Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 7
Текст из файла (страница 7)
, V Nпространства9.2.базис линейного пространства-V,то А( Vl), ... ,А(V n)также базис линейногоV.Образ и ядро линеиного оператораПусть А-линейный оператор на линейном пространстве к V. Определим образГш А=I х Е V}{Ахи ядроКег А = {х ЕI Ах =VО ЕV}линейного оператора АОбраз и ядро являются подпросгранствами линейного пространстванайдутся такиеz,wЕV,что х =A(z),у =A(w),V:если х, у Е Гш А, топоэтомуx+y=A(z)+A(w) =A(z+w)Е1mA;для о: Е К имеемо:х= o:A(z) = A(o:z)ЕImA;если же х, у Е Кег А, тоА(хпоэтому х+у+ у) = А(х) + А(у)= О+ О = О Е V,Е Кег А; для о: Е К:А(о:х)=о:А(х)=о: . О=О ЕV,следовательно, о:х Е Кег А.Рангом г(А) линейного оператора А называется числотом-числоd(A)= dim Кег А(размерность его ядра).dim Гш А(размерность образа), а дефек102§ 9.Пусть ет , ...
, е n -Линейные операторы линейного пространствабазис линейного пространства У. Отметим, что линейное пространство Ггп Аявляется линейной оболочкой элементов А(е!),. . . ,А( е n ) .Таким образом, числоdim1mA совпадает с рангом системы элементов А(е1),'" ,А(еn ) , следовательно, с рангом (по столбцам) матрицы А линейного оператора А в базисе е1:... ,еn .=Итак, г(А)dim1mA=г(А).
Посколькуг(с- 1 АС) = г(А) (см. ??), ранг матрицы линейного оператора в любом базисе совпадает с рангомоператора (размерностью образа).Теорема9.7.Сумма ранга и дефекта линейного оператора совпадает с размерностьюлинейногопространства:+ d(A) = dim Гш А + dimKeI' А =г(А)Доказательство. Пусть т =ты А(е1),'",A(er)= n.dimK Vг(А). Не ограничивая общности, можно считать, что элеменобразуют базис линейного пространства: 1mA =(А(е1),'",A(er)).ПустьL = (е1"" ,e r ) , N = КегАПокажем, что V = L ЕВ N (это доказывает утверждение теоремы, поскольку dim(L ЕВ N) == dimL + dimN). Пусть х Е L n N.
Так как х Е Е, то х = 0'1е1 + ... + O'rer, O'i Е К, i = 1, ... ,Т.Так как х ЕN,то О= 0'IА(е1) + ... + O'rA(er). Но элементы А(е1), ... ,A(er)= ... = O'r = О, И следовательно, х = О. Поэтому L n N = {О}.=А(х)независимы, поэтому 0'1Покажем теперь, чтогде=zЕ+N=Пусть х Е У. Тогда А(х) ЕV.1mA, А(х) = р 1 А ( е 1 )Pi Е+ ... +К, i = 1, ... ,Т. Рассмотрим у = Р1е1 + .. . +Prer. Ясно, что у Е L. ДЛЯ элементаA(z) = А(х-у) = А(х)-А(у) = О Е V, то есть z Е N. Итак, х = y+z, где у Е Е,N, следовательно, V = L + N. Поскольку L n N = {О}, V = L ЕВ N.D+PrA(e r),zLлинейнох-у имеемЗамечаниеel, ...,е n -9.8.Можно доказать теоремубазис линейного пространстваV.в матричной форме следующим образом.
Пусть9.7Дефект линейного оператора совпадает с размерностью пространства решений однородной системы линейных уравнений(здесь Аматрица оператора А в базисе е1:-.. " е n ) ,равной п.г(А) (см.-??).Это доказываеттеорему.Замечание9.9.Пустьоператор на пространстве1) г(А)= n.<00, А-невырожденный (т. е.
обратимый) линейныйТогда:Действительно, для невырожденного линейного оператора А имеем Кег Аиз теоремыАп.dim V =V.?? следует, что г(А)=n(если г(А)= n,= n,то г(А)={О}, иматрица А обратима, т. е.обратимый оператор).-2) Если В - линейный оператор на пространстве V, то г(АВ) = г(ВА) = г(В). Действительно,г(А) = n = dim V, в любом базисе пространства V матрица А оператора А обратима, а дляматрицы В линейного оператора В в этом базисе имеем г(В)что в этом случае г(АВ)Замечаниепример,Кни ~ n, А-9.10.= JR, 17,В=теоремеЕN, V -г(ВА)9.7=г(В) (см.пространствовсехмногочленовлинейный оператор взятия производной . Тогда Гш А17, 1, Ггп А Ic V, Кег А - одномерное подпространство1), КегА ~ 1mA Поэтому 1mA + КегА Ic V.Другой пример: К= JR, V = JR2,оператор на пространствеV,дЛЯ (а,Ь) ЕГш А = Кег А.г(В).
Но мы уже доказали,??).нельзя утверждать, что Гш Апени ~ниже=-+отКег Аодной=V.Пусть,переменнойнастепепространство многочленов стеконстант (многочленов степениV положим А(а,Ь) = (Ь,О). Тогда А-линейный1039.2. Образ и ядро линейного оператораРассмотрим теперь класс линейных операторов, для которых Ггп А ЕВ Кег А =ОпределениеЕсли v ЕV,9.11.Пусть и и Н'-подпространства линейного пространствато v = 11 --т- IC,U Е П; из ЕРассмотрим отображение А: ~.---7~1.V.и элементы 'и иW,A(v) =11.
Ясно, что А= и ЕВ И/V, Vwопределены однозначно (см.-линейный оператор на простран??).стве к V, он называется проектором на подпространство И вдоль подпространства И/.Пример 9.12.векторанаДляW=ось е1VпроектораК8Г А,= JR2, е1, е2 -вдольАосинастандартный базис векторов на плоскости, А-проектированиеЕ2.подпространствопоэтому ~T =ИГш А ЕВ Кег А.JRV = JRU ЕВ JRW, дЛЯ v =Н+ из,где 11 Е И,ный оператор на линейном пространствевдольподпространстваWОбратное, вообще говоря,V, Vw Е И/, положим A(v)имеемневерно:=ИТш А,=пусть К =R.1-и.
Тогда А-.lине~2= 1mA Е!3 Кег А, однако линейный оператор А неявляется проектором.Теорема9.13.Линейный оператор А на линейном пространствеи только В том случае, когда А 2=является ироеклорон в ТОХVА.Доказательство. Ясно, что если А-проектор, то А 2 =А:пусть ,.=с ~ Г. 70::-":<:A (u+v ) = А(и) = и. = A(1I+V). Обратно, допустим, что А 2 = А. Докажем. что f,T = IшА-:::-Кег А.Пусть v Е Гш А n Кег А. Так как v Е Кег А, то А( 'и) = О. Так как v Е Гш А. то t" = .фи' .1:::Я некоторого н Е V. Но тогда О = A(v) = А 2(н) = А(н) = v. Следовательно. IшА ~ Кег А = {О}. Д.1ЯV Е V рассмотрим представление 'И = А( 'и) + (v - А( v)). При этом А( 1.') Е Im.A. А{ г - А(с)) == A(v) - A 2(v) = О Е V Поэтому V = 1mA+KeIA.
Так как 1mAnKel".A. то ,- = ImA~Kel"A.2Пусть Ипространства=Ггп А,T/V.V=Кег А. Покажем, что А- проектор на подпространство [.~ вдоль подПусть ~} ЕV, v=н+ ш,11,Е и,wvV.ЕТак как С = ImА, то 11 = А(.т) длянекоторого х Е V, и A(v) = А(и) + А(ш) = А(и) = А 2(х) = А(х) = U (А(ио) = О, посколькуw Е W = Кег А) Итак, А - проектор на подпространство U вдоль подпространства 11'/DЗамечаниеиW -= А(х)9.14(о линейных отображениях линейных пространств).
Пусть Клинейные пространства над полем К, А:+ А(у),е1,···, е n-А(ах) = аА(х) для всех х, у Ебазис линейного пространстваVV,---7линейное отображение (А(хTiV -а Е К), dim V =V, 11, ... , 1т -поле,-n <00,+ у)dim W = тбазис линейного пространствалинейное отображение А однозначно определяется элементамиVW.<00,ТогдаA(ej), j = 1, ... ,n,(12)1J(аlj,...,а m j ) - ко о рди н а т ы элементаA(ej)в базисе Л,...Л,«,(a..)-j-й столбец матрицыа т.7А= (aij)Е Мт,n(К), которая называется матрицей линейного отображения А по отношению11, ... , 1т (при фиксированных базисах эта матрица определена однозначно).
Если w = А(т), Х = (Х1, ... ,х n)-строка координат элемента х в базисе Р1, ... ,Рn,W = (Ш1"", Ш т ) - строка координат элемента W в базисе Л, ... , 1т, то= АХ Если фикк базисам е1,·.. , е nИwсировать любую матрицу А Е Мт,n(К), базисы е1, ... , е n линейного пространствалинейного пространстваvv· и рассмотретьтах е, по правилу (12), А(:х:) = х 1А(е1)+"линейное отображение А:.+хnА(е n) ДЛЯ.т Елинейного отображения А относительно базисов е1,Пусть... , е nV,:x:и Л,...V-t= Х1е1W,Vи Л,···, 1тзаданное на элемен+ .. .+:х:nе n ,.Г« совпадёт с А.то матрица104§ 9.базисы линейного пространстваЛинейные операторы линейного пространства1',:;::' =11)(j~,:;::' =(Л)J:п.базисы линейного пространства И', Е' =С*[ (С Е GLn(K), С - матрица перехода от базиGLm(K), D - матрица перехода от базиса F к базису Р).Тогда для элемента w = А(х) имеем W = АХ, где А - матрица линейного отображения А относительно базисов Е и Т, Пусть j{' - столбец координат элемента х в базисе Е', Ит' - столбецкоординат элемента w в базисе Г', Тогда Х = СХ', W = DW' и DW' = АСХ', и следовательно,Ит' = (D- 1 АС)Х/ Отсюда вытекает, что матрица линейного отображения А относительно базисов[' и :;::' равна А' = о:' АС.ДЛЯ линейного отображения А: V --7 W ядро Кег А = {х Е V I А( х) = о Е W} являетсяподпространством линейного пространства V, а образ Гш А = {А( х) I х Е V} является подпространством линейного пространства W, ранг г(А) линейного отображения А (г(А) = diш Гш Аг(А)для матрицы А линейного оператора А относительно любых базисов линейных пространств V и И/)са[к базису Е'), Р =И дефектD*:;:: (DЕ= diшКегА) связаны соотношением(d(A)г(А)+ d(A) = diш1шА + diшКег А = diш v.Это соотношение особенно прозрачно для матричной харакгеризации элементов Кег А: при фИКсированных базисахНо размерностьп-виVFвWэлемент х Е Кег А в том и только в том случае.
копапространства решений этой однородной системы линейных уравнений равнаг(А), где г(А)9.3.[.-ранг матрицы А, г(А) = г(А).Инвариантные подпространстваПусть Алинейный оператор на линейном пространстве-пространстваV.-подпространство линейногоТогда И называется инвариантным подпространством для линейного оператора А,={А(и)Примеры9.15.если А(И)ИV,IиЕ И} <;";; И.1) Ясно, что нулевое подпространство {О} и всё пространство V линейного пространства V являются инвариантными подпространствами для любого линейного оператора А на линейномпространстве2)v.Для тождественного оператораIv(и любого его кратногоaIv,а Е К) любое подпространство инвариантно.3) Пусть К= JR, V = JR2 -пространство всех векторов на плоскости, выходящих из однойточки (центра).
Тогда:а) если А-центральная симметрия, то в этом случае любое подпространство линейногопространстваб) если А-Vинвариантно;поворот вокруг центра на угол rptк«,kЕZ,против часовой стрелки,то в этом случае оператор А не имеет нетривиальных инвариантных подпространств(отличных от {О} иv);105Попслэнозкэ оператора В многочлен9.4.в) если К =ЕJR, nРn -N, 1R V =:(; п, А -переменной степен илинейное пространство всех многочленов от однойлинейный оператор взятия производной , то В этом случаеподпространства {О}, Р 1 , Р 2 , ... , Р n (и только они) являются инвариантными.Предложениетора А: к VКV-7Пусть И,9.16.~Wинвариантные подпространства для линейного операV -+ И/,Тогда линейные подпространства ИИn 117линейного пространства к Vтакже инвариантны относительно оператора А.Доказательство.= А(и)+ A(w)Е ИПусть х Е И+ W,+ W.Тогда хтак как А(и) Е И ~ И=и+ W,+ W,гдеЕ И, w Е И/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
