С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2'. Поскольку х = уэ/(2р) > О, то парабола целиком содержится в полуплоскости (х > О), граница которой перпендикулярна оси параболы. 3'. При х > О уравнение (2) может быть записано в виде у = «/2рх. Функция у(х) монотонно н неограниченно возрастает от у = О при х = О. С учетом симметрии, это позволяет изобразить параболу на рисунке.
Замечание. Ясно, что уравнение (6) является общим для всех трех кривых — эллипса, гиперболы и параболы. Иногда его записывают в полярных координатах. Гл 4. Линии и поверхности впюрога порядка Полагая в уравнении (6) х = р соя ое, у = ря1п р и извлекая корень из обеих частей, получаем: р = Х.е(реомюр + р), откуда р(1 + е соя«») = хор, ер 1 — е соя»е — ер Поскольку р 3 О, то первое из уравнений этой пары является уравнением эллипса, параболы и одной из ветвей гиперболы («правой»), а второе— уравнением другой ветви гиперболы («левой»).
5. Касательная. Рассмотрим произвольную линию В и возьмем на ней какие-нибудь точки ЛХо и ЛХ,. Прямую МоЛХ« естественно назвать секущей. Представим себе, что точка Мг, двигаясь по линии Хч приближается к ЛХо. Предельное положение секущей МоЛХг при стремлении точки ЛХ» к ЛХо называется касательной к линии Ь в точке Мо. Пусть теперь Х, одна из кривых: эллипс, гипербола или парабола, уравнение которой записано в виде (6). Рассмотрим прямую х= хо+ ХсояО ) у= уо+ Хя1пО ! (О < О ( и), проходящую через произвольную точку ЛХо(хо, уо) кривой Х>, и выясним, есть ли у этой прямой и кривой Ь другие общие точки.
Для этого подставим х, у из уравнений прямой в уравнение (6) и установим, будет ли полученное уравнение иметь решения, отличные от ! = О (соответствующего точке Мо). Имеем: х',+уз+2!(хосояО 1-уоя!пО)+!' = = е (хо+Р) + 2!с (хо+Р) сояО+! е соя О. Учитывая, что Мо(хо, уо) точка кривой Ь, и сокращая на Г, получаем уравнение вида !(! — е соязв) = АсояО+ ВгйпО, (7) где А и  — некоторые числа, зависяшие от хо, уо„р и е.
Замечание 1. Отметим, что в этом уравнении кагффициепт нрп ! и правов часть не могут обращаться в нуль одновременно — иначе равенство (7) было бы справедливо прн всех значениях ! н, следовательно, прямая целиком принадлежала бы кривой Ь, чего не может быть ни для эллипса, ни для гиперболы, ни для параболы. Замечание 2. Обратим особое внимание на то, что числа А и В в формуле (7) не обращаются в нуль одновременно.
В самом деле, если Эллипс, гипербола и парабола 69 А = В = О, то при е > 1 и созО = 1))е правая часть и коэффициент при 1 в формуле (7) обращаются в нуль одновременно, чего, как только ч го отмечалось, быть не может; при е < 1 получаем, что при любом О прямая и кривая имеют единственную общую точку ЛХо, т. е. вся кривая состоит из единственной точки ЛХо, чего также не может быть.
Итак, в соответствии с замечанием 1, возможны три случая. 1'. Коэффициент при 1 в уравнении (7) обращается в нуль, и, следовательно, правая часть этого уравнения отлична от нуля. В этом случае уравнение решений не имеет, поэтому прямая и кривая Е имеют единственную общую точку ЛХо(хо, уо). Для эллипса эта возможность, очевидно, не реализуется. В случае параболы коэффициент при 1 обращается в нуль при соз в = 1, т. е. тогда, когда прямая параллельна оси параболы. В случае гиперболы коэффициент при 1 обращается в нуль при соз 0 = = ы) = 1-.
), ' в = с) 3)Р = ь) '), чг =, ю, когда прямая параллельна асимптоте гиперболы. 2'. Коэффициент при г и правая часть в уравнении (7) отличны от нуля. В этом случае уравнение (7) имеег решение 1 ~ О, поэтому прямая и кривая Е имеют еще одну общую точку ЛХг. Тем самым, прямая ЛХвЛХг является секущей. 3'. Правая часть уравнения (7) обращается в нуль, и, следовательно, коэффициент при 1 этого уравнения отличен от нуля.
В этом случае уравнение (7) не имеет решений 1 ф О, поэтому кривая Ь и прямая не имеют общих точек, отличных от точки ЛХв. Этот случай можно рассматривать как предельный случай случая 2') точки ЛХо и ЛХг гсливаютсягч а прямая МоЛХ) становится касательной. Как мы только что установили, кривая Е и каса гельная не имеют общих точек„отяичных от точки касания Мв. С лед с те не 1. Через ~побую точку эллипса, гиперболы или параболы проходит одна и только одна касательная (поскольку уравнение Асов й р + В э1п 0 = О при любых А и В, не обращающихся в нуль одновременно, имеет единственное решение у, удовлетворяющее условию О < д < х). Следствие 2. 1' Если прямал имеет единственную общую точку с эллипсом, то эта примоя — касатгльнал; 2' если прлмая имеет единственную общую точку с параболой и нг параллельна вси параболы, то эта прямая — касательная; йл если прям я имееп) единственную общую тпочку с гипсрболой и пс параллельна асимптвтг гиперболЫ то эта прямая — касатгльн я.
б. Оптические свойства. Теорема 1. Касательная к эллипсу с )Хгвкуглми Гг и Гг в тв ке М являетсл биссектрисой внешнего угла треугольника Р,ЕзМ. Доказательство. Пусть 1 биссектриса внешнего угла треугольника Е,ГгЛХ при вершине ЛХ, Р— точка, симметричная Ег относительно )) сйп 0 > О, поскольку 0 < й < )г. Линии и поверхности второго порядка 70 прямой й Поскольку точки Гы М и Г лежат на одной прямой, то Г, Г = = Гт М+ ГЛХ = Гг ЛХ+Гз ЛХ = 2а, так как точка ЛХ лежит на эллипсе. Для любой другой точки Дт прямой 1, в силу НЕраВЕНСтВа трЕуГОЛЬНИКа, ГГ71т + ГЗ7Ч = Гггтт + Ггг" ) ГгГ = 2а, поэтомУ точка Лт не лежит на эллипсе. Итак, прямая 1 и эллипс имеют единственную общую точку, поэтому эта прямая — касательная.
Теорема доказана. 1 Следствие 1,оптическое свойство эл- липса). Луч света, выттущстгттый из фокуса эллиптического зеркала, после отражения пройдет через другой фокус. Т е о р е м а 2. Касатсльяая к гиперболе с фокусами Г1 и Гг в точке ЛХ является биссектрисой угла треугольника Гт ГгМ. Доказательство. Пусть, например, ГгМ ) ГгМ, 1 — биссектриса угла треугольника ГтГтЛХ при вершине ЛХ, à — точка, симметричная Гг относительно прямой й Поскольку точки Гы Г и М лежат на одной прямой, то ГгГ = ГтЛХ вЂ” ГМ = ГгЛХ вЂ” ГгМ = 2а, так как точка М лежит на гиперболе.
Для любой другой точки Дт прямой 1, в силу неравенства треугольника, ~Гггг' — ГзЛХ~ = ~Гтгт' — ГХ~ < ГгГ = 2а, поэтому точка г1т не лежит на гиперболе. Итак, прямая 1 и гипербола имеют единственную общую точку. Осталось доказатгн что прямая 1 не параллельна асимптоте гиперболы. Выразим угол сг между прямыми 1 и Г,Гз через угол 2Д при вершине ЛХ треугольника ГтГзМ.
Для этого заметим, что расстоиние д от точки Гт до прямой ГГз может быть вычислено двумя способами: с одной стороны, д = ГгГсозд = 2асозД, с другой стороны, Н = ГтГзсозгт = 2ссоеп. Приравнивая эти два выражения, получаем: сое ст = (а,те) сое Д:Р а,тс (так как 0 < )д < тг,т2), поэтому прямая 1 не параллельна асимптоте гиперболы. Теорема доказана.
Следствие (оптическое свойство гиперболы). Луч света, выпущенный из фокутп гиперболического зеркала, после отразксния пойдет 'так, как если бы он вышел из другого фокуса. Те о рема 3. Касательная к параболе с фокусом Г в тпочкс М является биссектрисой угла между прямой ГМ и прямой, параллельной оси параболы. Доказательство. Пусть ЛХЛХ, — перпендикуляр, проведенный из точки ЛХ к директрисе, 1 — биссектриса угла ГЛХМп Поскольку точка М Кривые второго порядка 71 лежит на параболе, то г'ЛХ = ЛХЛХы а значит, прямая1 является биссектрисой равнобедренного треугольника РЛХМ» и, следовательно, серединным перпендикуляром к отрезку ГМм Поэтому для любой другой точки Дг прямой 1 г'Дг = М»Х. Но отрезок ЛХ»Х, будучи наклонной, болыпе расстояния от точки 1»' до директрисы, поэтому точка Х не лежит на параболе.
Итак, прямая 1 и парабола имеют единственную общую точку. Очевидно также, что прямая 1, будучи середин- М» ным перпендикуляром к отрезку РЛХы нс параллельна оси параболы, поэтому эта прямая— касательная. Теорема доказана. С л е д с т в и е (оптическое свойство параболыы). Луч света, выпущенный из фокуса параболического верка а, после отражения пойдет параллельно оси.
Замечание 1. Наличием оптических свойств объясняется название «фокус». Например, н фокусе параболического зеркала фокусируется после отражения пучок лучей, параллельных осн. Замечание 2. Пусть Г, и г'г — фиксированные точки. Тогда через любую точку ЛХ плоскости проходит один и только один эллипс с фокусами Ег и гю поскольку сумма Е»ЛХ + гэЛХ имеет вполне определенное значение (при этом отрезок г'» гз считается вырожденным эллипсом). Аналогично, через точку М проходит одна н только одна гипербола с фокусами Г~ и г ю Из установленных нами свойств следует, что эллипс и гипербола пересекаются в точке ЛХ под прямым углом. На этом свойстве основаны эллиптические координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
