Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 6
Текст из файла (страница 6)
,п,j=lдругими словами,Если А Е Мп(К), е1,··., е п- базис линейного пространства KV, то рассмотрим отображениеА: V ---7 V: дЛЯ х = Xlel + ... + хпе п, xi Е К, положим и: = А(х) = Ш1t:1 -+- '" + 'Шпе п, гдеW = АХ. Тогда А - линейный оператор на линейном пространстве V: А(х + у) = А(х) + А(у)для х, у Е V, поскольку А(Х + У) = АХ + АУ, и A(Qx) = QA(x), поскольку A(QX) = QAX дЛЯQ Е К. Матрица линейного оператора А в базисе еl, ... , е n совпадает с А.Запись W = АХ является матричной записью выражения W = А(х) с использованием изоморфизма VJ: V ---7 к», для х = Xlel + ...
+ хпе п Е V, х; Е К,Примеры линейных операторов1) Пусть К = JR, V = JR2 (линейное пространство векторов на действительной плоскости,выходящих из начала координат), АА--поворот векторов на уголлинейный оператор на пространствеV,имеемА=VJпротив часовой стрелки. Тогдаи в стандартном базисе ег. ез(c?s VJ sin VJ) .sш VJcos VJ972)Пусть К =JR., nпеременной t степени ~базис пространстваЕn.N, V -линейное пространство всех действительных многочленов отТогдаV.
Рассмотрим отображение А: VV, заданное правилом А (J (t)) = 1"' (t)следует, что А - линейный оператор на---?(взятие проиэводной) . Из свойств производной функциипространствеV.При этом матрица А оператора А в базисе ео, el".. , е n имеет следующий вид:ОО1ООО1А=(жорданова клетка размера n+13) Нулевой оператор О: VОО1ОООО1ООООс нулём на главной диагонали).V,О(х)=V. В любом базисе {еl .. ·.,еп}- нулевая (n х n)-матрица ОП Е ~In{K).4) Тождественный оператор Гу . V ---? V, I(x) = х для всех х Е V. В любом базисе {еl .... ,еn }пространства V матрица тождественного оператора - это единичная (n Х n)-матриuа Еn Е ~In(K).---?О для всех х Епространства V матрица нулевого линейного оператораЛемма9.1.Пусть А-линейный оператор на линейном пространствеэлемент пространства V.
Тогда А(О)=О, А( -'и)=\:,т Е ,О,0- н)"левой-АСи).-Доказательство.0= А(О) + (-А(О)) = А(О= (А(О)+ А(О))+ О) + (-А(О») =+ (-А(О)) = А(О) + (А(О)0= А(О) = A(v + (-1))) = A(v)Замечание+ A(-v).= А(О) + О =А(О);оV ---? V - линейный оператор на линейном пространстве V и существует обратное отображение A- 1: V ---? V, AA-1(x) = A-1A(x) = х для всех элементов х Е V.Тогда A- 1 также линейный оператор на пространстве V: дЛЯ всех 'И, 'и Е V9.2.Пусть А:- А(О»)Так как отображение А инъективно, тоАналогично, дляследует,Итак,vЕVи о: Е К изчтоA- 1-линейный оператор на пространствеV.98§ 9.Если А-линейный оператор на линейном пространстветогда и только тогда, когда х =пространстваV,Vи для х ЕVимеем А(х) =ОО, то оператор А называется невырожденным. В противномслучае оператор А называется вырожденным.
Еслигде АЛинейные операторы линейного пространства=n <dim Vто условие А(х) = О равносильно условию00, е1, ... , е n -базис линейногоматрица линейного оператора А в базисе е1, ... , е n,-=столбец координат элемента хХ1е1+ ... + хnе nВ том же базисе. Существование ненулевогорешения однородной системы линейных уравненийэквивалентно условию 'А[IAI =f.случае, когдаЛеммаЩ, ...9.3.=О. Таким образом, оператор А невырожден в ТО!\{ И толькоПусть Атомневырожденный линейный оператор на линейном пространстве У,-линейно независимые элементы пространства,vs -3о.V.Тогда A(l)l)' ... , А( t's) также линейнонезэвисимые элементы.Доказательство.
Пусть 001, ...,OO s Е К иТогдаA(OOl'UlТак как А'И1, ...+ ... + OOsv s ) = OO1A(-ul) + ... + asA(-u s) = О.оператор, то аl Vl + ... + OOsl s = О, И 001 = ... =- невырожденный,vs линейно независимы).J1)=АСложение операторов. Пусть А и+ в).End(K V)на линейномV.отображение С:СО (элементыОРассмотрим следующие операции на множестве линейных операторовпространствеas =V -. V,Проверим.
что Слинейности операторов А илинейные операторы на пространстве8=А(х)+ 8(х)линейный оператор на пространствеи свойств линейного пространствадля всех х ЕV.VДЛЯ х, у ЕV. РассмотримV (обозначение:V, а Е К в силуимеем:+ у) + 8(х + у) = А(х) + А(у) + 8(х) + 8(у) == (А(х) + 8(х)) + (А(у) + 8(у)) = С(х) + С(у),С(ах) = А(ах) + 8(ах) = аА(х) + а8(х) = а(А(х) + 8(:r;)) = аС(.т).С(х2)+ у) =8 -заданное правилом С(х)А(хУмножение линейного оператора на число: для а Е К и линейного оператора А на линейном пространстве к V(ооА)(х)=над полем К рассмотрим отображение аА:аА(х) для всех х Е(аА)(х+ у) =аА(хV.V--7V,заданное правиломПроверим, что ooA-линейный оператор.
Для х,у Е+ у) = а(А(х) + А(у)) =аА(х)+ аА(у) =(аА)(х)V,л Е К+ (ооА)(у),99(аА)(АХ)аА(АХ)=Таким образом, аА-=аАА(х)ЧаА(х))=Ч(аА)(х)).=линейный оператор на пространствеV.Ряд свойств следует из определений сложения линейных операторов, умножения линейногооператора на число, нулевого оператора О и из аксиом линейного пространстваV:(А+В) +С = А+ (В+С);А+В=В+А;О+А=А+О=А;l·А=А;(-l)А+А= А+ (-l)А= О;а(,6А) = (а,6)А;(а+ ,6) А= аА+ ,6А;+ В)= аА+ аВа(Адля всех су,,6 Е К, А, В, С Е End(K V). Таким образом, множество всех линейных операторовEnd(K V) на пространстве к V над полем К образует линейное пространство над полем К.3) Умножение (композиция) линейных операторов в End(K V).
Пусть А и В - линейные операторы на линейном пространстве V. Рассмотрим отображение С: V - 7 V, заданное правиломС(х) = А(В(х)) для всех х Е V. Покажем, что С - линейный оператор на пространстве 1" (называемый произведением (или композииией'[у линейных операторов А и В (обозначение: СДЛЯ х, у ЕV,=(АВ)(ах)А(В(ах))=9.4.А(В(хПустьраторы на пространстве+ у))== А(В(х)А(аВ(х))=+ В(у))= А(В(х))аА(В(х))=+ А(В(у)) =(АВ)(х) -т-- (АВ)(у):а((АВ)(х)).dim V = n < 00, eI, ... ,еn - базис пространства V, А, В к V, а Е К, А и В - матрицы линейных операторов А и Вв базисе eI, ... , е n . Тогда в базисе eI, .
. . , е n оператор АаА, АВАВ).а Е К имеем:(АВ)(х + у)Теорема=+Вимеет матрицу А+ В,линейные опесоответственносуА-матрицуматрицу АВ.-= (aij),В+ B(ej) =LДоказательство. Пусть А= (bij ) ЕМ n (1{ ) . Тогдаппп(А + B)(ej) = A(ej)Q.ijeii=IСледовательно, матрица линейного оператора А+L+Вформе: если уоператорbijei = L(Oiji=I+ bij)ei,1~ j ~ пi=Iв базисеel, ... ,еn равна А+ В.В матричной= (А + В) (.7:), то У = А(х) + В(х), У = АХ + ВХ = (А + В)Х (и следовательно,А + В имеет матрицу А + В в базисе el, ... , е n ) .Аналогично, для а Е К имеемn(aA)(ej)n= aA(ej) = а Laijei = L(aaij)ei,i=li=lпоэтому матрица линейного оператора аА в базисе el, ...
.е-, равна аА. В матричной форме: еслиу = (аА)(х), то у = аА(х), У = аАХ, и следовательно, оператор аА имеет матрицу аА в базисеel,· .. ,е n ·Если у = (АВ)(х) = А(В(х)), х Е V, то У = А(ВХ) = (АВ)Х (мы воспользуемся ассоциативностью умножения матриц). Следовательно, матрица линейного оператора АВ в базисе el,·· . ,е nравна АВ.О100§ 9.Линейные операторы линейного пространстваОперация умножения линейных операторов ассоциативна: для линейных операторов А, В и Сна пространствеVвыполнено равенствоА(ВС)=(АВ)С.=А(В(С(х)))Действительно, как для любых отображений,(А(ВС))(х)для всех х Е=А((ВС)(х))=(АВ) (С(т))V.Тождественный оператор Е является единичным (нейтральным) элементом относительно операции умножения: для любого линейного оператора А на линейном пространствеVимеемIA=AI=A.Действительно, (IA)(x)= I(A(T)) =А(х), (Л)(х)=А(Дх))=А(х) для всех т Е V.Операции сложения и умножения линейных операторов удовлетворяют закону дистрибутивностиА( В+ С) = АВ + АСдля любых линейных операторов А, В и С на пространстве к V:(А(В+ С))(х) = А((В + С)(т)) = А(В(т) + С(х)) == А(В(т)) + А(С(х)) =(АВ)(х)+ (АС)(х) =(АВ ~ АС)(х).Если О' Е К, то А( О'В) = О'(АВ) = (О'А)В:(А(аВ))(х)для всех х Е=А((О'В)(х))=А(О'В(х))=(аА) (В(х))=(аАВ)(х)V.Собирая все свойства операций сложения, умножения на число, умножения операторов, получаем, что множествоEnd(KV)линейных операторов на линейном пространствеVнад полем Кобразует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем К.Замечание9.5.ПустьdimкV=п.
Тогда, зафиксировав базисel"", е п пространства V иставя в соответствие каждому линейному оператору А на линейном пространствецу А в базисеEnd(K V)9.1.=А, получаем изоморфизм ассоциативных алгебр над полем К:изоморфизм линейных пространств, :р(АВ) = <р(А)<р(В) = АВИзменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базисуПусть 101, ... , Р n -еIего матри- биекция,End(]-(V)).el, ... , е п , <р(А)~ Мп(J-<) (<рдЛЯ всех А,В ЕVI1 , ...
, е п -u«новыи.базис линейного пространствабазис,V,1019.2. Образ и ядро линейного оператораЕ' = С*[, где Сматрица перехода-(ICI i= О),А- линейный оператор на пространстве V, имею,e~ равна C- 1АС.щий матрицу А в базисе el, ... , е«. Тогда матрица оператора А в базисе e~,Пусть у = А(х), х Е V, Х - столбец координат элемента х в базисе el,, е n .
Тогда У = АХ.Если Х' и у' - столбцы координат элементов х и у соответственно в базисе e~, ... , e~" то Х = СХ',у = Су'. Поэтому су' = у = АХ = АСХ'. Следовательно, у' = (C- 1 АС)Х'. ЭТО означает, чтоматрица линейного оператора А в базисе e~, ... , e~ совпадает с C- 1 АС. Так как для любых матрицА, В Е Мn(К) имеем IAB[ = IAI . IBI (см.
??), то определитель матрицы линейного оператора Ане зависит от выбора базиса:Замечание9.6.Линейный оператор А на линейном пространствеесли существует такой линейный оператор В (обозначение: В= A- 1 ) ,Vназывается обратимым,что АВ=ВА=I(тождественный оператор).Еслив базисе=dim V<nel, ... , е«,ос,el, ... , е nбазис пространства-АV,-матрица линейного операторато условие существования обратного оператора В в терминах матриц операВА = Е (таким образом, ВA- 1 ) . Следовательно, для конечномерныхторов имеет вид АВ==линейных пространств понятия обратимого и невырожденного линейного оператора совпадают.Для обратимого линейного оператора А обратный оператор определен однозначно, его матрицаравна А" ".Ясно, что обратимые линейные операторы (и только они) обладают следующим свойством:если Vl, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
