Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть 0#V=А* А**V Е V,=А* АА( v)А * А. Отметим, чтоV - самосопря?? все собственные числа(V: V) > О,Т>. По теореме= AV,А ЕтогдаIR.A(V,V) = (AV,V) = (V(v),v) = ((A*A)(v),v) = (A*(A(v)),v) = (A(v),A(v)) > О(таккак оператор(А( v), А( v))А =(V,V)А обратим,Пусть по теоремеЕIR, Ai >О,{О}иA(v)#О для#VО),следовательно.> О.??е1, ... , е n -тором матрица оператораAi=то КегА~1ортонормированный базис евклицова пространства R '-. Б ка-имеет видVi ~ n, - корни характеристического многочлена оператораv.Рассмотрамсамосопряжённый оператор е, имеющий матрицус (JXl=Ов базисе е1, ... , е n .
Тогда е 2= Т).О)АПоложим Е = Ас- 1 И покажем, что Е - ортогональный оператор.Действительно,Итак, А = ЕеПусть-F -искомое разложение оператора А.такой самосопряжённый линейный оператор с положительными собственными значениями и 1{ -такой ортогональный оператор, что А =1{F.Тогда А* А =F*1{*1{F,и так какортогональный оператор, то 1{*1{ = Т (тождественный оператор), V = А* А = F* F = F 2(У:: - самосопряжённый оператор). Покажем, что F = е (и тогда 1{ = Ас- 1 = Е). По теореме ??1{ -существует ортонормированный базис V1, . .
. ,Vn , В котором матрицаСУF =(1ОFоператораFравнаО)СУПi ~ n. Так как все собственные значения оператора F положительны, то CYi > О,1 ~ i ~ п, При этом F 2 = V, поэтому cyr, ... , СУ; - все собственные значения оператора Т), Vi,1 ~ i ~ n, - собственный вектор оператора V относительно собственного значения су:. Пусть дляCYi ЕIR, 1~ni, 1 ~ i ~ n, ei= L.1=1Гi.1Щ· Так как по??собственные векторы, соответствующие различным с06ственным значениям (для оператора 'D), линейно независимы, то е;=LrijVj, V(щ) = (Д)2щ.1 (j:(nТаким образом,F(e.1) =Ll:(.1:(nГijF(щ) = ДТаким образом, матрица оператораFLl:(.1:(nгi.1Щ = Деi,в базисе ет , ... ,е n равнаJXl(ОО)АF(Vj) = Дщ.10.4.143Метод наименьших квадратовСледовательно,=F=Пусть ТУС.АА *, С'-такой самосопряжённый линейный оператор с положительными собственными значениями (построенный аналогично построению оператора С), что (С'? = V'. Тог.13В' = (с')-l А - ортогональный оператор:Следовательно, А = С'В'-искомое разложение оператора А.Единственность представления А = С'В' доказывается аналогично единственности прелставленияА=ВС.ЗамечаниеПолярное разложение имеет важные приложения в теории Y~:J\TOLT;;~ :-':J;;~10.78.вычислении деформаций и напряжений.Упражнение 10.79.
Найдите полярные разложения:( VЗ23(~14 4~ ~42 =~)2-22 -1_1VIO( ~ -~) (~V:) .(~12 2~ ~21 =~)1\1f51Замечаниестве IfII. V,О)vз10.80. Если А dim V < 00, то А = ВС,~vзvз222-22 -1~22(~ ~ 3~ 1~)1ОООО1 3оператор (не обязательно обратимый) на евклидовам пространгде В-ортогональный оператор, С-самосопряжённый оператор2с неотрицательными собственными значениями, с = А* А, оператор С определён однозначно.10.81. Пусть А, F - такие операторы на евклидовом пространстве V, dim V < 00,IA(x) I = IF(x) I для всех х Е V. Тогда существует такой ортогональный оператор Н, чтоУпражнениечтоА=НТУказание. ИзIA(x)1=IF(x) Iдля всех х ЕVследует, что(u,(A*A)(v)) = (A(u),A(v)) = (F(u),F(v)) = (и, (F*F)(v))для всех и,v Е V.
Следовательно, по лемме ?? А* А = Е" F. По замечанию ?? А = ВС, F = В'С(с = А* А = F* F), где В, В' - ортогональные операторы. Тогда Н = В(В')-l - ортогональный2= НТоператор, АНапомним следующее утверждение для матриц.АПредложение10.82.+ С,==Вгде В*Пусть 2 -обратимый элемент поля К,В (симметрическая матрица), С*=nЕN, А Е Mn(I-{). Тогда-С (кососимметрическая матрица).Матрицы В и С определены однозначно.Доказательство.
Пусть ВПусть А= В+С, В*=В+ С,однозначно.В, С*+ А*),1- А*). Тогда А = В + С, В* = В, С* = -С.11- С, и В = 2(А+А*), С= 2(А- А*).D2(АС=2(А=-С. Тогда А*=В10.83. Пусть А - оператор на евклидов ом пространстве IfII. V, dim V < 00. Тогдагде В - самосопряжённый оператор (В* = В), С* = -С. Операторы В и С определеныСледствиеА=1=144§ 11.Доказательство.Утверждение следует из предложенияБилинейные формыдля матриц А, В и С операторов10.82А, В и С в ортонормированном базисе.ЗамечаниеОТеорема и замечание дают другое, отличное от10.84.доказательство того??,факта, что все собственные значения самосопряжённого оператора действительны.Билинеиные формы§ 11.ОпределениеА:Vх, у, zхЕVV,кVПусть11.1.-линейноепространствонадполемК.отображение-+ К называется билинейной формой на линейном пространстве к".
еС.1И .:::я всехо: Е К+ у, z)A(z, х + у)А(хА(о:х, у)=+ А(у, z),A(z, х) + A(z. у),=о:А(х, у)= А(х,z)=А(х, ау).то есть форма А линейна по каждому аргументу.Если е1,nХ =L: xiei,... ,еn - б а з и с линейного пространства KV, А-билинейная форма на KV, х,у Е V,nL: Yjej,У =j=li=lXi,Yj Е К, 1 ~ i,j ~ n, тоnА(х,у)L=ЩjХЩj,i,j=lгде ai,j = A(ei, e,j) Е К, А(х, у) = ХАУ, А = (aij) Е Мn(К), Х = (Х1, ... , х n), У = (У1"", уn).Матрица А = (aij) Е М n (К) называется матрицей билинейной формы А в базисе е1, ...
, е n .С другой стороны, если е1,· .. , е n - базис линейного пространства к V, А Е М n (К), то отображение A:VxV -+ К, определённое по правилу А(х,у) = ХАУ, где Х = (Х1,,,,,Х n ) ,у = (У1,"" Уn) - строки координат элементов х и у пространства к V в базисе е1"", е n , является билинейной формой на пространстве к V, имеющей матрицу А в базисе е1, ... , е n .Пример1)11.2.Пусть К=К,IR;дение для всех х, у Ебазис пространстваIR;VIR; V.V,евклидово пространство надТогда А-А(х, у)=(х, у)скалярное произве-V.]R;Если е1,···, е n -то матрица А билинейной формы А в базисе е1, ...
,е n равна матрице [рама Г(е1"", е n) базиса е1, ... , е n. Если е1, ... , е n -(nJR,билинейная форма на пространствеортонормированный базис, то А-единичнаях n)-матрица.2)Если к V-линейное пространство над полем К,жения (линейные формы), то отображение А:VхL 1 , L2:кVх, у Е к V, является били ней ной формой на линейном пространстве к VV = С[а, Ь], то отображение А: V х VьАи, g) =JR,заданное дЛЯь.J/а-+3)Пусть е1, е2 -+ У2е2Е кV= ./ааявляется билинейной формой на пространствеу = У1 е1J, gЕ- линейные отобраL 1(x)L2(Y) для всехчастности, если К = JR,вV формулойьJ(x)g(t) dx dt-+ к V-+ К, где А(х,у) =VьJ(x) dx./ g(t) dt,аV.]R;базис линейного пространства к V над полем К и для х145Тогда А:4)хVVЕсли А------7К - билинейная форма на пространстве KV, имеющая матрицу (~1 ~):линейный оператор на евклидов ом пространстве IR'.
V, то Л,Л(Х,У) = (х,А(у)),билинейныв формы на линейном пространствеj2: VхV-----7JR,j2(X,у) = (А(х),у)-V.Пустьбазисы линейного пространстваKV,Е' = С*[ (С Еформа на линейном пространстве к V, Аnn= L Xiei,х,у Е KV, хУ= Li=lгде Х' и у'-yjej, Х-GLn(K)-матрица перехода), А- билинейнаяматрица билинейной формы А в базисе Е, Тогда для= (xl""j=l,х n ) , Ул= (Yl, ... ,Уn)Е К", Х=ллСХ', у"=су',строки координат элементов х и у в базисе [1, имеемА(х, у) = ХАУ = Х'С* АСУ'.Следовательно, матрица А билинейной формы А в базисе e~, . .
. ,e~ равна С* АС.1Определение11.3.Билинейная форма А на пространствеА(х,у) = А(у,х) для всех х,у Ех,у ЕИ кососимметрической.если А(х.у) = -А(у.х) для всехЕ11.4.Пусть el, ез-базис линейного пространстваТогдаKV, х=.Ylel+ .т2е2,У=Ylel+V,A1(x,y) = XIY2ма наназывается симметрической, еслиKV.Пример+ У2е2KV,VA1 KV.+ x2Yl,А2(Х,У) =симметрическая билинейная форма на к V, А2Определение 11.5. Пусть к V--XIY2 - T2Yl·кососимметрическая билинеиная форлинейное пространство над полем К, А:метрическая билинеиная форма. ОтображениеQ: V-----7К,Q(x)=VхV-----7К-А(х,х) для всех х ЕсимKV,называется квадратичной формой на пространстве V, ассоциированной с билинейной формой А.Пример11.6.1) Пусть KV = К, Q: KV -----7 К, Q(x) = х 2 для всех х Е KV.
Тогда Q- квадратичная формана пространстве V.2) Пусть el, ез - базис линейного пространства к V над полем К, Q(x) =xIX2 для всехх = xlel + Х2е2 Е V. Тогда Q - квадратичная форма на линейном пространстве к V.3) Пусть К = JR, n Е N, KV = JR n , j-действительнозначная функция, J = j(Xl""'Xn),xi Е JR, определенная, непрерывная и имеющая непрерывные производные первого и второго порядка в некоторой окрестности точки (x~, ... , x~), х? Е JR, 1 ~ i ~ n. Тогда второй дифференциалd2 j : IR'.V -----7 IRV В точке (x~, ...
,x~),xI -146§ 11.Билинеиные формыявляется квадратичной формой на линейном пространстве в V.4) Пустьffi. V = С[О,1],J1Q(f) =(J(t))2 dt.ОПокажите, чтоЛеммаквадратичная форма на линейном пространстве к V.Q-Пусть11.7.обратимый элемент поля К, (т. е.2-на линейном пространствеKVформа А на пространстве V, такая чтоДоказательство.
Пусть АV ЕПоложимV.v=х+ у,А(хi=char К2) Q -квадратичная форманад К. Тогда существует единственная симметрическаяБН:IННеНн2Я= А(х, х) для всех х ЕQ(x)V.симметрическая билинеиная форма,-х, у ЕV.Q( г)Тогда+ у,:т: + у) =+ А(х, у) + А(у ..Т) -А(х,:т:)А(у. у).Следовательно,А(х,у)для всех Х, у Ео11.8. Матрицейного пространстваV,ЗамечаниеQЕМn(К) квадратичной формыKV,Q в базисе еl, ... , е n линейнад полем К называется матрица симметрической билинейной формы А наVдЛЯ которойQ(x) =А(х, х) для всех х ЕИз определения матрицы11.9.в базисе el, ... , е n следует, что матрицах ЕQ(x) - Q(y))V,Определениепространстве~(Q(T+Y) -=QV.квадратичной формыQ симметрическая: Q= Q*.Q на пространстве к VЕслиQ=(qij)Е Мn(К),топ п пQ(x)=хох = L%XiXj= LqiiT7 + Li,j=lгде Х =(Xl,""X n)2qij XiTj,i,j=li<ji=lЕ kVn-строка координат элемента Х в базисеel, ... ,en .Пример 11.10.
К = JR, V = JR2, el, е2 - базис пространства V, Q(x) = TiХ = Хl el + Х2е2 Е V ТогдаПустьQ: к Vdim V = n <[ ' = С* Е,ТогдаQ-00,--+кЕ, Е'--Q=(~ ~) - матрица квадратичной формыквадратичная формабазисы пространстваматрица квадратичной формыQI = C*QC.Так как С ЕGLn(K),Qпона линейномQ+ 2TlT2 + З.т§дЛЯв базисе еl, е2.пространстве к Vнад полемК,GLn(K) - матрица перехода от [ к Е':Q' - матрица формы Q в базисе Е',?? r(QI) = r(Q).
Таким образом, ранг матрицыV,С Ев базисе Е,квадратичной формы не зависит от выбора базиса. Это число называется рангом квадратичнойформыQТеоремаля К,11.11. Пусть к V - линейное пространство над полем К, 2 - обратимый элемент по00, Q: V -7 К - квадратичная форма на линейном пространстве к V. Тогда суdim V = n <ществует такой базис еl,···, е n линейного пространства к V, что матрицаратичной формы Q в этом базисе диагональна: для х = xlelпри этом число ненулевых элементов %,1~ i ~n,равно+ ... + хnе n,r(Q).Q = (qij)Е Мn(К) квад-Xi Е К, Q(x)n= :г=i=lqiix7,147Доказательство (метод Лагранжа выделения полных квадратов).числу т переменных Xi, входящих В записьQ(Х)Применим индукцию пов некотором базисе. Пустьel, ...
, е п-исходныйбазис.Если т= 1,то Q(x)=qxy, где 1 :( i:( n, q Е К, и утверждение теоремы очевидно.Допустим, что утверждение теоремы доказано для всех т'<т и(не ограничивая общности, с точностью до перемены мест базисных элементовсчитать, что все коэффициенты пригдеXiXj,Рассмотрим вначале случай, когда Чтт.2qlm Xl Xm#i или j равны т+ 1, ... ,n,el, .. _, еn ,можноравны нулю).О. Соберём все члены, содержащие переменную Х т :+ 2q2m X2Xm + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
