна Доказательство. Рассмотримсначалапроизвольныйортонормированный базис и запишем в нем матрицу данной квадратичной или симметричной билинейной формы. Рассмотрим теперь самосопряженный оператор с такой же матрицей и построим ортонормированный базис из его собственных векторов. В нем матрица оператора диагональна. Но переход !"л 4. Ев лидово пространство 134 от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису — это ортогональное преобразование, а при таких преобразованиях матрицы оператора и квадратичной или билинейной формы преобразуются одинаково. Следовательно, построенный ортонормированный базис— искомый. Теорема доказана.
Следствие. В линейном пространсгпве над полем К длл люб х двух квадратичных или си метричпых билинейных форм, одна из которых— полооюительпо определеюпзл, существует такой базис, в котором мазпраца одной иг них единичная, а другой диагональная. В самом деле, принимая положительно определенную симметричную билинейную форму (данную, или гу, из которой получена данная положительно определенная квадратичная форма) за скалярное произведение, мы сможем построить такой ортонормированный базис, в котором матрица второй квадратичной или симметричной билинейной формы диагональна. В 4. Гиперповерхности второго порядка 1.
Система координат. Добавим теперь последнюю, %группу аксиом Вейля. Будем считагь, что наряду с векторами в ст имеются точки, а также правило, по которому любой упорядоченной паре точек А, В ставится в соответствие вектор АВ. При этом: 1' для любого вектора х и любой точки О суи1ествует единственнаа »почка М такая, что ОМ = х (откладывание вектора от данной точки); 2' для любых точек А, В и С имеет место равенство АВ+ВС = АС !правило треугольника). Следствие 1.
Для любой точки А меет место равенство АА = = о. В самом деле, прибавляя к обеим частям равенства АА+ АА = АА вектор ( — АА), получим; АА+ о = о, откуда АА = о. Следствие 2. Для лзобых точек А и В имеет место равенство ВА = — АВ. Действительно, АВ й ВА = АА = о.
Определение. Сисзпемой координата Ох~... х" называется совокупность ортонормированного б зиса 1е,) и точки О (качала координат), а координатами точки М вЂ” координаты век»пора ОМ в базисе 1ез). Ясно, что каждая точка ЛХ имеет вполне определенный набор координат хз, ..., х"; обратно, для любых чисел хз, ..., хв существует ровно одна точка ЛХ с координатами х, ..., х" !это следует из аксиомы 1 ).
Иными словами, соответствие ЛХ ~-~ (х~, ..., хп) является взаимно однозначным. Тот факт, что точка ЛХ имеет координаты хз, ..., х" будем обозначать так; ЛХ1х~, ..., х"). Пусть Ох~, ...,х" — «старая» система координат, Охз, ...,х"-- «новая», О (о'', ..., о"). Выразим «новые» координаты точки ЛХ через се «старые» координаты. Для этого заметим, что «новые» координаты точки М вЂ” это координаты вектора ОМ в «новой» системе координат. Найдем сначала координаты этого вектора в «старой» системе координат. 1 ипврновврхности второго порядка Согласно аксиоме 2' и следствию 2 имеем: ОМ = ОО + ОМ = — ОО + + ОМ =. (х~ — о, ..., хо — оо). Следовательно, х' = Д,' (х' — о').
Таким образом, переход от «старой» системы координат к «новой» осуществляется при помощи параллельного переноса на вектор ОО и ортогонального преобразования, поскольку «старый«и «новый» базисы— ортонормированные. Из полученных формул следует, что старые координаты выражаются через новыс так: х' = а',х' + о', где о = (э~". 2. Каноническое уравнение гиперповерхности второго порядка. Множество всех точек ЛХ(х", ..., х"), координаты которых удовлетворяют уравнению ((х, ..., хв) = О, называется гинерповерхностью. В частности, если г(х~, ..., х") = а«х' + Ь и 2, а«ф О, то гиперповерхность называется гиперпяоскостью. Примерами гиперплоскостей могут служить прямая на плоскости и плоскость в пространстве.
Множество всех точек йб(х, ..., х"), координаты которых удовлетворяют уравнению а«х'хд + 2Ь;х' + с = О, где 2" а~ ф О, называется гиперповехностью второго порядка. Прн переходе к новому базису по формулам х« = а',х«это уравнение преобразуется тнк; (о с«";а,„) х'хо + + 2 (о,'Ь«) х' + с = О.
Следовательно, А(х,х) = а«.х'хг квадратичная форма, В(х) = Ь,х' — линейная форма. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением ортонормнрованных базисов и, следовательно, не делаем различия между ковариантными и контравариантными тензорами, то линейную форму В(х) можно рассматривать как скалярное произведение вектора 1эна вектор х: В(х) = (1э,х). Уравнение гипсрповерхности второго порядка можно существенно упростить, если перейти к новой системе координат.
Делается это, вообще говоря, в трн этапа. 1'. Не меняя начала координат, выполним такое ортогональное преобразование, при котором матрица А примег диагональный вид. Само уравнение при этом перепишется так: Л, (х') + 2 ~ ~Ь,х' + с = О. Здесь 1« = ганя А < и, Л«ф О. 2«. Сделаем теперь параллельный перенос, полагая при «( 1«х' = у' — Ь,/Л«. В результате уравнение примет вид Л;(у*) + 2 ~~~ Ь,х'+ с = О (при й = и вторая группа слагаемых отсутствует). !'л 4.
Евклидова прострапствв 136 3'. В случае lс + 1 < п в нашем распоряжении остается еще ортогональаое преобразование в пространстве Т (еьэг,,..,еи) — оно, очевидно, не меняет квадратичной формы. Выберем базис в этом пространстве так, чтобы новый (6+ 1)-й базисный вектор оказался направленным вдоль вектора Ь. Тогда в новой системе координат вектор Ь будет иметь координаты (6, О, ..., О). Возвращаясь к старым обозначениям, получим окончательно: ~Л,( *)'+26 ""+ ° =О. 1=.1 Это уравнение называется каноническим уравнением гиперпвверхнвсти второго порядка 3.