Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Еслидля всех х, у ЕЛеммаА:V-7I: VV - тождественный оператор, то I*-710.36. Пусть е1, ... , е n - ортонормированныйV -линейный оператор, АДоказательство. Пусть А...базис(I(x), у)евклидоваматрица оператора в базисе е1,-оператор. Тогда матрица оператора А * в базисе е1,в базисе е1,= Т:=(x,I(y))V.......пространства,е n, А*-V,сопряжённый,е n равна транспонированнойматрице А *.= (o,ij), o,ij,е n . Тогда для всехЕ R, А1 - линейный оператор, имеющий матрицу А*i, j, 1 ( i, j ( n,(A(ei), ej) = (o,lie1 + o,2ie2 + ... + anien, ej) = o,ji,(ei' А1 (ej)) = (ei' ajl e1 + aj2e2 + ...
+ o,jnen) = aji,nИ следовательно, для х= 2: Xiei,nУ= 2: yjej, xi, Yjj=li=lЕ R,n(х,А*(у)) = (А(х), у) =Li,j=lПо лемме??А1=А*.nХЩj(А(еi),еj) =Li,j=lХЩj(еi. А1(У)) = (х,А 1(у)).D126§ 10.ЗамечаниеЕсли базис не является ортонормированным,то матрица оператора А* может10.37.быть отлична от транспонированнойматрицы А *, где Апример, пусть VА:Vв базисе= IRЗматрица оператора А в этом базисе. Наевклидово пространство строк со стандартным скалярным произведениеы,-= (1,2,1),1)1-линейный оператор, имеющий матрицуV--->Енклнпопо пространство1)2= (1,1,2),Vз= (1,1, О)пространстваV. Покажите.
что матрица оопряжённого оператора А* в базисе V1, V2, Vз отлична от А*Теорема10.38 (свойства сопряжённого оператора). Пусть V - конечномерное евклнлово- линейные операторы на линейном пространстве \/. о Е R. Тогда:пространство, А, В1) (А+В)*=А*+В*;2) (аА)* = аА*;=3) А**А;=4) (АВ)*В* А*.Доказательство.1)Для всех х, у Е(х, (А + В)*(у))V:((А + В)(х), у)=(А(х)=+ (3(х), у)= (А(х),у)По лемме?? (А(А+3)* = А*+ 3)*(у) =А*(у)+ В(х). у)+ 3*(у) === (х,А*(у))(А*+ (х,3*(у))+ 3*)(у)= (х,А*(у) +3*(у)).для всех у ЕV,следовательно,+3*.2) Для всех а Е JR, х, у Е V имеем:(х, (аА)*(у))=По лемме(аА)*(у)3)??((аА)(х), у)Для всех х, у Е=(аА(х), у)=а(А(х), у) = а(х,А*(у))=(аА*)(у) для всех у ЕVимеем:(х,А**(у))следовательно, по лемме??=А**(А*(х),у)==V.=(х, аА*(у))Следовательно, (аА)*(у,А*(х))=(А(у),х)===(х, (аА*)(у)).аА*(х,А(у)),А.4) Для всех х, у Е V имеем:(х,(А3)*(у)) = ((AB)(:r:),y) = (А(3(х)),у) = (3(х),А*(у)) = (х,3*(А*(у))) = (.т, (3*А*)(у)),и по лемме?? (А3)*(у)= (3*А*)(у)Следствие 10.39.
Пусть А, В ЕСледствиествеV.=Г=V,следовательно, (А3)*Тогда (АВ)*Mn(IR).== 3*А*оВ* А*.10.40. Пусть А - обратимый оператор на конечномерном евклидов ом пространТогда (А- 1 ) *=(A*)~l.Доказательство. АА- 1Едля всех у ЕА*(А-1)*,=Т.А- 1 А. Следовательно, Т=поэтому (А*)-l=1(А- ) *=Г=(AA~l)*=(А- 1)*А*,О10.3.127СопрЯЖёННЫЙ операторЛемма10.41. Пусть А - линейный оператор на конечномерном евклидов ом пространствеv.Тогда линейные операторы А и А* имеют один и тот же характеристический многочлен.Доказательство.Характеристический многочлен оператора совпадает с характеристическиммногочленом матрицы этого оператора в любом базисе. Пустьзис евклидона пространстваоператора А* в базисеV, А -l\Iатрица оператораel,· .. : е n .
Следовательно.PA(t)Лемма10.42.U-Пустьдовом пространстве= IA - tEi =(А. -el, ...,е n -оргонормированный баА в этом базисе. По лемме??А*матрица-tE)*1 = IA* - tEI = РА* (t).оинвариантное подпространство для линейного оператора А на евкли-V (dim V < Х, О i= U i= V). Тогда и1..инвариантное подпространство длялинейного оператора А * .Доказательство.
Для всех х Е и-. У ЕА*(х) Е н- для всех х Е о-,Определение=О, следовательно,О10.43. Линейный оператор А на конечномерном евклидовом пространстве Vназывается самосопряжённым, если АЛемма(х, А(х))U имеем (А*(х), у)=А*.10.44.1)О (нулевой оператор), Т (тождественный оператор)2)Множество всех самосопряжённых операторов образует линейное пространство над полем ~.-самосопряжённые операторы.Доказательство.1) Для всех х, у Е V имеем:(О(т),у)2)=оЕсли А = А*, В = сВ*, й Е(АПредложение10.45.(х,О(у));=+ В* = А + В,А*Если А, В=(.Т, у)= (x,I(y)).то:JR.,+ В)* =(Дх) , у)(йА)* = йА*йА.осамосопряжённые линейные операторы, то АВ-жённый линейный оператор в том и только в том случае, когда АВДоказательство.
Так как (АВ)*==В* А*=ВА, то (АВ)*==-самосопряВА.АВ тогда и только тогда, когдаМ=М.оЗамечание10.46.По лемме??ванном базисе симметрическая: А *евклидова пространстваv,матрица А самосопряжённого оператора А в ортонормиро=А. Если фиксировать оргонормированный базисто любой симметрической матрице А ЕGL n (I~)el, ...
, е nоднозначно соответствует самосопряженный оператор А, имеющий матрицу А в этом базисе.Лемма10.47.пространствеПусть АV, U --самосопряжённый линейный оператор на конечномерном евклидовоминвариантное подпространство для оператора А, О#и <;;;v,и#V.ТогдаU 1.. также инвариантное подпространство.Доказательство. По лемме ?? с--инвариантное подпространство для линейного оператора~=A.Леммао10.48.Собственные векторы самосопряжённого оператора евклидова пространства относительно различных собственных значений ортогональны.10.3.127СопрЯЖёННЫЙ операторЛемма10.41.Пусть Алинейный оператор на конечномерном евклидов ом пространстве-V.Тогда линейные операторы А и А* имеют один и тот же характеристический многочлен.Доказательство.Характеристический многочлен оператора совпадает с характеристическиммногочленом матрицы этого оператора в любом базисе.
Пусть el, ... ,е n зис евклидова пространстваV,оргонормированный баА -матрица оператора А в этом базисе. По лемме??А*-матрицаоператора А* в базисе el, ... .е-: Следовательно.PA(t)Лемма10.42.Пусть И= IA - tE! =(А. - tE)*j= IA* - tEI = РА* (t).оинвариантное подпространство для линейного оператора А на евкли-довам пространстве V (dim V-Х, О =1- и =1- V). Тогда о-<инвариантное подпространство длялинейного оператора А *.(х, А(х))Доказательство. Для всех х Е о-, У Е и имеем (А*(х), у)А*(х) Е н- дЛЯ всех х Е о-,Определение10.43.=О, следовательно,ОЛинейный оператор А на конечномерном евклидовом пространствеVназывается самосопряжённым, если А = А*.Лемма10.44.1)О (нулевой оператор), Т (тождественный оператор)2)Множество всех самосопряжённых операторов образует линейное пространство над полем-самосопряжённые операторы.R.Доказательство.1)Для всех х, у ЕVимеем:(О(.т,),у)2)=оЕсли А = А*, В = сВ*, й Е(АПредложение10.45.(х,О(у));=+ В* = А + В,А*Если А, В=(.т, у)= (x,I(y)).то:JR,+ В)* =(Дх) , у)(йА)* = йА"=йА.осамосопряжённые линейные операторы, то АВ--самосопряжённый линейный оператор в том и только в том случае, когда АВ = ВА.Доказательство.
Так как (АВ)"=В" А"=ВА, то (АВ)*=АВ тогда и только тогда, когдаМ=М.оЗамечание10.46.По лемме??ванном базисе симметрическая: А"евклидова пространстваV,матрица А самосопряжённого оператора А в ортонормиро=А. Если фиксировать оргонормированный базис ег,то любой симметрической матрице А ЕGLn(JR)... , е nоднозначно соответствует самосопряженный оператор А, имеющий матрицу А в этом базисе.Лемма10.47. Пусть А - самосопряжённый линейный оператор на конечномерномV, И - инвариантное подпространство для оператора А, О =1- и <;;; V, ипространствеевклидовомi- V.ТогдаИ 1- также инвариантное подпространство.Доказательство.
По лемме ?? U1- - инвариантное подпространство для линейного оператора~=A.Леммао10.48.Собственные векторы самосопряжённого оператора евклидова пространства относительно различных собственных значений ортогональны.10.3.127СопрЯЖёННЫЙ операторЛемма10.41.Пусть Алинейный оператор на конечномерном евклидов ом пространстве-v.Тогда линейные операторы А и А* имеют один и тот же характеристический многочлен.Доказательство.
Характеристический многочлен оператора совпадает с характеристическиммногочленом матрицы этого оператора в любом базисе. Пустьзис евклидова пространстваоператора А* в базисеV, А - матрица оператораel, ... ,е n . Следовательно.PA(t)Лемма10.42.Пусть Идовам простр:знстве= IA - tEi =-(А. - tE)*1el, ... , е n-оргонормированный баА в этом базисе.
По лемме??А*-матрица= IA* - tEI = РА* (t).оинвариантное подпространство для линейного оператора А на евклиV (dim V < ОС, О=1= иi=-УТ). ТогдаU1- - инвариантное подпространство длялинейного оператора А *.(х, А(х))Доказательство. Для всех х Е о-, У Е и имеем (А*(х), у)А*(х) Е н- дЛЯ всех х Е о-,Определение10.43.О, следовательно,ОЛинейный оператор А на конечномерном евклидовом пространственазывается самосопряжённым, если АЛемма==VА*.10.44.1)О (нулевой оператор), Т (тождественный оператор)2)Множество всех самосопряжённых операторов образует линейное пространство над полем Бt.-самосопряжённые операторы.Доказательство.1)Для всех х, у ЕVимеем:(О(:т:), у)2)=оЕсли А = А*, В = сВ*, сх Е(АПредложение10.45.(х,О(у));=+ В* = А + В,А*Если А, В=(х,у)= (x,I(y)).то:JR.,+ В)* =(Дх) , у)(схА)* = схА"схА.осамосопряжённые линейные операторы, то АВ-жённый линейный оператор в том и только в том случае, когда АВДоказательство.
Так как (АВ)*==В* А*=ВА, то (АВ)*==-самосопряВА.АВ тогда и только тогда, когдаМ=М.оЗамечание10.46.По лемме??ванном базисе симметрическая: А *евклидова пространстваV,матрица А самосопряжённого оператора А в ортонормиро=А. Если фиксировать оргонормированный базис ег,то любой симметрической матрице А ЕGLn(JR.)... , е-,однозначно соответствует самосопряженный оператор А, имеющий матрицу А в этом базисе.Лемма10.47. Пусть А - самосопряжённый линейный оператор на конечномерномV, И - инвариантное подпространство для оператора А, О i= и с;;; V, ипространствеевклидовом=1=V.ТогдаИ 1- также инвариантное подпространство.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
