Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому А(х) =-uA(w) Е W ~ и+ И/+Wи И- линейноепространство.Пусть теперь .Т Е ИnИ/. Поскольку х Е И и А(U) ~ И, А(х) ЕU.Поскольку х ЕI/V ИA(l/V) ~ W, А(х) Е W. Следовательно, А(х) Е И n W.ЛеммаПусть9.17.dim V <00 и А:V-7О-невырожденный линейный оператор, И -инваVриантное подпространство для линейного оператора А. Тогда Иинвариантное подпространство-для линейного оператора А -1.= {О},Доказательство. Если Илинейного пространствато утверждение очевидно. Пустьбазис линейного пространства-хИ= т,е1,......,А( е с) линейТак как оператор А невырожденный , элементы А( еl)'U.но независимы.
Подпространство И инвариантно, поэтому А( е1),поэтому А(е1),'" ,А(е с)dim=0:1А(е1)+ ... + о:сА(е с) ,,А(ес) Е ИНо-базисdim V =Т,ДЛЯ любого элемента х Е И имеемU.Е К,O:i...,е с1:(; i :(; т.При меняя к последнему равенству линейный оператор А- 1 , имеемА- 1(х) = 0:1е1Замечание9.18.Если А:V-7.. , е n -базис подпространстваW,Е И.линейный оператор,V-антные подпространства для оператора А,е с+1"+ '" + о:се,тИ иvv· -нетривиальные инвариV = и EIЭ l/V, е1, ... , е; - базис подпространства С,то е1,·.. , е n -базис линейного пространстваV,и в этомбазисе матрица А линейного оператора А имеет блочный видПриА1этомв= Alu:Иверхнем-7линейного оператора А 29.4.левомуглустоитматрицаразмера=...
, ес, а в правом нижнем углу Alw: W -7 W В базисе е с + 1 , ... ,е n ·т х тлинейногооператораматрица А2 размера (n-т) Х (n-т)Подстановка оператора в многочленПусть к V-линейное пространство над полем К,j(x)=0:0+ СУ1Х + ... + о:nхnмногочлен с коэффициентами из поля К, O:i Е К, i =вгдеА1И В базисе е1,I: V-7V Vоператора В:Е К[х]0,1, ...-.п. Положим= j(A) = o:oI + О:lА + ... + о:nАnЕ End(K V),тождественный линейный оператор на пространстве-7Vимеем АВ= ВА.Если еl,матрица линейного оператора А в базисе е1,......,е т-V.,е т, то матрица В линейного оператора В в этомбазисе равнав =где Е Е Мт(К)-j(A) =суоЕ+ щА + '" + СУnАединичная (т Х m)-матрица.Ясно, что для линейногобазис линейного пространства к V, АnЕ Мт(К),106§ 9.Предложениеоператор,ЕfПусть к V9.19.ВK[xJ,= f(A).Линейные операторы линейного пространствалинейное пространство над полем К, А:-V->V -линейныйТогда подпространства 1тВ и КегВ линейного пространстваинвариантны для линейного оператора А.
В частности, если ЛХ)=х, то В=А и1mAVи КегАинвариантныдля оператора А.Доказательство.а) Пусть х Е 1шВ, хА(х)==ЛА)(у) ДЛЯ некоторого у ЕАи(А)(у»)=(АЛА)) (у)б) Пусть теперь х Е Кег В, В(х)f(A)(A(x»)===ЛХ) Еи(А)А) (у)= f(A)(x) = О.и(А)А)(х)V,K[xJ.Тогда= f(A)(A(y»)Е 1mf(A).Тогда(АЛА))(х)=Аи(А)(х))=А(О)=О,то есть А(х) Е КегВ.оРассмотрим одномерные инвариантные подпространства. Пусть в этом случае ириантного подпространства кU. Так как А(И)()!s;;-базис инваИ, то А(и) Е И, следовательно, А(и)=аи, гдеЕ К. Это приводит К следующему определению.Определение9.20.нейный оператор, х ЕПустьV,х=1линейного оператора А, а хЕсли е1,...
, е n--линейное пространство над полем К, А:KVо, А(х)=KV->KV-.ТJИАх, А Е К. Тогда А называется собстеенным числомсобственным вектором (относительно собственного числа л)V, А - матрица линейного оператора А в этомбазисе, А Е Мn(К), х Е V, х = Х1е1 + ... +хnе n, xi Е К, Х = (Х1", .,хn)-строка координатэлемента т, то условие А(т) = лх, х Е V, х =1 о, А Е К, эквивалентно условию АХ = АХ."Х' Е к-,-базис линейного пространстваX~ (I).
ЛЕКПусть К - поле, А Е Мn(К), 0=1 Х Е к» = М n,1(К), л Е К. Если А· Х = л· Х, то А называется собственным числом матрицы А, а Х - собственным вектором матрицы А, отвечающимсобственному числу А.Условие АХ = лХ эквивалентно условию(А - лЕ) Хгде Е Е Мn(К)-=(o~:)Е к»,единичная матрица. При фиксированном л это условие превращается в однородную систему линейных уравнений относительно неизвестныхМатрица А-лЕ этой системы-IA -tEI = pntnмногочлен степени п от переменнойпри этом:««.квадратная матрица размера п, Поэтому наличие ненулевогорешения этой системы равносильно тому, чтоp(t) =];1) .
. . ,tIA -лЕI = о. Пусть+ Pn_1tn-1 + ... + роt-переменная,Е K[t] -(называемый характеристическим многочленом матрицы А),9.4.107Полстноькг оператора в многочленnРn-1=(_1)n-1L аа. = (_1)n-1 тг "-1,РО=jAi·i=lМы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля К.Если Л Е К и Р()..) = О, то все собственные векторы матрицы А относительно собственногочисла Лэто все неиулевые решения системы-(А - лЕ)Х=(О) Е к».Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы А относительно собственного числа ).. не образует линейного подпространства в к», так как все эти векторы неиулевые. Но еслик этому множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространствовсех решений системы(А - ЛЕ)ХТаким образом, если р(Л)= IA->'EI =О, т==(О).г(А-)"Е), то О ~ т< п,то размерность пространстварешений этой системы равна S = n-т, поэтому 1 ~ S ~n.
Если {Х 1 , ... , X s } - какая-либо фундаментальная система решений системы (А - )"Е)Х = (О), то все собственные векторы матрицы А,отвечающие собственному числу Л, - это все нетривиальные линейные комбинации элементовХ 1 , ... ,X s с коэффициентами из поля К.Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов линейного оператора на конечномерном линейном пространстве сводится к задаче нахождения собственных чисели собственных векторов матрицы.Е' = С* [dim V = n, А - матрица линейного оператора А в базисе [ линейного пространства",- другой базис, С Е GLn(V) - матрица перехода, то матрица А' оператора А в базисе Е'равна А'=Еслис- 1 АС.Таким образом, характеристический многочлен матрицы А: Р..з.(t) =[Ахарактеристиче- tE,.ский многочлен матрицы А':Итак, характеристическиймногочлен матрицы линейного оператора А не зависит от выбора базисалинейного пространства V (и мы можем обозначать этот многочлен черезИз теоремы Гамильтона-Кэли для квадратных матриц (см.
теоремаPA(t)).7.25)следует теорема Гамильтона-Кэли для линейных операторов на конечномерном линейном пространстве: еслихарактеристический многочлен линейного оператора А:на пространствеПримерIA )..1--7V,то РА(А)9.21.А=КорниVV.= 7,)..2= 5,)..ЕI = IIO_~)"~), к = ~,22>.1 = л 2-12)" + 35.Л],)..2 Е ~ (собственные числа матрицы А).Собственные векторы для /\1ненулевые решения:(':50= 7:=О-PA(t) -нулевой оператор108Линейные операторы линейного пространства§ 9.Собственные векторы для ),2 =ненулевые5:решения:{(-зt) IIПримерt i- О } .t E~,5t9.22.(~ ~)1К =С,А=ООр(),)= IA --),1О-АОО),ЕI =О2 = _А 3-АИмеется лишь одно собственное число: А = О.
Собственные векторы относительно А=О задаютсясистемой линейных уравнений( О~1 О) (Х1)~ ~~~-Система уже имеет ступенчатый вид, Х2, ХЗ9.23.~главные неизвестные, Х1множество собственных векторов относительно АПри мер(О)=-свободная переменная,О:ЕслиА (ОС1О=диагональная матрица,то ОС1,...1ОСП -О)ОСПвсе корни характеристического многочленаматрицы А(и следовательно, собственные числа).Пример9.24.A=(_~ ~),Р(А) = IA а) К= ~:AEI=I=~ _~I = А 2 + 1.нет действительных корней многочлена Р(А)= ),2 + 1,поэтому для матрицы А нетдействительных собственных чисел (и собственных векторов).б) К=с многочлен Р(А) имеет корни А1Собственные векторы для А=i Е С, А2=-i Е С (собственные числа матрицы А).= i:- i( -11) (Х1)-~Х2(О)О'9.4.109Подстановка оператора в многочленненулевые решения:Собственные векторы для А =-'i:'i( -11) (Х1)Х2'i(О)О'ненулевые решенияПри мер9.25.к ~ Н, А ~ (:Р(А)=jA - АЕIКорни многочлена Р(А): А1 = -2, А2=-2, АзСобственные векторы для А ===4_АЗ=: ;).+ 12А + 16.(собственные числа).-2:(А + 2Е)(::)Шненулевые решенияСобственные векторы для А =4:(А 4Е) (~~) (~)-ХЗОненулевые решенияЗадача 9.26.
Пусть V= JR2 -из одной точки (центра), А-линейное пространство всех векторов на плоскости, выходящихлинейный оператор пространстваVповорота на угол ер противчасовой стрелки, имеющий в стандартном базисе е1, ез матрицу(C?Sерsш ерsin ер) .cos ерв зависимости от ер найдите собственные числа и собственные векторы оператора А.Задача9.27.Пусть К= JR,п. Ечленов от одной переменной степениN, V - линейное пространство всех действительных много:::;; п, А: V --? V - линейный оператор взятия производной .Найдите собственные числа и собственные векторы оператора А.110§ 9.ЗамечаниеЛинейные операторы линейного пространстваРешение общей задачи нахождения собственных чисел и собственных век9.28.торов матрицы связано с нахождением корней многочлена.
При степенях многочлена болеезадача частоне имеет алгоритманахожденияточного решения,поэтому приходится4этаискать ПрИближённые значения собственных чисел. Задача приближённого нахождения собственных чисели собственных векторов матрицы является одной из основных задач численных методов .lинеЙноЙалгебры.Теоремаполем К,9.29.0=1=Пусть А:,vl ЕV1,Тогда элементы V1,KVKV--+-линейный оператор на линейном пространстве к'- нпA1, ... ,Al Е К,V,Ai =1=Aj при=1= j (; [, A(t'i) =1 (; iЛjl.",.i = 1..... 1.,Vl линейно независимы, т. е. собственные векторы, отвечающиераз..тичныlсобственным значениям, линейно независимы.Доказательство. Доказательство проведём индукцией поА .
V1 = А1 . V1, О=1=V1,{Щ}[.Пусть теперь [ ~ 2 и наше утверждение доказано для всех [',001V1Основание ИНДУКЦИЯ:11.линейно независимая система векторов.-+ ... + апл =О Еooi Е К,11;i1 (; [' < 1.Допустим, что= 1..... 1.(13)Применяя оператор А к обеим частям равенства, получаем, чтощи. А . V1+ ... + Щ . А . Vl =А.О =О Е ,О.поэтому(14)Умножая(13) наAl, имеем(15)Вычитаем(15) из (14):Применяя предположение индукции, получаем, чтоПоскольку А1=1=Al,· .. , Al-1следует, что ОО(Иl=О ЕV.собственные веКТОРЫИ1,ПустьV -Al, отсюда следует, чтоТак как 'Иl...i- О,то OOl=001= ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
