С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Координатные линии в них представляют собой софокусные эллипсы и гиперболы. 8 2. Кривые второго порядка 1. Уравнение кривой второго порядка. О п ре деле н и е. Кривой второго порядка называется множество всех точек М(х,у) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению аыхг + 2аггх,хэ + ааэхг -1 26»хг + 2Ьэхэ + с = 0 (1) при аы + а, з + аэг ~ О. г 2 3 Примерами кривых второго порядка могут служить эллипс, гипербола и парабола.
Замечание. Ясно, что при растяжении плоскости в каком-либо направлении, т. е. при преобразовании вида х« — ь рхм хэ -» дхг (р, д у': О), кривая второго порядка переходит в кривую второго порядка. Имея своей целью классифицировать все кривые вгорого порядка, постараемся, перейдя к новой сисгеме координат, максимально упростить уравнение (1). Как мы помним, такой переход осуществляется при помощи Линии и поверхности второго порядка 72 поворота и параллельного переноса.
Начнем с поворота на угол чь Имеем: хг = хг соз Эг — хг яп ~о ) хг = хгзгпф+ хгсов7г )( (здесь старые координаты выражены через новые, поэтому роль со играет —:р). Подставим эти выражения в формулу (Ц и постараемся подобрать р так, чтобы коэффициент прн х, хг обратился в нуль: (агг — аг,) яп2~р+ 2а~г соз2р = О. Если агг = О, то положим зг = 0; если жеана ф О, то положим сФя2со = (аы — агг)7'2аг . Таким образом, коэффициенг при хгх обратится в нуль, а уравнение (1) окажется приведенным к виду агхг~ + агтг г+ 2Ьгхг + 2Ьгхг + с = 0 (нетрудно заметить, что с = с, однако для наших целей это не важно).
В этом УРавнении а~г + аг ф- О,. посколькУ новые и стаРые кооРдинаты связаны между собой линейно. Без ограничения общности будем считать, что а~ ~ 0 (в противном случае оси координат можно переобозначить). Сделаем теперь параллельный перенос вдоль осн Охг, пола~ни хг = = х — Ьг/аг. В результате уравнение примет вид агх + агхг г+ 2Ьгхг + с' = О. (2) Возможны два случая.
1. аг у.-О. Полагая хг = у — Ьг/аг, приведем уравнение (2) к виду агх +агу +с =О, г г о где аы аг у'. -О. Таким образом, этот случай распадаегся на два; 1г при с ~ 0 уравнение (2) принимает вид — — + — = 1; о х у а Ь г 1г при со = 0 уравнение (2) принимает вид — + " = О. а Ь П. аг = О, и, следовательно, уравнение (2) имеет вид агх + 2Ьгхг + с' = О. Этот случай также распадается на два: Пг прн Ьг ф О, полагая хг = у — с'/(2Ьг), приведем уравнение (2) к виду х =ау,гдеафО; Пг при Ьг = 0 уравнение (2) принимает вид хг = а.
Итак, уравнение (1) распадается на четыре случая. 2. Классификации. Теперь нетрудно классифицировать все кривые второго порядка. Имеем; 2 2 х у 1~ — '+ — -=1; а Ь Г при а > О, Ь ) 0 это уравнение описывает эллипс; Линии и поверхности второго порядка азхзг+ агхгг+ азхзг+ 2Ь1хг+ 2Ьгхг+ 2Ьзхз+ с = О. (1) Это угверждение и на самом деле оказывается нерным, но доказагь его путем подбора углов Эйлера очень трудно. Поступим иначе. Полагая а, = а О заметим, прежде всего, что выражение з г 1 г г аых1+ аггхг+ аззхз+ 2ашхгхг + 2агзхзхз + 2агзхгхз = ~~ а, хгху го=1 можно переписать так: 3 з з г,ч.с., = г (~,„,;),, =)А «).
),1=-1 Далее, поскольку аз. = а „то з 3 (Ах у) = с) а, х,у = ~~3 аг,у х, = (Ау х). го=1 Перейдем теперь к решению нашей задачи. Попробуем сначала отвегить на такой вопрос: как должен быть направлен вектор е), чтобы з в системе координат Охзх'гхз выражение 2 а,.хзх приняло вид зй=1 -г ) ) )г ) )г ) ),) а1х1 + (аггхг + а ззхз + 2а гзхгх 3) ° (2) Представим вектор х в виде х = х)е) + х ге!г+ х зе!3. Поскольку Ах = = хгАе1 + х',Ае', + х',Ае,', то (Ах х) = (Ае, ег) хзг+ 2(Ае) ег) хгх', + 2(Ае1 ез)хгхз-)- + (Ае'„е'„) хгг + 2 (Ае'г .
ез) х'гх!3 + (Ае'3 е)3) х'3. Мы хотим, чтобы выражения (Аез е)г) и (Ае) ез) обратились в нуль. Для этого векторы Аез и е, должны быть коллинеарными, т. е. Аег = Лег, или, что то же самое, (А — ЛЕ)е1 = о. Эта однородная система имеет нетривиальное решение е1 тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, гге. когда число Л удовлетворяет кубическому уравнению Наша цель состоит в том, чтобы классифицировать все поверхности второго порядка.
Для этого постараемся, перейдя к новой системе координат, максимально упростить данное уравнение. Как мы помним, такой переход осуществляется при помощи поворотов на углы Эйлера и параллельного переноса. Начнем с поворотов. В нашем распоряжении имеются три угла Эйлера. Поэтому представляется весьма правдоподобным, что подбором этих углов удастся обратить в нуль три коэффициента при произведениях разноименных координат, т. е. привести данное уравнение к виду Поверхности второго породив гГе1(А — ЛЕ) = О.
Поскольку кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один нещественный корень Ло, то при Л = Ло рассматриваемая система имеет нетривиальное решение ег. Принимая вектор ег за первый координатный вектор новой системы координат, мы и приведем выражение 3 а;.х;х к виду (2). Теперь (точно так же, как это делалось применигз=г тельно к кривым второго порядка) поворотом в плоскости Ох' х' можно привести исходное ураннение к виду (1) (нетрудно заметить, что с = с, однако для наших целей зто не важно). В нашем распоряжении остается еще параллельный перенос.
Без ограничения общности будем считать, что ~а~~ > (аз > ~аз~ (в противном слУчае оси кооРдинат можно пеРеобозначить). Ясно, что аз + аз з+ аз зф О. Поэтому представляются возможными три случая. 1. аг, аг, аз т': О. Полагая хг = х — Ьг)аг, хз = у — Ьз(аз, хз = з— — Ьз/аз, приведем уравнение (1) к виду азха+ азУ + азль + с' = О. Таким образом, зтот случай распадается на два: 2 2 3 г х у 1г при с ф- О уравнение (1) принимает вид — + — + — = 1; а Ь с 1з при с' = О уравнение (1) принимает вид — + — + — = О.
х у а Ъ с 6г Ьз П. аг, аз т'- О, аз = О. Полагая хг —— х — —, хз = у — —, приведем аг аз ураннение (Ц к виду аг х + аздз + 26зхз + с' = О. Этот случай распадается на три; Пг при Ьз ф О, полагая хз = з —, получим уравнение вида 2Ьз — + — =з; у а Ь х' у' Пз при Ьз = О, с' ф О уравнение приводится к виду — + — = 1; а Ь 2 2 Пз при Ьз = О, с' = О уравнение принимает вид + = О. а Ь Ь Ш, аг т'. -О, аз = аз = О. Г!олагвя хг = х — —, приведем уравнение (1) аг к виду агхз + 26зхз + 26зхз + с' = О.
Гл 4. Линии и поверхности второго порядка 76 Этот случай распадается на два: П1г при Ьз т+ Ьг г~ О сделаем сначала поворот хг = у' сов зг — г' з1п ьэ ( хз = у' з1п зг + г' соз р ) и подберем угол сг так, чтобы коэффициент при г' обратился в нуль. Для этого, как нетрудно видеть, достаточно положить р = О при Ьз = О или с!8 Р = Ьз(Ьз пРи Ьз ф О. В РезУльтате полУчитсЯ УРавнение агх + ЬУ' + + с' = О„где Ь ф О.
Параллельным переносом у' = у — с'/Ь оно приводится к виду х~ = ау, где а ф О; П!з при Ьг = Ьз = О уравнение принимает вид хз = а. Итак, уравнение (1) распадается на семь случаев. 2. Цилиндры. Рассмотрим кривую, лежащую в плоскости, и через каждую ее точку проведем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Поверхность, образованная проведенными прямыми, называется иилиндром. Указанные прямые называются вбразующилги цилиндра., а исходная кривая — его направляющей. Можно сказать иначе: направляющая цилиндра — это его сечение плоскостью, перпендикулярной к образующей.
Из этого следует, что сели среди поверхностей второго порядка есть цилиндры, то их не более, чем кривых второго порядка, т.е, не более 8. С другой стороны, все уравнения, в которые не входит переменная х (случаи Пз, Пз, П1ы П1з), являются, очевидно, уравнениями цилиндров с образующими, параллельными оси О (поскольку переменная г может принимать произвольные значения). По внешнему виду указанные уравнения иден гичны уравнениям всех кривых второго порядка (случаи 1ы !з, Пы Пт предыдущего параграфа). Поэтому цилиндров второго порядка ровно восемь: 1' эллиптический ц линдр (направляющая — эллипс); 2' гипербвличесниг1 и,илиндр (направляющая — гипербола); 3' параболический цилиндр (направляющая — парабола); 4' две пересекающиеся нлвскостпи (направляющая две пересекающиеся прямые); 5' две пара ельные плоскости (направляющая — две параллельные прямые); 6' одна плоскость (направляющая одна прямая); 7' прлмвл (направляющая точка); 8' пустое .множество (направляющая -- пустое множество).
3. Конусы. Рассмотрим кривую, лежащую в плоскости, и точку, не лежащую в этой плоскости. Через эту точку и каждую точку кривой проведем прямую. Поверхность, образонанная проведенными прямыми, называется конусом. Указанные прямые называются образующими конуса, исходная кривая его наврав лющей, а исходная точка вершиной конуса. Ясно, что среди поверхностей второго порядка конусов не более, чем кривых второго порядка, т. е. не более 8. С другой стороны, все поверхности, Поверхности второго порядка 77 описываемые уравнением г г х у г — + — + — =0 а Ь с (случай 1г), являются конусами с вершиной в начале координат.
В самом деле, как видно из уравнения, вместе с каждой точкой (хв, ув, гв), отличной от начала координат, рассматриваемая поверхность целиком содержит прямую х = Схв у = Суо г = Сго проходящую через эту гочку (при С = 1) и начало координат (при С = О). Представляются возможными два случая: а) числа а, Ь и с имеют один и тот же знак; в этом случае нашему уравнению удовлетворяют координаты единственной точки начала координат; б) знак одного из чисел а, Ь и с противоположен знаку двух других (без ограничения общности можно считать, что а,Ь > О, а с ( О) и, следовагельно, наше уравнение имеет вид г х у Поверхность, описываемая этим уравнением, называется конусом второго порядка.