Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следовательно,=Т, или АЕ (тожили А =1,=Хи, А ЕJR,Аи тогда для любогоимеемJR,А(х)и А=(центральная симметрия).-Iсобственное число ортогональногоевклидово про-Тогда либо АV.= -1,и тогда для хА(х)х,= A(av) = aA(v) = av == av,а ЕJR,имеем= A(av) = aA(v) =а( -v)=-х,и А =-ТЛемма10.70стве). Пусть ]R V(о структуре ортогональногооператора на двумерном евк.пцовONпростран-евклидов о пространство, diШ]R V =2,А:V--->у"-ортогона.1ЬНЫЙ оператор.Тогда:1)если оператор А имеет действительноеоператор), или А= -IVl, v2 пространстваV,собственное значение.то А = Т (тождественный(центральная симметрия), или существует орлонорынровэнпыйбазисв котором матрица А оператора А равна(осевая симметрия);2) если оператор А не имеет действительных собственных чисел, то существует ортонормированный базис пространстваV,в котором матрица оператора А равна( со.s r.pr.pвшДоказательство.Пусть еl, е2 -- sin r.p),cos r.pr.pi- Jrk,k Е Z.ортонормированный базис,матрица оператора А в базисе ег.
е2. Оператор А ортогональный, поэтому А* Аэквивалентносистеме+ a~l = 1,221a12 + а22 = ,al1a12 + а21а22=Е ЕM2 (JR ),чтоaIl{ai.i ЕJR, 1 ~ i, j~ n= О,(эти условия означают, что столбцы матрицы А образуют ортонормированный базис евклидовапространства ]RJR;2 со стандартным скалярным произведением) . Так как Щj Е JR,+ a~2 = 1, то можно положитьaI2allгде О ~r.p,1/J <= cos r.p,а21= sin r.p,а12= cos 1/J,а22= sin 1/J,21Г. Тогдао= al1 а12 + а21 а22 = cos r.p cos 1/J + sin r.p sin 1/J = cos( V' - r.p) =О.arl+ a~l=1,138§ 10.Следовательно, по модулю1) Если= ер1/)271+ 2'271,ер =L' -71-2или 'ф-Еьклнпоео пространство371ер = - .2тоА = (c~s ерsin ер )- cos ер ,sш ерв этом случае матрицы А в ортонормированном базисе не только ортогональная, но и сиtl»етрическая, по теоремесобственные числа??ортогональная матрица, то Л1,.\2 Е{1, -1}.матрицы А действительны, а так как ~-l'\1, .\2По теореме?? существует оргонормированный базвсV1, V2 евклидова пространства 1R V, В котором матрица оператора А имеет вид(~ ~),если Л1=Л2=1, А= Т.
-тождественный оператор;(-1 О)Оесли Л1=Л2=если Л1=1, .\2-1, А= Т-=А-1,--1'центральная симметрия; илиосевая симметрия,3712) Если же 'Ф = ер = - , то2А = (c~s ер- sinsш ерАУ)соз с,оператор поворота на угол ер против часовой стрелки на плоскости. Характеристический мно-гочлен оператора А:= (cos ер - t) 2 + sin 2 t = t 2 PA(t) имеет корни .\1 = .\2 = 1,РА ( t)Если ер=О, то многочлен2 ( cos ер) t+ 1.(~ ~),А = Т. -тождественный оператор.
Если ер = 71, то(-1 О)ОА =-I -центральная симметрия. Если ер-1t 7Ik, k Е'Z, то многочлен PA(t) не имеет действительных корней.меОЗамечание 10.71. Ортонормированный базис, существование которого утверждается в теоре??, может быть определён неоднозначно. Например, тождественный оператор Т. имеет единичную матрицу в любом базисе.Следствие10.72.Композиция двух поворотов плоскости относительно общего центра-этоповорот относительно этого центра; композиция поворота и осевой симметрии относительно оси,проходящей через центр поворотасительно пересекающихся осей--осевая симметрия; композиция двух осевых симметрий отноповорот относительно точки пересечения осей.10.4.139Метод наименьших квадратовДоказательство. Из леммыследует, что все ортогональные преобразования векторов на??плоскости исчерпываются поворотами (включая тождественный оператор и центральную симметрию (поворот на угол 7Г)), определители матриц этих операторов в ортонормированном базисеравны1,и осевыми симметриями (определители матриц осевых симметрий в ортонормированномбазисе равны-1).Определитель матрицы композиции линейных операторов равен произведениюопределителей.ОПример 10.73.
Пусть е1, е2 -ортонормированный базис евклидона пространства ]R2, Авая симметрия относительно оси е2. В-осевая симметрия относительнооси е1.-осеТогда АВцентральная симметрия (поворот на угол 7Г):А=Теорема10.74О)О(-11АВ ='(-1 О)О-1.(основная теорема о структуре ортогонального оператора). Пусть IR Vевклидово пространство, diш VV - ортогональный оператор. Тогда существуетпространства IR V, в котором матрица А оператора А имеет=n<00, А:ортонормированный базис евклидоваV--tвид1о1-1А =(24)-1- sin 1171cos 1171cos СР1sin СР1оcos 9тsin -,отматрица А имеет блочный вид, по диагонали стоятО ~1~kединиц, О ~k- sin утCOS у т~ п, затем1 элементов -1,п, затем m блоков- sin ipi)COS CPi'О ~ т ~n2'при этомk + 1+ 2т =п0~ip<2n,= dimIR V.Доказательство проведем индукцией по п.ях утверждение теоремы следует из леммвыполнено для всех п'<корень А.
Тогда по леммеср#О,7Г,10.69Основание индукции:и10.70.Пустьn> 2n = 1,2,в этих случаи утверждение теоремып, Пусть характеристический многочлен РА (t) имеет действительный??А =1или А =относительно собственного числа А,A(v) =-1.Пусть ОAV, е1=1i-~V,v-собственный вектор оператора АV1 = (е1)' Тогда V1 - инвариантноеподпространство для оператора А. По лемме ?? A(V/) ~ V/-, при этом dimv1J..
=n - 1,AlvJ..1ортогональный оператор на евклидсвом пространстве V1J... Применяя предположение индукции,получаем ортонормированный базис е2, ... , е n подпространства 1J.. , В котором матрица оператора Alv/ имеет требуемый вид. Так как V = Vl ЕВ 1J.. , то е1, ... , е n - оргонормированный базисvvевклидона пространства IR V. Изменяя, если необходимо, порядок элементов базиса el, ... , е n , получаем оргонормированный базис, в котором матрица А оператора А имеет требуемый вид(24).140§ 10.Евклидово пространствоПусть теперь характеристический многочлен PA.(t} не имеет действительных корней. Тогда полемме??<существует инвариантное подпространство сг.dirn U= 2.По теореметакой ортонормированный базис е1, е2 пространства и, что матрица оператораAlu??существуетв этом базисеравна- sin Y 1 )..COS)OlПо лемме ?? А(И1.) ;; о-.
Так как dirn(Ul..)о<ер<2л,ер1#-Л.то, при меняя предположение индукции,= n - 2,... ,е n , что матрица ортогональноAIU-l в этом базисе имеет требуемый вид. Так как V = U ЕВ U 1., то С1, ... , е n -получаем, что существует такой ортонормированный базис ез,го оператораортонормированный базис евклидова пространстватребуемый видСледствиеJR(V,в котором матрица А оператора А имеетО24.10.75.Теорема10.74позволяет дать геометрическую классификацию ортогональных преобразований трёхмерного евклидова пространства.
Например,симметрия относительно прямой,симметрия относительно плоскости,1(~Оcosi.p -sin.рs~n i.p)cos-i.pповорот на угол ер вокруг прямой.В частности, справедлива следующаяТеорема Эйлера. В трёхмерном евклидовом пространстве любой ортогональный линейный оператор А, не меняющий ориентацию (т. е. определитель матрицы этого оператора в любом базисеравен+1,А Е30(3)),является вращением относительно некоторой оси.Пример 10.76. Пустьпроизведением, е1]R;V = ]R;.З= (1, О, О),ез-евклидово пространство строк со стандартным скалярным= (0,1,О), ез=(О, О,1) -стандартный ортонормированный базис,линейный оператор А в ортонормированном базисе е1, е2, ез имеет матрицуТогда А- ортогональная матрица, А - ортогональный оператор.
Требуется найти оргонормированный базис, в котором матрица оператора А имеет канонический вид.Вначале находим корни характеристического многочлена=1"2 (1 ± V3i).PA(t)= IA -Поэтому канонический вид равен(1ООcos ерsin ерО-s~n i.p) ,cos i.pпер=3или5пер=-.3tEI: А1=1, А2,З=10.4.141Метод наименьших квадратовДляAl=1находим собственные BeKTO;:JbI оператора А:главный ступенчатый вид~ ОQl1-1-1Фундаментальнаясистема решений состоит из одного элемента: х= (1,1,1).Нормируем элемент х:1= J3(1,1,1).eli)ДЛЯ А2 = ~2 (~+J3 находим собственные векторы для комплексификации оператора А:2216J3.13---'ь223116J3.23123---z1J3233---z62Главный ступенчатый вид:1ОО11J3.-+-z221J3.---z22Фундаментальная система решений состоит из одного элемента( - ~ . -~. 1) + i (- J3'. У',3 i., 1) .z=2Нормируем элементы иезv2i (-=J3J32' 2''2о): е2_1_(_1 -1 2)v6 ' , ,~ (-1,1, О) (нет необходимостиприменять процесс ортогоналиэациик найденным элементам=и.
и(-~2' -~2' 1) и=2'v,они ортогональны).Итак, в ортонормированном базисе el, е2, ез евклидона пространства JRЗ матрица А оператора Аимеет видА=С-V---->оо-о--12J32о(~J3-21-2ооcos ерsin ер- sin ерcos ер'-----.J)57Гер=-З'1IV - евклидово пространство, diш V < 00,V - обратимый линейный оператор. Тогда А = ВС, где В - ортогональный оператор,ТеоремаА:110.77(полярное разложение). Пустьсамосопряжённый оператор с положительными собственными значениями (операторы В и Сопределены однозначно). Аналогично, А = С'Б', где В1-ортогональный оператор, С 1жённый оператор с положительными собственными значениями.-самосопря142Евклидово пространство§ 10.V =Доказательство. Рассмотрим линейный операторV* =жённый оператор:оператора=(А* А)*вещественны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
