Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 13
Текст из файла (страница 13)
По лемме ??U1- - инвариантное подпространство для линейного оператора~=A.Леммао10.48.Собственные векторы самосопряжённого оператора евклидова пространства относительно различных собственных значений ортогональны.128§ 10Доказательство. Пусть А=А*, Оi- и, v Е V,А(u)=}.1и,A(v) = }.2V,Евклидово пространство}.1i- }.2.Тогда}.1(U,u') = (}.1и, и') = (A(11,),v) = (v"A*(v)) = (u,A(v)) = (U,}.2V) = }.2(U,V),следовательно, (}.1Теорема10.49.}.2)(11"V) =i- О,о, }.1-}.2и поэтому= 00+ i{3 -Доказательство. Допустим противное: пусть}.V,О.оВсе собственные значения сеносопряэкёнпосо оператора А действительны.ческого многочлена оператора А,элементы Н,'и Е(u,v) ={3i- О.Тогда (см.комплексный корень характеристисуществуют такие линейно независимые??)что{А ( U) = аи - (3v,A(v) = (3u + av.Рассматривая скалярное произведение первого равенства наа второгоv,-на 11" получаем, что(A(11,),V) = a(u,v) - (3(v,v),(11"A(v)) = ,6(11,,11,)+ a(u,v).Так как А* = А, то (А(н),'и) = ('и, АСи)), и имеем 0= (и,А('и)) - (А('U),'и) = (3((н,н) + ('и,'и)).НО (Н, 'и) + Си, v) > О, следовательно, {3 = О.
Полученное противоречие завершает доказательствотеоремы.ОТеорема10.50(основная теорема о самосопряжённыхоператорах). Пусть Ажённый оператор на евклидов ом пространствеV, dim V=n<-самосопря00. Тогда существует ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов линейного оператора А, Б этомбазисе матрица А оператора А диагональна:где }.1, ... , }.n -корни характеристического многочлена оператора А, }.1· ...
. }.n ЕДоказательство. Пустьсуществует }.1 Е ж, РА(}.l)~PA(t) -=3..характеристический многочлен оператора А. По теоремеО. Пусть Оi- V1-??собственный вектор оператора А относительно1сооственного числа }.1: А( V1) = }.1 v1· Положим е1 = Iщ IV1, И = (е1).Доказательство проведём индукцией поn.Еслиn = 1,то И= V,и мы завершили доказательство теоремы.
Если же n > 1, то по лемме ?? о» - инвариантное подпространство для оператора А.При этом 1 ~ dim И 1.. < n. Рассматривая самосопряжённый оператор АI и 1- : И 1.. -7 И 1.. И применяяпредположение индукции, получаем, что существует такой ортонормированный базис е2,подпространства И 1.., что матрица А оператора АI и 1- в этом базисе имеет видНо тогда в ортонормированном базисе е1,...
, е nевклидона пространстваV... , е nматрица А оператора Аравнае1, ... , е n -собственный векторы оператора А, }.1,.",}.n -рактеристического многочленаPA(t).все корни (считая их кратности) хаО10.3.ЗамечаниеА1,129СопрЯЖёННЫЙ оператор... , Ak -10.51.Для практических задач часто удобнее поступать следующим образом: пустьвсе различные корни характеристического многочленаное пространство всех элементов Х, удовлетворяющих уравнениюPA(t), Ui , 1 :::;; i :::;; k, - линей(А - AiI)(x) = О Е V (подпространство [Ji состоит из О и всех собственных векторов оператора А относительно собственногочислаAi).Тогда для построения ортонормированного базиса пространствасостоящего из собV,ственных векторов оператора А, достаточно последовательно построить ортонормированные базисыподпространствUiи объединить эти базисы.
Построение ортонормированного базиса подпространства П, сводится к применению процесса ортогонализации к фундаментальной системе решений- AiI)(x) =однородной системы линейных уравнений (АО.При мер 10.52. Пусть R V = ~З; рассмотрим стандартное скалярное произведение; е1 = (1, О, О),е2 =(0,1,О), ез = (О,0,1) -стандартный ортонормированный базис; А:V-7линейный опеV-ратор, имеющий матрицуА = ( ~ ~ =~)-2-45в базисе е1, е2, ез. Так как А * = А (матрица А симметрическая), то А-самосопряжённый оператор. Необходимо найти канонический вид оператора А и ортонормированный базис пространства IR V, состоящий из собственных векторов оператора А. Вначале находим корни характеристического многочлена РА(А)А == IA - AEI,А1= 10,А2= 1,Аз= 1.Находим собственные векторы для10:(А - JOE)X ~ (~) •в ступенчатом виде:~О-51(18)фундаментальная система решений состоит из одного элементаiI =в1з(1,-2,2).
Находим собственные векторы дЛЯ А2=Аз(1, -2.2).нормируем его и полагаем= 1:ступенчатом виде11 2 -21 О ,фундаментальная система решений:тогонализации:Il2 = g2, h з =элементы h2 и hз:12 =gзg2= (2, 0,1),+ cxg2,сх1!i'"(2,0, 1), 1з= -gз((gз,g2))яэ, g2(19)= (-2,1, О).Применяем к4= - --4 = -,55113g2, gз процесс ор-= (2 4)--,1, -55. Нормируем1!i'"(-2,5,4). Таким образом, канонический вид са-=v5Зv5мосопряжённого оператора А: матрица оператора А в ортонормированном базисе из собственныхвекторов Л,12,[г равна10 О О)О1 О .( О О 1В рассмотренном нами частном примере легко было заметить, что V = U1 EJЭ U11.
, где U1подпространство, задаваемое системой(18),-поэтому, так как имеется лишь два различных корня130§ 10.характеристического многочлена, то и1нию"\2==Евклидово пространство[/2 (поцпространство, отвечающее собственному значе1), и можно было, не находя фундаментальную систему решений 92, 9з системы (19),(18).сразу применить процесс ортогоналивации к строкам системыКанонический вид матрицы самосопряжённого оператора определен однозначно (с точностьюдо перестановки вдоль диагонали корней характеристического многочлена). Однако оргонормированный базис из собственных векторов определен неоднозначно. В рассмотренном примере дяяподпространстваU2 =[\1- существует бесконечно много ортонормированных базисов, состоящихиз собственных векторов оператора АОпределение10.53.Пусть А: IRV(dim U2-7IRV= 2).линейный оператор на конечномерном евк.1И':ЮВО)(-пространстве IRV.
Оператор А называется ортогональным, если(А(х),А(у)) = (х,у) для всех x,yEV.Леммакогда10.54.IA(v)1I'ul=Оператор А: IR V-7к V является ортогональным в том и только в том С.,)'Ч.,е.для Bcexv Е IR V (то есть оператор А сохраняет длины элеыенюв пространства IRV).Доказательство.1) Пусть А - ортогональный оператор. Тогда (А(х), А(у)) для всех х, у .~ Г. ПОЛОЖИМv =х=у:IA(v)1 2 =поэтомуIA(v)1 = Ivl·IA(v)1 = Ivl2) Еслидля всех(A(v),A(v)) = (v,v) =v Е JR(V, то(A(v),A(v)) =Положимхv =(А(х), А(х))IA(v)1 2 = Ivl 2 =+ 2(А(х), А(у)) + (А(у), А(у)) =следовательно, (А(х),А(у))=(х,у) для всех х,у Е= (х+у,х+у) = (х,х) +2(х,у) + (у,у),ОV.10.55.1)Е (тождественный оператор)2)если А-если А, В-ортогональный оператор;ортогональный оператор, то он обратим, при этомсильно ортогональности) ,3)(1:,1)+ у:= (А(х+у),А(х+у))ЛеммаIv1 2 .-A-1A- 1 =А* (это условие равнотакже ортогональный оператор;ортогональные операторы, то АВ также ортогональный оператор.Таким образом (учитывая, ассоциативность композиции отображений), множество всех ортогональных операторов на конечномерном евклидов ом пространстве образует группу (обозначение:O(IR V)).Доказательство.1) (Дх),У(у)) = (х,у) для всех х,у Е V;2) (х,у)у=A-1=(А(х),А(у))(А*А)(у) для всех у Е= А*, то А* А = Т.
и=(х,А*(А(у)))V, следовательно,(х,(А*А)(у)) для всех х,у Е V. По лемме??А*А = У, A- 1 = А*. Если оператор А обратим и=(А(т),А(у)) = (А*(А(у))) = (Т, (А*А)(у)) = (х,у)10.3.для всех х, У Е=131СопрЯЖёННЫЙ оператори тогда АV,ортогональный оператор.-Если А - ортогональный оператор, A- 1 = А"'. то для оператора A- 1 имеем(А- 1 ) * (см. следствие ??), следовательно, A- 1 - ортогональный оператор.3)Пусть А, В(A- 1 )-1 = (А*)-l =ортогональные операторы.
Тогда-((АВ)(х), (АВ)(у)) = (А(В(х)),А(В(у))) = (Щх),В(у)) = (х, У)V,для всех х, У Еследовательно, АВ-ортогональный оператор.Леммаства10.56. Если А - собственноеjRV, А Е JR., то А = 1 или А = -1.Доказательство. Пусть О-# хного числа А, А(х) = АХ. Тогда х(х, У)и А 2 = 1, следовательно, АЛемма=Езначение ортогонального оператора А евклидова пространV--# о,особственный вектор оператора А относительно собствен(х, х)> О,и, поскольку Аортогональный оператор,-= (А(х), А(х)) = (АХ, АХ) = А 2 (х , х),+1 или А=-1.оДля линейного оператора А на конечномерном евклидовом пространстве 1R V10.57.следующие условия равносильны:а) А-ортогональный оператор;б) А переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис.Доказательство.1) ПустьТак как А-А-ортогональный оператор,обратимый оператор, то поel, ...
,еn - ортонормированный базис пространства R\,r.??А(е1),(A(ei), А(е))) = (ei' ej) = (ji) для всех 1 ::; i,j ::;,А(еn)...-базис пространства хУ. При этомn. Следовательно,A(el),'" ,А(еn )ортонорми-рованный базис пространства 1R V.2)Пусть теперь el, ... ; е n -A(el)"", А(еn) У = Ylel+ ... + уnе.",для всех х, У ЕЛеммаV.10.58.странства 1R V, Аоргонормированный базис и А-такой линейный оператор, чтооргонормированный базис пространства 1R V.
Если х ЕX'i, Yj ЕИтак, А-Пусть 1R V-JR.,V,х = xlel+ ... + хnе n,тоортогональный оператор.о... , е n -ортонормированный базис проортогональный оператор на пространстве 1R V.Тогда матрица А оператора А-евклидов о пространство, е1,в ортонормированном базисе el, ... , еn ортогональна: АА*=Е=А* А, т. е. А*=А- 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
