С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из этого, в частности, следует, что аксиомы П! группы не могут быть аксиомами, поскольку новых основных понятий они не описываюг. Более того, даже вопрос о независимосги аксиом 1 группы (линейного пространства) оказывается не вполне ясным. Как мы увидим в конце курса, при наиболее естественной трактовке аксиомы 4' аксиома 1' является теоремой, а не аксиомой! 4. Линейное дополнение. Определение 1.
Пересечением Ьг О Ьз двух линейных подпространств 1 г и Ьз линейного прострапсеава Ь" называется мнозюество всех векторов пространства Ь, принадлежащих как 1 ы так и Ьг. Теорема 1. Пересечение двух линейны с надпространств являетпся линейным подпространством. Доказательство. Если х,у а Ьг О Ьз, то х,у й Ь1 и х,у б Ьз, поэтому х+у Е Ьг и х+у Е Ьэ, т.е.
х+у Е Ьг ОЬг, если х Е Ь1 ПЬг, то х Е Ьг и х С Ьз, поэтому Лх Е Ь, и Лх Е Ьг, т.е. Лх С Ь| О Ьг. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть еы ...,еь — базис подпротаранства Ь„ аы..., и — базисподпространства1г. Векторы ем ...,еь,пы...,й линейно независ мы тогда и только тогда, когда Ь, О Ьа = о. Доказательство. Рассмотрим равенство Лег+...+Льеь=дгй1+ ..+р а Гл 1. 92 Конечномерное ли ейное пространстпво Левая часть этого равенства представляет собой вектор х, пространства Ьт, а правая -- вектор хг пространства Ьг. Если векторы еы ...,еь,ит, ...,ить линейно независимы, то равенство (1) возможно лишь при Лл = рл = О, т.е, когда хт = хг = о, а значит, Ьт О Ьг = о. Обратно, если Ьт С Ьг = о, то равенство хт = хг возможно лишь при хт = хг = о, т.е.
равенство (1) возможно лишь при Л, = р = О. Следовательно, векторы ет, ..., ею иы..., и линейно незанисимы. Теорема доказана. Определение 2. Говорят, что пространство Ьь представляет собой пр мую сумму Ьт 6~ Ьг двух своих линейных надпространств 1 т и 1 ш если любой вектпор х пространства 1 "' можета быть единставенным образом представлен в виде суммы хт + хг, где хт Е Ьт, хг й Ьг. Т е о р е м а 3. Ь" = 1 т Э Ьг пюгда и тполько тогдщ когда совокуппость базисов надпространств 1 т и 1 г образует базис пространства Ь".
Доказательство. Пусть ет, ...,ея — базис пространства Ьт, йт, ..., иь,. — базис пространства Ьл. Если Ь" = 1 т 61 Ьг, то любой вектор х пространства Ь" может быть единственным образом представлен в виде суммы хт + хг, где хт Е Ьл,хг Е Ьтн т.е. единственным образом разложен по векторам ет, ..., ею ит, ..., и . Следовательно, эти нектары образуют базис про- странства 1Р (п.4 94 гл.1 ч.2). Обратно, если векторы ет, ...,еь,ит,...,и образуют базис пространства 1 Р, то любой вектор х этого пространства может быть единственным образом по ним разложен, т. е. представлен в виде суммы хг + хш где. хт й Ьт, хг Е Ьг. Георема доказана.
Следствие. Ьь = 1 т ЛЭ Ьг плогда и только тогда, когда 1 т и 1 г обладают двумя свойств ми: 1' г11ш1 т + г1пп1 г = и: 2' Ьт Г~ 1 г = о. В самом деле, если Ь" = 1 т Я 1 ш то векторы ет, ..., етн ит, ..., и образуют базис пространства Ь", поэтому их количество равно и и они линейно независиьты, г. е, ЬтОЬл = о. Обратно, если Ьт ПЬг = о и тйтп Ьт+ + л11шЬг = и, то векторы ет, ...,ет,иы ...,и„л линейно независимы и их количество равно и, поэтому они образуют базис пространства Ь"'. Следоиательно, 1 Р = Ьт ~Э Ьг. Определение 3.
Пространство Х называется линейным дополнением подпростршютва 1 простратютва 1", если 1 Р = 1 ьт Ь. Теорема 4. Любое подпространство 1 пространства 1" имеет линейное дополнение. Доказательство. Пусть еы ...,еь — базис пространства 1. Воспользуемся методом математической индукции. Если Й = и, то Х = о. Допустим, что теорема уже доказана для случая к = т+ 1 < и и докажем, что тогда она верна и в случае й = т < и. Поскольку й < и, то в пространстве 1 Р существует такой вектор еьтт, что векторы ег,...,еь,еьэг линейно независимы (в противном случае гйш 1 "' = 1с < и) и, следовательно, образуют базис в линейной оболочке Ь(еы ...,еь,еьлт).
Так как тйш1(еы ...,еь,етет) = /с + 1 т 4- 1, то по предположению индукции в 1ь существует линейное и-мсрнос линейное пространство 93 дополнение пространства Т (еы ..., еь, еь, ~). Пусть еьхт, ..., е„— базис в нем. Тогда по теореме 3: а) еы ...,е„— базис в Т"; б) Т" = Т (еы ...,еь) Ю Т (еьэг, ...,е„), т.е. Т (еьз ы ...,е„) — линейное дополнение пространства Т = Т (еы..., еь). Теорема доказана. Следствие. Любую совокупность линейно независимых векторов можно дополнитпь до базиса во всем пространстве (для этого достаточно построить линейное дополнение к линейной оболочке этих векторов и найти в нем какой-нибудь базис). Замечание. Обратим особое внимание на то, что линейное дополнение надпространства Т определяется неоднозначно.
В самом деле, если, например, еы еэ — базис пространсгва Т з, то при любом ЛТР = Т (ег) ~Э Т (ез+ Лег) (поскольку векторы е1 и ее + Лег линейно независимы), т. е. Т (ез + Лег) линейное дополнение пространства Т (ег). В связи с этим возникает вопрос: существует ли простой алгоритм построения какого-нибудь из линейных дополнений данного надпространства? Такой алгоритм существует, однако описать его мы пока не можем. К этому вопросу мы вернемся в гл. 4.
Глава 2 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ й 1. Операторы, действующие из Ь" в Ь™ 1. Линейный оператор. Определение 1.Линейн моператоромА,действрющи излииейного пространства Ь" в линейгюе пространство Ь™, назывиетсл такое отобразкепие Ь" в Ь, при котором: 1' длл любых х, у е Ь" имеет местно равенство А(х+ у) = А(х) + + А(у); 2' длл любого х е Ь" и любого числа Л имеет место равенство А(Лх) = ЛА(х). Из этого определения, очевидно, следует, что для любых хы ..., хь е е Ь" и любых чисел Лы .,,,Ль имеет место равенство А(Л~хг -ь ... + Лгхь) = Л1А(х,) +...
+ ЛьА(хь). Приведем два примера линейных операторов. П р и мер 1. Линейная функция у = ах является, очевидно, примером линейного оператора, действующего из 1ч' в И (или из С в С ). Пример 2. Рассмотрим произвольную (т х и)-матрицу А. Совоп купность равенств у, = 2 а„х, (1 = 1, ...,т) определяет линейный е=Г оператор, действующий из ни в Б'.™ (или из С" в С'"). В самом деле, и и п и и а,„(хе+ х,) = 2 аг,хг -Ь 2 аг,х, и 2 а„Лх» = Л ~ а„хг. Как *=1 «=1 г=г *.—.1 е=-1 мы вскоре увидим, это пример является в определенном смысле универсальным.
Определение 2. Ср мой линейных операторов А и В, действующих из Ь" в 1™, ~азываетсл отображение С ЬР в Ь вида: С(х) = = А(х) + В(х). Поскольку С(х + у) = А(х+ у) + В(х+ у) = А(х) + В(х) + А(у) + + В(у) = С(х) + С(у) и С(Лх) = А(Лх) + В(Лх) = ЛА(х) + ЛВ(х) = = ЛС(х), то С(х) — линейный оператор. Определение 3.
Произведением оператора А, действующего из 1и в Ь"', на число Л, называетсл отображение В Ьь в Ь'" вида: В(х) = ЛА(х). "1ак как В(х + у) = ЛА(х + у) = ЛА(х) + ЛА(у) = В(х) + В(у) и В(рх) = ЛА(рх) = ЛрА(х) = рВ(х), то В(х) — линейный оператор. Теорема. Множество А(Ь",Ь ) всех линейных операторов, действующих из 1 "' в 1, лвллетсл линейным пространством. Операторы, действующие из Ь" в 1 Доказательство. Роль о в множестве А(м",ю™) играет нулевой оператор О, действующий по правилу 0(х) = о, так как А(х) д 0(х) = = А(х).
Роль ( — А) играет оператор ( — 1)А, твк как А(х) + ( — 1)А(х) = о = О(х). Все остальные аксиомы линейного пространсгва также выполнены, так как при фиксированном значении аргумента складываются и умножаются на число векторы из 1 ™. 2. Матрица линейного оператора. Пусть А — линейный операгор, дейсгвующий из 1" в 1, ем ...,е„— базис пространства ЕР, нм ..., и — базис пространства Ь™, х — произвольный вектор пространства Ь", у = А(х). Имеем: у = А(Г 2 лдег1 = 2 А (ег) а . Каждый из векторов А(ег ), будучи элементом пространства 1 ю, может быть разложен по базису этого пространства: А(е,) = ~ ~вон,.
Матрица, состоящая из чисел а;;, называется матрицей линейного оператора А в базисал ем ...,е„и д~, ..., е ю и1 г и Итак, у = 2 а,дягн, = ~ ущ„откуда ~ 1 у, — ~, 'а;,хг е, ьг ,=1 ~.=1 г=1 = о. Поскольку векторы пм ..., я линейно независимы, то это равенство эквиваленгно равенствам и у; = ~азх,. г=1 Замечание 1. Из определения матрицы линейного оператора следует, что ее первый столбец — это координаты вектора А(ег), второй — это координаты вектора А(ез) и т. д. 3 а меч а н не 2.
Мы установили, что при выбранных базисах ем ...,ев и ны ...,и„, каждому линейному оператору соответствует (тих п)-матрица, столбцами которой являются координаты векторов А(е,). Ранее (см. пример 2 п. 1) было установлено, что каждой (тп х и)-матрице соответствует линейный оператор, определяемый формулой (1). Таким образом, при выбранных базисах ем ...,е„и ды ...,и соответствие между линейными операторами н (т х п)-матрицами является взаимно однозначным.
Замечание 3. Если договориться записывать координаты векторов в виде столбцов, то формулу (1) можно записать так: у = Ах, где Ах произведение матриц А и х. С учетом замечания 2 это дает возможность обозначать сам оператор и его матрицу одной и той же буквой, а вместо записи А(х) использовать запись Ах. Теорема. Пространство А(1",1 ) и множество всех (т х и)- матриц извморфнм. !'л 2. 96 Линейные операторы Доказательство. Выберем какой-нибудь базис пространства Ьь и какой-нибудь базис пространстиа Ь™. Тогда, согласно замечанию 2, будет установлено взаимно однозначное соответствие между линейными операторами из пространства А(Ь"', Ь"') и (гп х и)-матрицами. При этом сумме матриц А и В соответствуег оператор С, действующий по правилу: Сх = = (А + В)х = Ах + Вх, т. е. оператор А + В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
