Главная » Просмотр файлов » С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра

С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 18

Файл №1113054 С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра) 18 страницаС.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054) страница 182019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Следовательно, множество 1 ' линейное надпространство. Теорема доказана. П р и м е р 1. Рассмотрим множество всех решений однородной системы линейных уравнений Ах = о. Это множество является, очевидно, подмножеством арифметического пространства. С другой стороны, если х = = (лг хщ, лз) и У = (Уы Уг,, У„) — два РешениЯ, то х . У и Лх оРи любом Л вЂ” также решения этой системы. В самом деле, А(х + у) = Ах + + Ау = о + о = о, А(Лх) = ЛАх = Ло = о. Следовательно, множество !л 1. 88 Конечномерное линейное просгпранство всех решений системы Ах = о является линейным подпространством арифметического пространства. Пример 2.

Линейной оболочкой Ь(хыхг, ...,хь) векторов хм хг, ..., хь называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Нетрудно видеть,что: ли~ейн я оболочка явллетсл линейным подпрострапством, поскольку сумма любых двух ее элементов и произведение любого ее элемента на число ей принадлежат: линейн я оболочка является минимальным линейным подпространством, содержащим векторы хм хг, ..., хгп так как любое линейное надпространство, содержащее указанные векторы, содержит также и любую их линейную комбинацию. Отметим, что если какие-нибудь т (т < й) из данных векторов (без ограничения общности — хы..., хьч) представляют собой линейные комбинации осзвльных, то Ь(хм ..., хь) = Ь(х, >,..., хь), поскольку любая линейная комбинация векторов хм ..., хг является в то же время и линейной комбинацией векторов х эы...,хы й 2.

п-мерное линейное пространство 1. Базис и размерность. Наличие двух операций в линейном пространстве позволяет определить понятия линейной комбинации и линейной зависимости векторов (и. 3 8 1 гл. 1 ч. 1), а также ввести понятие базиса так, как это делалось в аналитической геометрии (п. 4 8 4 гл. 1 ч. 2). Оп редел ение 1. Линейное пространство называется п-мерным (и обозначается Ь"), если оно удовлетворяегп П группе системы аксиом Нейли. Число и при этом называют ра,змерностью этого пространства и пишут: с11ш Ь = п. Теорема 1.

Любые и линейно независим х векторов в пространшпое Ьч образуют базис. Доказательство. Допустим, что векторы еыег, ...,е„линейно независимы, и рассмотрим произвольный вектор х. Поскольку размерность пространства равна и, то векторы х,е„еа, ...,е„линейно зависимы. Следовательно, существуют такие числа Ло, Лм ..., Лч, не обращаюгциеся в нуль одновременно, что Лох + Лге1 + ... + Л„еп = о, причем Ло отлично от нуля (иначе оказалось бы, что векторы еы ез, ..., е„линейно зависимы). Но тогда обе части этого равенства можно умножить на 1/Ло и получить разложение вектора х по векторам еы ег, ..., еп. Итак, векторы ем ею ..., е„линейно независимы, н любой вектор х пространства 1 может быть по ним разложен.

Теорема доказана. Теорема 2, сдали в линейном пространстве Ь существует базис из п векторов, то зто пространство — п-мерное. и-мерное линейное пространство Доказательство. Допустим, что векторы еыея, ...,е„образуют базис линейного пространства 1.

'!ем самым в этом проегрансгве существует п линейно независимых векторов (векторы еы ез, ..., е„). Осталось доказать, что любые (и + 1) векторов линейно зависимы. Пусть иы из, ..., и„ч л — произвольные векторы пространства Ь. Разложим каждый из них по базису еы ез,..., е„: Ил = дыел +... + дгоен Кн.~л = д)нлцгел +... + д)о Поен Ранг матрицы С не превосходит количества и ее столбцов, поэтому ее строки (их и + 1) линейно зависимы. Следовательно, векторы иы ию ..., ио.лл также линейно зависимы. Теорема доказана. Определение 2.

Козфд)ициенты разложен л вектора по базису (г.е. числа, фигурирующие в этом разложении), пазываютсл координатами вектора в этом базисе. Координаты вектора в данном базисе определлкппсл сдшктвснным образом это утверждение доказывается точно так же, как в аналитической геометрии (п. 4 ~ 4 гл. 1 ч. 2). Тот факт, что вектор х имеет координаты хы хю ..., х„, условимся, как и прежде, обозначать так: х = (хы хз, ..., х„). Тоо рема 3.

1' Если х = (хм хз, ..., хн), у = (уы ую ..., Уо), то х+ у = (хл + +дыха+Ул . хо+ Уо)' 2' если х = 1хыха, .,.,х„), то Лх = (Лх1, Лхз, ..., Лх„). Доказательство. Имеем: 1' х + у = хлел + ... + х„е„+ + улел + ... + У„ен = (хл + ул)ел + ... + (х„ + ун)ен; 2' Лх = Л(хлел + ... + хне„) = (Лхл)ел -г ... + (Лх„)ен.

Теорема доказана. 2. Примеры. П р и м е р 1. Ясно, что размерность пространства векторов направленных отрезков на прямой, на плоскости и в пространстве равна соответственно 1, 2 и 3. П р и м е р 2. Ясно также, что сйш )л" = сйш С" = п.

П р и м е р 3. Размерность линейною пространства — множества всех (т х и)-матриц равна тлп, поскольку оно отличается от )1 "" или С лишь формой записи элементов. Ьазисом в нем являются, например, (т х и)-магрицы, в каждой из которых один элемент равен 1, а все остальные -- О.

П ример 4. Если векторы хм ха, ..., хь линейно независимы, то размерность их линейной оболочки равна и, поскольку эти векторы образуют базис в1(х„хю ...,хь). П ример 5. Множество С(а,б( всех непрерывных на отрезке (а,б) функций не имеет конечной размерности, поскольку, например, степенные функции 1,х,х, ...,х", ... линейно независимы (напомним, что многочлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда все его Гл 1. Конечномерное линейное пространство коэффициенты равны нулю), а их бесконечно много. Линейные пространства, не имеющие конечной размерности, изучаются в специальном разделе математики, называемом «функциональный анализ». П р и м е р 6.

Найдем размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Напомним, что каждое решение предсчавляет собой набор из и чисел (хч, хч, ..., х„, сч, сч, ..., с„„) (здесь г ранг матрицы системы, и — количество неизвестных), где числа сч, сз,..., сп могут быть выбраны произвольно, а числа хч, хз, .,,, хг по выбранным сч,сз, ...,с„г находятся однозначно.

Полагая сначала сг = 1, сз =О, ... «с„,=О,затемсч =О,сч =1, ...,сп, =Опт.д.,мыполучим (и — г) решений. При этом любое решение (хы хч, ..., х„, сы са, ..., с„ данной системы представляет собой их линейную комбинацию с коэффициентами сг, ся, ..., с„„и, сверх того, они линейно независимы (поскольку равенство (хм ха, ...,х„,сч, сч, ..., с„„) = (О, ...,0) возможно лишь при сч = сз =... = с„, = 0).

Таким образом, указанные решения образуют базис в пространстве решений, а значит размерность этого пространства равна п — т Любой базис в пространстве решений однородной системы линейных уравнений называется фунда ентальной совокупностью решений этой системы. 3. Изоморфизм. Определение. Линейные пространства 1 и 1' называются изоморфнымщ если между их элемептама можно установи«пи такое взаимно од»«означиое соответсгпвие х «-» х', что: 1' если х «-» х', у «-» у', то х + у «-» х' + у', 2' если х «э х', то Лх «э Лх'.

Само это соответствие называется изоморфизмом. Замечание. При изоморфизме нулевой элемент пространства 1 переходит в нулевой элемент пространства 1.'. В самом деле, если х «э х', то Ох = о «-» Ох' = о'. Теорема 1. Если пространства Ь и 1' изоморфны, то «11ш1 = ойш?', Доказательство. Допустим, что пространства 1 и 1' изоморфны, ойп«К = и. Пусть хч,хч, ...,хп — произвольные линейно независимые векторы пространсгва Ь. Тогда соответствующие им векторы хых!~, ...,х'„чакже линейно независимы, поскольку если их линейная комбинация равна о', то соответствующая ей линейная комбинация векторов хч, хч,..., х„равна о.

С другой стороны, любые (и + 1) векторов пространства 1 ' линейно зависимы, чак как соответствующие им векчоры пространства 1 линейно зависимы. Следовательно, айша' = п. Теорема доказана. Теорема 2. Любые два линейных прострапсгпва над одним и тем же полем и одинаковой размер««ости изоморфны.

Доказательство. Пусть еыеч,...,е„и е'ыеч, ...,е'„— базисы в пространствах 1 и Ь' соответственно. Поставим в соответствие произвольному элементу х = хчег + хчеч +... + х ев пространства Ь элемент х' = х«е'ч+хчез+... + хве'„пространства Ь«. Это соответствие, очевидно, 91 п-мерное линейное пространство взаимно однозначное, а значит, как следует из теоремы 3 и. 1, является изоморфизмом. Теорема доказана. Замечание 1. Эта теорема позволяет вместо абстрактного конечно- мерного линейного пространства рассматривать любую его модель, т. е. любой конкретный пример линейного прас гранства (например, Кь или Сь). При этом все результаты, полученные в рамках этой модели, будут автоматически переноситься на абстрактное линейное пространство той же размерности или любую его модель.

Замечание 2. К любой системе аксиом обычно предъявляют три требования: непротиворечивость, полнота и независимость. Непротиворечивость означает, что ни одна из аксиом не противоречи г остальным аксиомам. Применительно к аксиомам Вейля это требование, очевидно, выполнено, иначе ей не могли бы удовлетворять векторы— направленные отрезки. Полнота означает, что все модели данной системы аксиом изоморфны, т.е. между любыми основными объектами любых двух из них можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее основные отношения между ними. Тем самым теорему 2 можно сформулировать так: сисгпема аксиом и-мерного линейного пространства полна Наконец, система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом не может быть выведена из других как теорема. Этому требованию аксиомы Вейля не удовлетворяют. В самом деле, если к полной системе аксиом добавить новые аксиомы, не описывающие новых основных понятий, то она станет либо противоречивой, либо зависимой — в противном случае можно было бы указать две неизоморфные друг другу модели исходной, полной системы аксиом.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6556
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее