Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Полагая 7Jm+111= l.fm+11.fm+1"'"vnl.fnl.fn,получаем оргонормированный базис{'И1, ... , V m, V m+1, ... ,vn} пространства V.ЗамечаниеО10.23.1) Матрица Грама Г ортонормированного базиса е1, ... ,е n евклидова пространства 1- единич=Еная, ГЕMn(IR.).ванный), то Г'=(см. замечание??).Если e~,С* ЕС=... , e~ -С*С, где СЕслиVn-1 =\/(не обязательно ортонормиро- матрица перехода от базиса е1, ....
е n к базису e~ ..... e~Поэтомудля любого базиса пространства2)другой базис пространстварассмотретьV.последовательно(e~, ... , e~_1) пространства V=подпространства(e~),V1(e~, e~), ..V2(e~, ... , e~) и повторить приведённые рассуждеVn =ния для матриц Грама базисов этих подпространств, воспользовавшись существованием ортонормированных базисов подпространствматрицы Г' положительны. Позже(??)\/i, 1~i :::;п- 1,то мы получим, что все угловые минорымы увидим, что это условие для симметрической матрицы Аявляется и достаточным для того, чтобы матрица А задавала некоторое скалярное произведение,А = Г (это условие эквивалентно тому, что матрица А положительно определена).3)Еслиl[=(е ) и [' (~:) ортогональные базисы евклидова пространства=еnС ЕGLn(JR.) -_еn= с-1) .
Обратно, если фиксирован ортонормированный базис [и матрица перехода от базиса Е к базису=С*ЕС=мы, тоИтак,['ортогональная, то Е'-ортонормированный базисЕ)Предложение= (o,ij)С*[,матрица перехода, то матрица Грама в обоих базисах единичная, поэтому С*С = Е(т. е. матрица С ортогональная, С*(Г'V, [' =10.24.Пусть щ,...
, V m-элементы евклидова пространстваV,Г (7)1, ...,Vm)=Е Mm(JR), где Щj = (Vi, щ), 1 ~ i,j ~ т. Тогда если элементы 1)1, ... , 1У т линейно независиIr(V1"" ,Vm)1 > О. Если же элементы V1, ... ,Vm линейно зависимы, то Ir(Vl, ... ,vm)1 = О.Ir(V1, ... ,vm)1 = о тогда и только тогда, когда {V1"" ,Vm} -линейно зависимая система.122§ 10.Ееклнлоьо пространство1) Первая часть утверждения уже доказана выше (достаточно рассмотретьV! = (V1"", V m ) с базисом е1 = 1.'1, - ..
, еm = v m ) .2) Допустим теперь, что элементы 'L'l" .. , Vт линейно зависимы. Тогдаевклидово пространДоказательство.ствоУмножая(а1","где Х=последовательноат ) -последнееравенство(Х1, ... , Х rn ) . Следовательно, IГСИ1",Следствиеслеваскалярно·И1, ... , -и т ,наполучаем,чтоненулевое решение однородной квадратной системы линейных уравненийПри10.25.k= 2для х, у Е. , 'Иrn ) I =оDевклидово пространство) имеемV (V -(неравенство Коши-Буняковского).Замечание1)10.26.Если в процессе оргогонализациилинейнонезависимыхэлементов(без нормировки ортогонального базиса) мы переШ:J!И от91, .. ·, 9rnк элементам11' ....
1т(ортогональный базистподпространства (91, ... , 9rn)), то Г(91,... ,9m) =Г(Л,... ,1т) =П(!;, fi),i=lrn2) r(gl"", gm)~ ПДействительно, в процессе ортогонализации(gi, gi),i=l9} = fj+ алЛ + '" + aj,j-11j-1,Поэтомуj = 2' .... lП.j-1(9j,9j)= (Jj,1j) + La~i(k1i)? (Jj,1j).i=lЗ) Если4)V-евклидово пространство, V1,, Vm Епипеда, построенного на элементах 1)1,,VНеравенство Адамара. Пусть А ЕТогдаV,то квадрат т-мерного объёма параллеле-rn равен Г( V1,Mn(JR)....
, Vm ).nIAI ~ П(а~l + ... + а;n)·2i=lПустьV= IRnА 1 , ... , А n ЕIR nевклидово--пространствосостандартнымстроки матрицы А. Тогда Г(А 1 , ... , А n ) =скалярнымIAA*Iпроизведением,При меняя пункт2),получаемnГ (А 1, ... , Аn ) ~ П (A i , Ai )i=lНО IAA*[ =IA['IA*I=IAIn=П (aZ1+ aZ2 + ... + aZn ) ·i=l2Геометрический смысл неравенства Адамара состоит в том, что объём параллелепипеда непревосходит произведения длин его рёбер; он равен этому произведению в том и только в томслучае, когда рёбра взаимно ортогональны.10.1.123Ортогональное дополнение10.1.Ортогональное дополнениеОпределение10.27.странства Vl и V2Пусть ~·l."'2 -подпространства евклидова пространства 1Ft V.называются ортогональными (обозначение: V 1Подпро=--l V 2), если (V1, V2)О длявсех V1 Е V 1, V2 Е V 2.Предложение10.28.Vi, 1t'2 -Пустьподпространства евклидова пространства 1Ft V.
Тогда:1) если е1,··., е m - базис пространства Vi, Л,· .. ,!n - базис пространства V2 , то условиеV1 --l V2 равносильно тому, что (ei, !з) = О, 1 :( i :( т, 1 :( j :( n;Доказательство.1)Если V1 --l V2, тоТогда для1!1(ei, .fj) =О для всех i,Е V 1, V2 Е V2 имеем1)1=Х1еl(Щ, V2)Допустим, чтоj.+ ... + хmе m,=I:xiYj(ei,=V2fj)=(ei' fj) =JJ1ЛО,1 :( i :( т, 1 :( j :(+ ... + и-Л«,11.xi, yj Е КО.i,j2)Пусть Х Е V 1n V 2.Так как V 1 --l V 2 , ТО (Х, Х) = О, следовательно, Х = О.ОпределениеО-j. ИV,<;;;;и10.29. Пусть И - подпространство-j.
V. Рассмотрим подмножествоИ 1--Заметим, что и-+ 'И2) =й Е JR. Более того, VХ=Х1 V1=О для всех'u=(и, 'И1)+ Са, 'И2) =+ XnV n.(dim УО; имеем Са, й'и1)=0.(11.=\и1" .. ,иm), 'ui=ail V1эс].=О И (и. L'2)+ ... + ain'/.=О дляС1) = О Д.1Я всех ц Е И,и ЕВ н-, Действительно, и- --l и, и по предложению ?? и-Пусть иn<=Е И} <;;;; У.ортонормированный базис евклидова пространства, Vm -+Е V I (и, v)подпространство линейного пространства V: если (и.1'1)всех 'а Е И, ТО (Н, 'И1Пусть V1,= {vевклидона пространства "Гnи={О}.Д.:1Я любого Х Е 1;Т имеем11т, 1 :( i :( т..
Тогда условие(и, Х) = О для всехи Е и, определяющее пространство и 1-, эквивалентно однородной системе(16)При этом г( А) = dim и = т, и dim и 1- совпадает с размерностью пространства решений однородной системы линейных уравнений, равной n - г(А). Следовательно, n = dim V = dim и + dim о»,и поэтому V = и ЕВ о-.Замечание10.30.1) Подпространство и: евклидова пространства V называется ортогональным дополнениемк подпространству и Отметим, что, так как V = и ЕВ и-, то dim V = dim и + dim и-, следовательно, dim и 1- = dim V - dim U.
Ортогональное дополнение находится достаточно просто: еслии = (щ, ... , 'и m ) <;;;; V - линейное подпросгранство, являющееся линейной оболочкой конечногочисла элементов, то в качестве базиса ортогонального дополнения н- достаточно взять фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений2)(16).Если е1, ... , e s -"рованныиб азисортонормированный базис подпространства и, Cs+1, .... СП - ортонорми·...·ортогонального дополнения u,то 1е1,··., es, e s+1,,е n ортонормированныиuбазис пространстваЛемма 10.31.V.(u1-).1 = U.124§ 1ОЕвклидово пространствоДоказательство. Так как (и, '11) = О для всех u Е И, '11 Е U~, то И ~ (U~)~. Но dim и- =dim V -dimU, dim(U~)~ = dim V -dim(U~) = dim V - (dim V -dimU) = dimU. По леыме Р?U=(U~)~.'Замечание10.32.Пусть IRVевклидово пространство, И-подпространство еВК:1!И.:Ювг<;;; V -пространства IRV, О =f.
и =f. V. Так как IRV = И EIЭ и-, то элемент 'И Епредставлен в виде '11 = U + ш, где u Е И, w Е и-,Элементvназывается ортогональной проекцией элемента '11 на подпространствоu=f.~ И, то wможет быть однозначноIRVо. При этом, по теореме??,еслиz=f.'11"'lJ.1 2 + 111. -ZЕ И,zТОU =V -Е С-./1'е. ЕслаГ ?:fl - : : :::поэтому-Zследовательно, [т,-z[ >Пусть щ,+U = Ь 1 и1++ ('11, - z) 12 = 11) -12 = 1(1) - и)1'11,и n -Iml12Таким образом, Iшl- кратчайшее расстояние от г ':0 С(' = u -базис линейного подпространства И,U Е "Т,ЬN и n ,biЕ!Г 2.=u 2>1' -JR, 1и'.с С.
и' сU[-- _ТО02~ i ~ n. Коэффициенты Ь, находим из условия и' = t' -Это условие равносильно тому, что (и, Щ) =(v, Ui), 1~ i ~n.Ь с ...то есть_. 9~. -UЕU-.елииственноерешение системы линейных уравнений... ,Нn ) = ((тч, Uj)) Е М n (К) - симметрическая матрица Грама базисагде Г (Щ,... , 'и nЕсли щ,-ортонормированный базис подпространства И, ТО Г(Н1,х n)-матрица, и поэтому(n10.2.=bi(V,Щ),1~ i ~11.1, ... , Un '... , 'и n )единичная-n.Линейные функционалы на евклидовых пространствахЛемма10.33.Пустьевклидово пространство, Н, '11 ЕV -=(Х, Н)V,(Х, '11) для всех х Е1/.= v.Тогда НДоказательство. Так как (Х, -и)Положим Х = U - 1).
Тогда (иПусть-=(Х, 'и) для всех х Е'11) = О,'11, '11, -V, тоследовательно, u - 'и(х, и-'и)=:2'ЕО, 'U =1'.=линейное пространство над полем К. Линейное отображениеV-О для всех1/[J.f:к 1/-7К К наЕсли dim V = п. < 00,' .. , е n - базис пространства V, то для любого Х Е V имеем Х = Х1 е1 + ... + хnе n, xi Е К,f(x) = x1J(e1)+ ... +xnJ(e n). Обозначая а; = J(ei) Е К, получаем, что J(x) = Х1а1 + ... +хnаnзывается линейным финкиионалом на линейном пространстве к V,е1,линейная форма от переменных Xl,· .. , Х n 'ЕслиV -...
, е n-евклидоно пространство,.f: V-7JR -линейныйфункционална пространстве IRV,п.е1,оргонормированныйnJ(x)=LЛХ) = (х, а)n <IRV,тодлявсех==(х, а), где а=LLxieiЕVi=laiei Е IRV. Элемент а Е V определен однозначно: если а, Ь Е V,i=l(х, Ь) дЛЯ всех х ЕхV,то по лемме??а=Ь,Сопряженный операторПусть А=пространстваnxiaii=l10.3.базис00.-фиксированныйлинейный оператор наДля каждого элемента у ЕVевклидсвомрассмотрим отображениепространстве IRV,fy: V-7dim V=JR, /чст) = (А(х), у).10.3.125СопрЯЖёННЫЙ операторПокажем, что для каждого у ЕдЛЯ 'и,vЕотображениеVлинейный функционал на пространствеfy -V:имеемVfy(u+v) = (A(u+v),y) =аналогично, для а Ех ЕJR,fy=+ (A(v),y) = fy(u) +fy(v),(А(u) , у)VJy(ax) =Функционал(А(u)+А(п),у)(А(ах), у)==(аА(х) , у)а(А(х),у)= aJy(x).на евклидовом пространстве имеет однозначное представление в видеfy(X)(= (А(х);у)) = (х, z(y))для всех х ЕV,где элементz(y)зависит только от у Е(17)V.Обозначим через А * отображениеА*:элементz(y)странствеV:V-7однозначно определен условиемдЛЯ всех х, у,vЕа ЕV,= z(y),А*(у)V;у Е(17).
Покажем, что А * - линейный оператор на проR(x,A*(u+v)) = (A(x),u+v) = (А(х),и)+ (A(x),v)== (х,А*(u))и следовательно, по лемме??А*(иV,+ v) = А*(и) + A*(v)+ (x,A*(v)) =для всех 'и,Еv(х,А*(u) +A*(v)),V;(x,A*(av)) = (A(x),av) = a(A(x),v) = a(x,A*(v)) = (x,aA*(v)),и по лемме?? A*(av) = aA*(v)для всех а Е Е,vЕV.Линейный оператор А* однозначно определён условием (А(х), у)(х, А*(у)) для всех х. у Е \'.=Действительно,если В, С - такие линейные операторы на пространстве V, что (х, В(у))для всех х, у Ето по леммеV,Определениеный оператор, А*10.34.ПустьВ(у)??=С(у) для всех у ЕV.евклидово пространство,]R V -Следовательно, В=<Vdim]R Vпостроенный линейный оператор на пространстве-V,00, А:(х.С(у))=С.-7\tT -линейоднозначно определённыйусловием(А(х), у) = (х, А*(у))для всех х, у ЕV.Линейный оператор А* называется сопряжённым оператором к линейномуоператору А.Пример 10.35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
