С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Спасительным для нас оказалось то, что это кубическое уравнение относительно Л, а кубическое уравнение всегда имеет вещественный корень. Если бы мы попытались применить ту же идею к уравнению гиперповерхности второго порядка в четырехмерном пространстве, то ничего бы не получилось: уравнение е1ее(А — йЕ) = 0 в этом случае является уравнением четвертой степени, а зпкое уравнение может, вообще говоря, и не иметь вещественных корней. Между тем, представляется весьма правдоподобным, что квадратичная форма в любом пространстве может быть при помощи поворота (или, как говорят в линейной алгебре, ортогонального преобразования) приведена к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами.

В самом деле, переход от старой системы координат в п-мерном пространстве к новой осущен ствляется по формулам ее = 2 а„е,. Поскольку столбцы матрицы А— в=1 это координаты новых базисных векторов в старом базисе и обе системы координат — декартовы, то на матрицу А накладываются следующие ограничения; ее столбцы должны быть координатами единичных (п условий) и попарно ортогональных (п(п — Ц/2 условий) векторов.

Такие матрицы в линейной алгебре называются ортогональными. Следовательно, из и элементов матрицы А произвольно выбранными могут быть и — и — п(п — 1)/2 = п(п — 1)/2 элементов. Но и количество коэффициентов квадратичной формы, которые мы хотим обратить в нуль, равно п(п — 1) /2. Таким образом, количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, что и дает основания для нашей гипотезы. Вопрос о возможности приведения квадратичной формы к сумме квадратов (с некоторыми коэффициентами) ортогональным преобразованием является, пожалуй, центральным вопросом линейной алгебры — науки о векторах, описываемых аксиоматикой Вейля.

Геометрия подобна зоопарку, имеющему несколько входов (различных систем аксиом), где, например, шансы увидеть верблюда во многом зависят от того, через какой вход мы войдем. С этой точки зрения система аксиом Вейля значительно удобнее для исследования указанного вопроса, нежели система аксиом Гильбсрта. Она удобна и в плане возможных обобщений — пространство можно считать п-мерным, а под числами понимать элементы произвольного поля. Основным обьектом линейной алгебры является п-мериое линейное пространсгво. Это — абстрактное пространство, но, благодаря теореме об изоморфизме линейных пространств одинаковой размерности, вместо него можно рассматривать любую его конкретную интерпретацию, в частности геометрическую интерпретацию (вектор — направленный отрезок) !52 Заключение и алгебраическую интерпретацию (вектор — набор чисел).

Геометрическая интерпретация трактует вектор зак, как он вводится в аналитической геометрии. Вектор здесь нс связан с какой-либо системой координат. В рамках алгебраической интерпретации набор чисел, задающих вектор, конечно же зависит от выбора системы координат, но эза зависимость не произвольна — она описывается вполне определенными формулами.

На первый взгляд алгебраическая интерззретция вектора кажется надуманной. Но в действительности именно она адекватно соответствует физической трактовке вектора. В самом деле, в природе нет какой-то абсолютной системы координат, все инерциальные системы отсчета равноправны. Нет и каких-либо выделенных направлений.

Поэтому поня гие «направление», а значит и привычная геометрическая интерпретация вектора (при всей своей наглядности), не имеют, строго говоря, физического смысла. Поскольку единственное основное понятие линейной алгебры — это вектор, то здесь есгественным образом возникают объекты, непосредственно связанные с вектором; линейный оператор, билинейная форма, получаемая из нее квадратичная форма, полилинейная форма и ряд других. Все эти объекты, включая и вектор, объединяются общим названием «тепзоры»вЂ” они не зависят от выбора системы координат в том же смысле, что и вектор (вспомним геометрическую интерпретацию вектора).

По этой причине тензоры широко используются в современной теоретической физике (например, в общей теории относительности). С алгебраической точки зрения квадратичная форма задается (и х и)- матрицей. Линейный оператор, действующий из Ь" в Ь", также задается (и х и)-матрицей. Но квадратичная форма это дважды ковариантный тензор, а линейный оператор -- один раз ковариантный и один раз контра- вариантный тензор.

Это означает, что при переходе к новому базису указанные матрицы преобразуются по-рвзному. Иными словами, если в какомто базисе эти матрицы совпадали, то в другом базисе они, вообще говоря, совпадать не будут. Оказывается,. однако, что в евклидовом пространстве при ортогонвльных преобразованиях — а именно эта ситуация нас и интересует с точки зрения задачи о приведении квадратичной формы к сумме квадратов — различие между ковариантностью и контравариантностью исчезает. Это дает возможность сформулировать нашу задачу на языке операторов и, благодаря этому, решить ее. Мы кратко описали центральную линию раздела «Линейная алгебра».

Подобно стволу дерева, она имеет многочисленные ответвления. В роли одного из них выступают наши исслодования, связанные со структурой линейного оператора. Мы установили, что с каждым оператором, действующим из Ь" в Ь", связаны два инвариантных надпространства — ядро и образ, сумма размерностей которых равна п., но пространство Ь" не является, вообще говоря, их прямой суммой. Путем весьма непростых рассуждений нам удалось описать взаимное расположение указанных надпространств в терминах базиса из непополнимых серий. Обратим особое внимание на то, что эги рассуждения не предполагали какой-либо конкретизации понятия числа — они верны для любого поля.

Лишь при рассмотрении собственных векторов, собственных значений и связанного с ними характеристического уравнения для нас стало принципиально, о каком поле идет речь. Это Заключение 153 объясняется тем, что характеристическое уравнение, будучи уравнением п-й степени, имеет корни далеко не в любом поле. В поле комплексных чисел, благодаря наличию основной теоремы алгебры, оно имеет ровно п корней (включая кратные), поэтому матрица любого оператора может быть приведена к жордановой форме. Линейная алгебра имеет многочисленные физические приложения.

Например, как мы говорили, унитарное пространство играет фундаментальную роль в квантовой механике, где физическая величина интерпретируется как самосопряженный оператор, а процесс измерения случайным образом фиксирует один из собственных векторов этого оператора. Обширны и приложения теории групп, которая используется как в самых абстрактных разделах современной теоретической физики (например, в квантовой теории поля), так и во всех без исключения разделах естествознания, в живописи, в архитектуре и даже в быту.

Предметный указатель Алгебраическое дополнение 19 Аналитическая геометрия 32 Аффинная система координат 44 Аффинные координаты вектора 44 — — точки 44 Базис 43 — галилеев 141 канонический квадратичной формы 121 -- ортонормированный 127 Беспорядок 16 Билинейная форма 116 — положительно (отрицательно) определенная 122 — — симметричная 120 Валентность тензора 118 Вейля аксиомы 84 Вектор 36, 84, 85 — единичный 37 — нулевой 36 —, прогивоположный данному вектору 37 — разложен по векторам 43 Векторное произведение двух векторов 51 Векторы коллинеарные 42 координатные 39 — компланарные 43 — оргогональные 39, 126 — равные 37 Гипорбола 64 Гиперболоид двуполостный 79 — — вращения 80 — однополостный 78 — — вращения 80 Гипсрповерхность 135 — второго порядка 135 — — — мнимая 136 Грама определитель 53 Группа 143 коммутативная (абелсва) 144 — ортогональная (0(п)) 145 — полная линейная (СЦп)) 145 — псевдоортогональная (0(р, 7)) 145 — унимодулярная (81.(п)) 145 -- унитарная (В(п)) 145 Двойнос векторное произведение 54 Декартова система координат 34 Делители нуля 146 Директриса 66, 67 Дифференциальная геометрия 32 Длина вектора 37, 126 непополнимой серии 101 лКорданова клетка 109 — форма матрицы 109 Закон инерции квадратичных форм 123 Изоморфизм 90 Инвариант уравнения гиперповерхности второго порядка 137 Инвариантное подпространство оператора 99 Индекс инерции квадратичной формы 122 Канонический вид квадратичной формы 123 Касательная 68 Квадратичная форма 121 — —, положительно (отрицательно) определенная 122 Конические сечения 78 Конус 76 — второго порядка 77 — свеговой 141 Конусы 136 Координата точки на оси 33 — по оси 34 Координаты биполярные 35 — вектора 37, 89 — криволинейные 34 Предметный указатель 155 — полярные 35 — сферические 36 — цилиндрические 36 — эллиптические 35, 71 Коши †Буняковско неравенство 125, 138 Коэффициенты линейной системы 27 — — формы 116 Крамера формулы 29 Кривая второго порядка 71 Кронекера символ 115 Кронекера — Капелли теорема 28 Лагранжа метод 122 Линейная алгебра 85 — комбинация 10 — — нетривиальная 10 тривиальная 10 — оболочка 88 — форма 116 Линейное дополнение 92 Линейный оператор 94 нормальный 139 — —, обратный по отношению к данному 98 — ортогональный 130 самосопряженный 132, 141 — —, сопряженный по отношению к данному 129, 139 -- — тождесгвенный 98 — унитарный 140 — — эрмитов 141 Линия мировая 142 Лоренца группа 145 преобразование 142 Матрица 8 билинейной формы 116 — диагональная 107 — единичная 24 — квадратичной формы 121 — квадратная 11 — линейного оператора 95 — обратная 24 — ортогональная 130 — — собственная (несобсгвенная) 130 — основная 27 -- перехода к новому базису 115 — расширенная 27 транспонированная 20 — унитарная 140 Матричная запись системы 28 Минор 24 — базисный 24 —, дополнительный к элементу 14 угловой 123 Модуль вектора 37 Направляюгцая конуса 76 цилиндра 76 Начало аффинной системы координат 44 координат 33 Независимость системы аксиом 91 Непротиворечивость системы аксиом 91 Неравенство треугольника 126 Норма 126 Образ оператора 96 Образующая конуса 76 — цилиндра 76 Определитель 11 -- произведения матриц 22 Определителя основные свойства 15 Оптическое свойство гиперболы 70 — — параболы 71 эллипса 70 Ортогонализация 127 Ортогональное дополнение 128 Ось аффинной системы координат 44 — координат 33 Откладывание вектора от точки 38, 85 Отклонение точки от плоскости 59 — прямой 57 Отношение 146 Пара векторов левая 46 — правая 46 Парабола 67 Иараболоид вращения 81 гиперболический 79 — эллиптический 79 !56 Предл«етний указатель Параболоиды 136 Пересечение двух линейных подпространств 91 Перестановка 16 Пифагора теорема 126 Плоскость ориентированная 45 Поверхность второго порядка 73 Поворот 47 — гиперболический 143 Подгруппа 144 Подпространство линейное 87 Полнота системы аксиом 91 Положительная полуось 33 Полуоси гиперболы 65 — эллипса 63 Поле 146 поле сравнений по модулю р 147 — числовое 146 Полилннейная форма 117 Последний вектор серии 101 Правило треугольника 38, 85 Преобразование базиса 115 — — несобственное 47, 49 — — ортогональное 132 собственное 46, 49 Присоединенный вектор 111 Проекция вектора на подпространство 127 — точки на прямую 34 Произведение вектора на число 38, 84 — двух смешанных произведений 53 — линейного оператора на число 94 — матриц 21 -- матрицы на число 9 — операторов 97 Пространства изоморфныс 90 Пространство арифметическое 9 — евклидово 125 — — комплексное 138 — линейное 85 -- — и-мерное 88 — Минковского 142 -- нормированное 126 — ориентированное 49 псевдоевклидово 141 — событий 142 — унитарное 138 Прямая сумма двух линейных подпространств 92 Прямое произведение тснзоров 118 Разложение определителя по столбцу 20 — — — строке 14 Размерность 88 Разность 146 — векторов 87 — матриц 9 Ранг билинейной формы 120 — матрицы 25 — оператора 96 — тензора 118 Решение системы 27 — — нетривиальное 28 — тривиальное 28 Свертка тензора 119 Секущая 68 Серии непополнимые различные 101 Серия ненулевых векторов 101 — — — непополнимая 101 Сигнатура псевдоевклидова пространства 141 Сильвестра критерий 123 Система координат 134 — — исходная 45, 49 — — левая 46, 49 — — правая 46, 49 — неоднородная 27 — однородная 27 — —, соответствующая данной системе 27 Скалярное произведение двух векторных произведений 53 — — векторов 39, 85, 125, 141 След оператора 120 Смешанное произведение трех векторов 52 Собственный вектор 106 Собственное значение 106 Спектр оператора 106 — — «сдвинутый» 107 Старший вектор серии 101 Столбцы базисные 24 Предметный указатель 157 Строки 9 — базисные 24 — координатные 10 — линейно зависимые 10 — — независимые 10 Сужение оператора на инвариантное подпространство 99 Сумма векторов 38, 84 — линейных операторов 94 — матриц 8 — тензоров 118 Тензор 118 — метрический 125 — симметричный типа (2,0) 121 — типа (р,у) 118 Точка 84 Тройка векторов левая 49 — — правая 49 Угюл между векторами 39, 126 Уравнение гиперболы каноническое 65 — гиперповерхности второго порядка каноническое !36 параболы каноническое 67 — плоскости в отрезках 58 — — нормированное 59 — — общее 58 —, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному вектору 58 — —, проходящей через три данные точки 58 прямой в отрезках 55 — -- каноническое 56 -- — нормированное 57 — — общее 56 — —, проходящей через данную точку и параллельной данному вектору 56, 60 — —, — — — — — перпендикулярной к данному вектору 55 , проходящей через две данные точки 55, 60 — эллипса каноническое 63 Уравнения прямой канонические 60 параметрические 56, 60 Фокус гиперболы 54 — параболы 67 эллипса 62 Формула разложения определителя по строке 14 Фредгольма альтерна гнва 129, 139 Фундаментальная совокупность решений 90 Функциональный анализ 90 Характеристическое уравнение 108 Циклическая перестановка 53 Цилиндр 76 Цилиндры 136 Эйлера углы 51 Эксцентриситет 66 Элементарная геометрия 32 Эллипс 62 Эллипсоид 78 — вращения 80 Эллипсоиды н гиперболоиды 136 Ядро оператора 96 Издательская фирма «Физико-математнческая литература» МАИК «Наука/Интерперноднка» 117864 Москва, Профсоюзная ул., 90 1999 †20 В издательстве «ФИЗМАЛИТ» вышли нз печати: Беклемишев Д.В.

Характеристики

Список файлов книги