С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ьолее того, все они попарно различны (из равенства т З а = у З а следовало бы, что ~т — Яа = о, чего, как только что отмечалось, быть не может) и меньше р. Следовательно, среди них обязательно есть число Ь З а = 1. Но тогда Й=а Таким образом, возникает целая серия полей, состоящих из конечного числа элементов: Ео, Ез, Ео, Ет и т. д.
Замечание. Возвращаясь к определению линейного пространства, мы можем сказать теперь, что под числами в нем можно понимать элементы произвольного поля. При этом, правда, формулировки некоторых теорем (подумайте, каких именно) изменятся. то* Заключение В школьном курсе математики алгебра и геометрия выступают как два независимых раздела, имеющих между собой мало общего. В противоположность этому аналитическая геомегрня и линейная алгебра находятся как раз на стыке этих наук, причем в первой из них превалирует геометрия, а во второй — алгебра.
Образно говоря, аналитическая геометрия— это алгебраизированная геометрия, а линейная алгебра — это геометризированная алгебра. Связь между алгеброй и геометрией устанавливается в значительной мере на базе тех алгебраических фактов, которые изложены в первой части книги — «Аппарат аналитической геометрии н линейной алгебры», посвященной действиям с матрицами, теории определителей квадратных матриц и приложениям этой теории к ре«пению систем линейных уравнений.
Важную роль в последующих рассуждениях играет также введенное на первых страницах книги понятие арифметического пространства. Указанный круг вопросов, конечно же, вплотную примыкает как к аналитической геометрии, так и к линейной алгебре, однако не является, строго говоря, предметом ни той, ни другой науки. Вторая часть, «Аналитическая геометрия», в значительной мере известна из курса геометрии средней школы (метод координат, векторы и линейные операции над ними, скалярное произведение). Принципиально новым здесь являегся, главным образом, осознание роли определителей. Оказывается, что определитель второго порядка с точностью до знака равен площади параллелограмма, построенного на векторах, координаты которых являются его строками, а объем параллелепипеда, построенного на данных трех векторах, равен модулю определителя, строками которого являются координаты этих векторов.
Не менее важную роль играет знак определителя — он позволяет судить об ориентации упорядоченных пар или троек векторов, в частности, придать ясный геометрический смысл словам «по часовой стрелке». Осознание роли определителей в геометрии, в свою очередь, позволяет ввести понятия векторного произведения двух векторов и смешанного произведения трех векторов. Эти понятия, при всем своем внешнем различии (векторное произведение — это вектор, а смешанное произведение — это число), тесно связаны друг с другом.
Более того, с определенной точки зрения это почти одно и то же. Поясним, что имеется в виду. Назовем смешанным произведением двух векторов на плоскости определитель, строками которого являются координаты этих векторов в правой системе координат. Ясно, что так определенное смешанное произведение двух векторов представляст собой площадь построенного на них параллелограмма, взятую со знаком « — '», если они образуют правую пару, и « — »вЂ” если левую. Будем теперь рассматривать те же векторы, но не на плоскости, а в пространстве. Тогда нашему смешанному произведению можно приписать направление — считать, что это вектор, ортогональный данным Заключение 149 и образующий с ними правую тройку.
В результате мы приходим к понятию векторного произведения двух векторов. Далее, определим смешанное произведение трех векторов в пространстве как определитель, строками которого являются координаты этих векторов в правой системе координат. Тогда оно окажется равным объему построенного на этих векторах параллелепипеда, взятому со знаком «ъ«, если они образуют правую тройку, и « — ь — если левую. Это, как мы помним, следует из формулы для об"ьема параллелепипеда (произведение площади основания на высоту). Если теперь рассматривать те же векторы не в трехмерном, а в четырехмерном пространстве, то можно определить их векторное произведение, приписав смешанному произведению направление и т.д.
Ясно, что таким способом можно определить векторное произведение и смешанное произведение и векторов соответственно в (и + 1)-мерном и п-мерном пространстве. При этом они будут отличаться друг ог друга только тем, что первому из них приписано определенное направление, а второму -- нет. Наличие векторного и смешанного произведения позволяет, как мы видели, достаточно просто вывести различные виды уравнений прямых и плоскостей. Отметим также, что указанные произведения широко используются в физике. Например, момент приложенной к точке М силы Е относительно точки О представляет собой векторное произведение (ОМ . Е). Особое место в аналитической геометрии занимает раздел «Линии и поверхности второго порядкам Определения эллипса и гиперболы похожи друг на друга.
Их можно даже объединить, сказав: эллипсом (гиперболой) называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма (модуль разности) расстояний до двух фиксированных точек есть постоянная положительная величина. Есть и другое общее определение этих кривых, включающее заодно и параболу: эллипсом, отличным от окружности (гиперболой, параболой), называется множество всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной гочки к расс« оянию до фиксированной прямой постоянно и меньше единицы (больше единицы, равно единице). Это сходство в определениях проявляется, в частности, в том, что эллипс, гипербола и парабола могут быть получены в качестве сечения конуса плоскостью, не проходящей через вершину.
Опираясь на этот факт, можно наглядно проследить, как эти кривые переходят друг в друга при изменении угла наклона секущей плоскости. Эллипс, гипербола и парабола играют фундаментальную роль в физике. Так, брошенный камень движется по параболе, а движение небесных тел (планет, комет, метеоритов и т, д.) под действием притяжения Солнца происходит по эллипсу или гиперболе.
Широко используются и оптические свойства этих кривых. Но не это главное. Рассмотрим некоторую функцию 1'(х, й) и поставим такой вопрос: как приближенно описать поведение этой функции в окрестности точки (О, 0)? Естественно воспользоваться формулой Тейлора. В качестве первого, линейного, приближения получаем: 1(т у) У(0 О)+У (О, 0)я+Уц(0, 0)у. В этом приближении график нашей функции, т, е, поверхность е = г"(т, у), представляет собой плоскость Т— ее называют касательной плоскостью к поверхности е = 1(х, у) в точке (0,0). Как правило, линейного приближения бывает недостаточно. Второе 150 Заключение приближение выглядит так: 1(х, у) г"(О, 0) + 2" (О, 0)х + Д„(0, 0)у + + — (2" (О, 0)хз+ 22" „(О, 0)ху+ ~г„(0, 0)у~~.
В этом приближении поверх- 2 ность 2 = у(х, у) представляет собой поверхносгь второго порядка (еслн, конечно, хотя бы одна из вторых производных отлична от нуля) — либо параболоид, либо параболический цилиндр. Квадратичная часть в этом уравнении, нлн, как ее называют в линейной алгебре, квадратичная форма, описывает, очевидно, отклонение поверхности от касательной плоскости Т.
ВсЯкаЯ кваДРатичнаЯ фоРма аых + 2агзхУ+ аУ (в нашем слУчае аы = 2 2 1 = — Г„(0, 0), а12 = у,и(0, 0), а22 = Г„„(0, 0)), как мы знаем, при помощи -2 -2 поворота пожег быть приведена к виду агх 1-азу, т, е, к сумме квадратов координат с некоторыми коэффициентами, причем а2а2 = аыа22 — а22 2 (убедитесь в этом). Поэтому если аыа22 — аг~2 = а1а2 > О, т.е. числа аг и аз имеют одинаковые знаки, то поверхность 2 = ((х, у) в окрестности точки (0,0) лежит по одну сторону от плоскости Т вЂ” в этом случае точка (О, 0) называется э липтической. При аыа22 — а 2 ( 0 числа аг и аз 2 имеют разные знаки, поэтому часть поверхности 2 = 1(х,у) лежит по одну сторону от плоскости Т, а часть — по другую.
Точка (О, 0) при этом называется гиперболической. Наконец, если а2га22 — агз = О, т. е, одно из 2 чисел аг и а2 равно нулю, то точка (О, 0) называется параболической. В этом случае поведение поверхности 2 = 2 (х, у) по отношению к плоскости Т в окрестности точки (О, 0) определяется производными функции у более высоких порядков. По-существу, та же идея лежит в основе классификации дифференциальных уравнений в частных производных вида аы,)'„+2а222" + а222э„+ г'(х,у,г",2', Я = О. При а1га22 — а22 ) 0 это уравнение называется эллиптическим, при 2 ама22 — а22 < 0 — гиперболическиль а прн ама22 — аг = 0 — параболическим.
Поведение решений эллиптических, гиперболических и параболических уравнений весьма различно, что проявляется, в частности, в различии тех физических процессов, которые этими уравнениями описываю гся. Эллиптические уравнения описывают, например, стационарное электрическое или тепловое поле, потенциальное течение жидкости. Гиперболическими уравнениями описываются разнообразные колебательные и волновые процессы, а параболическими — диффузионные процессы, например, процесс распространения тепла.
Обратим внимание и на то, что идея классификации квадратичных форм по количеству положительных и отрицательных элементов их матрицы, приведенной к диагональному виду (ш е. по индексам инерции), лежит в основе построения псевдоевклидовых пространств, а затем и специальной теории относительности. Обратимся теперь к нашим исследованиям, связанным с классификацией кривых и поверхностей второго порядка. Как в случае кривых, так и в случае поверхностей мы начинали с того, что с помощью повороза системы координат приводили входящую в уравнение квадратичную форму Заключение к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами.
Для кривых зча задача решае гся просто — получается одно уравнение для гангенса угла поворозп, которое, разумеется, всегда имеет решение. Сложнее обстоит дело с поверхностями. Путем весьма нетривиальных рассуждений мы установили, что стоящая перед нами задача сводится к решению уравнения е1ес(А — ХЕ) = = 0 (это уравнение появилось у нас позже и в линейной алгебре, правда, из совершенно других соображений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
