Главная » Просмотр файлов » С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра

С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 15

Файл №1113054 С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра) 15 страницаС.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054) страница 152019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Координатные линии в них представляют собой софокусные эллипсы и гиперболы. 8 2. Кривые второго порядка 1. Уравнение кривой второго порядка. О п ре деле н и е. Кривой второго порядка называется множество всех точек М(х,у) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению аыхг + 2аггх,хэ + ааэхг -1 26»хг + 2Ьэхэ + с = 0 (1) при аы + а, з + аэг ~ О. г 2 3 Примерами кривых второго порядка могут служить эллипс, гипербола и парабола.

Замечание. Ясно, что при растяжении плоскости в каком-либо направлении, т. е. при преобразовании вида х« — ь рхм хэ -» дхг (р, д у': О), кривая второго порядка переходит в кривую второго порядка. Имея своей целью классифицировать все кривые вгорого порядка, постараемся, перейдя к новой сисгеме координат, максимально упростить уравнение (1). Как мы помним, такой переход осуществляется при помощи Линии и поверхности второго порядка 72 поворота и параллельного переноса.

Начнем с поворота на угол чь Имеем: хг = хг соз Эг — хг яп ~о ) хг = хгзгпф+ хгсов7г )( (здесь старые координаты выражены через новые, поэтому роль со играет —:р). Подставим эти выражения в формулу (Ц и постараемся подобрать р так, чтобы коэффициент прн х, хг обратился в нуль: (агг — аг,) яп2~р+ 2а~г соз2р = О. Если агг = О, то положим зг = 0; если жеана ф О, то положим сФя2со = (аы — агг)7'2аг . Таким образом, коэффициенг при хгх обратится в нуль, а уравнение (1) окажется приведенным к виду агхг~ + агтг г+ 2Ьгхг + 2Ьгхг + с = 0 (нетрудно заметить, что с = с, однако для наших целей это не важно).

В этом УРавнении а~г + аг ф- О,. посколькУ новые и стаРые кооРдинаты связаны между собой линейно. Без ограничения общности будем считать, что а~ ~ 0 (в противном случае оси координат можно переобозначить). Сделаем теперь параллельный перенос вдоль осн Охг, пола~ни хг = = х — Ьг/аг. В результате уравнение примет вид агх + агхг г+ 2Ьгхг + с' = О. (2) Возможны два случая.

1. аг у.-О. Полагая хг = у — Ьг/аг, приведем уравнение (2) к виду агх +агу +с =О, г г о где аы аг у'. -О. Таким образом, этот случай распадаегся на два; 1г при с ~ 0 уравнение (2) принимает вид — — + — = 1; о х у а Ь г 1г при со = 0 уравнение (2) принимает вид — + " = О. а Ь П. аг = О, и, следовательно, уравнение (2) имеет вид агх + 2Ьгхг + с' = О. Этот случай также распадается на два: Пг прн Ьг ф О, полагая хг = у — с'/(2Ьг), приведем уравнение (2) к виду х =ау,гдеафО; Пг при Ьг = 0 уравнение (2) принимает вид хг = а.

Итак, уравнение (1) распадается на четыре случая. 2. Классификации. Теперь нетрудно классифицировать все кривые второго порядка. Имеем; 2 2 х у 1~ — '+ — -=1; а Ь Г при а > О, Ь ) 0 это уравнение описывает эллипс; Линии и поверхности второго порядка азхзг+ агхгг+ азхзг+ 2Ь1хг+ 2Ьгхг+ 2Ьзхз+ с = О. (1) Это угверждение и на самом деле оказывается нерным, но доказагь его путем подбора углов Эйлера очень трудно. Поступим иначе. Полагая а, = а О заметим, прежде всего, что выражение з г 1 г г аых1+ аггхг+ аззхз+ 2ашхгхг + 2агзхзхз + 2агзхгхз = ~~ а, хгху го=1 можно переписать так: 3 з з г,ч.с., = г (~,„,;),, =)А «).

),1=-1 Далее, поскольку аз. = а „то з 3 (Ах у) = с) а, х,у = ~~3 аг,у х, = (Ау х). го=1 Перейдем теперь к решению нашей задачи. Попробуем сначала отвегить на такой вопрос: как должен быть направлен вектор е), чтобы з в системе координат Охзх'гхз выражение 2 а,.хзх приняло вид зй=1 -г ) ) )г ) )г ) ),) а1х1 + (аггхг + а ззхз + 2а гзхгх 3) ° (2) Представим вектор х в виде х = х)е) + х ге!г+ х зе!3. Поскольку Ах = = хгАе1 + х',Ае', + х',Ае,', то (Ах х) = (Ае, ег) хзг+ 2(Ае) ег) хгх', + 2(Ае1 ез)хгхз-)- + (Ае'„е'„) хгг + 2 (Ае'г .

ез) х'гх!3 + (Ае'3 е)3) х'3. Мы хотим, чтобы выражения (Аез е)г) и (Ае) ез) обратились в нуль. Для этого векторы Аез и е, должны быть коллинеарными, т. е. Аег = Лег, или, что то же самое, (А — ЛЕ)е1 = о. Эта однородная система имеет нетривиальное решение е1 тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, гге. когда число Л удовлетворяет кубическому уравнению Наша цель состоит в том, чтобы классифицировать все поверхности второго порядка.

Для этого постараемся, перейдя к новой системе координат, максимально упростить данное уравнение. Как мы помним, такой переход осуществляется при помощи поворотов на углы Эйлера и параллельного переноса. Начнем с поворотов. В нашем распоряжении имеются три угла Эйлера. Поэтому представляется весьма правдоподобным, что подбором этих углов удастся обратить в нуль три коэффициента при произведениях разноименных координат, т. е. привести данное уравнение к виду Поверхности второго породив гГе1(А — ЛЕ) = О.

Поскольку кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один нещественный корень Ло, то при Л = Ло рассматриваемая система имеет нетривиальное решение ег. Принимая вектор ег за первый координатный вектор новой системы координат, мы и приведем выражение 3 а;.х;х к виду (2). Теперь (точно так же, как это делалось применигз=г тельно к кривым второго порядка) поворотом в плоскости Ох' х' можно привести исходное ураннение к виду (1) (нетрудно заметить, что с = с, однако для наших целей зто не важно). В нашем распоряжении остается еще параллельный перенос.

Без ограничения общности будем считать, что ~а~~ > (аз > ~аз~ (в противном слУчае оси кооРдинат можно пеРеобозначить). Ясно, что аз + аз з+ аз зф О. Поэтому представляются возможными три случая. 1. аг, аг, аз т': О. Полагая хг = х — Ьг)аг, хз = у — Ьз(аз, хз = з— — Ьз/аз, приведем уравнение (1) к виду азха+ азУ + азль + с' = О. Таким образом, зтот случай распадается на два: 2 2 3 г х у 1г при с ф- О уравнение (1) принимает вид — + — + — = 1; а Ь с 1з при с' = О уравнение (1) принимает вид — + — + — = О.

х у а Ъ с 6г Ьз П. аг, аз т'- О, аз = О. Полагая хг —— х — —, хз = у — —, приведем аг аз ураннение (Ц к виду аг х + аздз + 26зхз + с' = О. Этот случай распадается на три; Пг при Ьз ф О, полагая хз = з —, получим уравнение вида 2Ьз — + — =з; у а Ь х' у' Пз при Ьз = О, с' ф О уравнение приводится к виду — + — = 1; а Ь 2 2 Пз при Ьз = О, с' = О уравнение принимает вид + = О. а Ь Ь Ш, аг т'. -О, аз = аз = О. Г!олагвя хг = х — —, приведем уравнение (1) аг к виду агхз + 26зхз + 26зхз + с' = О.

Гл 4. Линии и поверхности второго порядка 76 Этот случай распадается на два: П1г при Ьз т+ Ьг г~ О сделаем сначала поворот хг = у' сов зг — г' з1п ьэ ( хз = у' з1п зг + г' соз р ) и подберем угол сг так, чтобы коэффициент при г' обратился в нуль. Для этого, как нетрудно видеть, достаточно положить р = О при Ьз = О или с!8 Р = Ьз(Ьз пРи Ьз ф О. В РезУльтате полУчитсЯ УРавнение агх + ЬУ' + + с' = О„где Ь ф О.

Параллельным переносом у' = у — с'/Ь оно приводится к виду х~ = ау, где а ф О; П!з при Ьг = Ьз = О уравнение принимает вид хз = а. Итак, уравнение (1) распадается на семь случаев. 2. Цилиндры. Рассмотрим кривую, лежащую в плоскости, и через каждую ее точку проведем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Поверхность, образованная проведенными прямыми, называется иилиндром. Указанные прямые называются вбразующилги цилиндра., а исходная кривая — его направляющей. Можно сказать иначе: направляющая цилиндра — это его сечение плоскостью, перпендикулярной к образующей.

Из этого следует, что сели среди поверхностей второго порядка есть цилиндры, то их не более, чем кривых второго порядка, т.е, не более 8. С другой стороны, все уравнения, в которые не входит переменная х (случаи Пз, Пз, П1ы П1з), являются, очевидно, уравнениями цилиндров с образующими, параллельными оси О (поскольку переменная г может принимать произвольные значения). По внешнему виду указанные уравнения иден гичны уравнениям всех кривых второго порядка (случаи 1ы !з, Пы Пт предыдущего параграфа). Поэтому цилиндров второго порядка ровно восемь: 1' эллиптический ц линдр (направляющая — эллипс); 2' гипербвличесниг1 и,илиндр (направляющая — гипербола); 3' параболический цилиндр (направляющая — парабола); 4' две пересекающиеся нлвскостпи (направляющая две пересекающиеся прямые); 5' две пара ельные плоскости (направляющая — две параллельные прямые); 6' одна плоскость (направляющая одна прямая); 7' прлмвл (направляющая точка); 8' пустое .множество (направляющая -- пустое множество).

3. Конусы. Рассмотрим кривую, лежащую в плоскости, и точку, не лежащую в этой плоскости. Через эту точку и каждую точку кривой проведем прямую. Поверхность, образонанная проведенными прямыми, называется конусом. Указанные прямые называются образующими конуса, исходная кривая его наврав лющей, а исходная точка вершиной конуса. Ясно, что среди поверхностей второго порядка конусов не более, чем кривых второго порядка, т. е. не более 8. С другой стороны, все поверхности, Поверхности второго порядка 77 описываемые уравнением г г х у г — + — + — =0 а Ь с (случай 1г), являются конусами с вершиной в начале координат.

В самом деле, как видно из уравнения, вместе с каждой точкой (хв, ув, гв), отличной от начала координат, рассматриваемая поверхность целиком содержит прямую х = Схв у = Суо г = Сго проходящую через эту гочку (при С = 1) и начало координат (при С = О). Представляются возможными два случая: а) числа а, Ь и с имеют один и тот же знак; в этом случае нашему уравнению удовлетворяют координаты единственной точки начала координат; б) знак одного из чисел а, Ь и с противоположен знаку двух других (без ограничения общности можно считать, что а,Ь > О, а с ( О) и, следовагельно, наше уравнение имеет вид г х у Поверхность, описываемая этим уравнением, называется конусом второго порядка.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
298
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее