Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 17
Текст из файла (страница 17)
+ 2qm-l,m Хm-l Хm + qmmx~ =1= --(qlmХl~т+ q2m X2 + . _. + qmmXm)21- --(qlmХl~т+ q2mT 2 + ---+ Qm-l.mХm-l)2(выделение полного квадрата). Обозначимесли т< n,тоYm+l = Xm+l,···,Уп=Хп -Тогда1о1ллY=DX,D=оо1так какIDIв базису Е' =только отО, то Е GLn(K), С ~qmm '"(De~ ), в котором Q(y)e~=1(D· 1 )'--y~qmm(:J~ матрица перехода от базиса г ~+ Р(у),где квадратичная форма Р зависитYl, ... ,Ym-l· По предположению индукции существует базис е{,ства (e~, ...
, е:п-l)' в котором форма P(z) имеет требуемый вид: P(z)... ,e~_ln= LPiiZ;'подпростран-Следовательно,inВ базисе е{, ... ,е~_l,е:п,еm+l,... ,еп форма Q(T) = LQiiXY, где (Хl, ... ,Хп)-Строка координатi=lэлемента Х в этом базисе, ч«.=Пусть теперь qmmО. Тогда найдётся такой индекс.4(Т, Т) В исходном базисеХтYi - Ут, Х'].12(Xi -i, 1 :( i<т, что qim#О (иначе форма+ Ут,+ Тт ) ,el, ...
, е п зависит менее чем от т переменных). Положим Ti = Yi. = у]1. при j=Ут =1 :( i :( n.#1i, m. Это обратимая замена переменных: Yi = -(Xi2ох т ) . Это и замене переменных соответствует замена базиса Е---tЕ'; В новом базисе Е'148§ 11.коэффициент при У?:п равен -2qimкоэффициентом при x~.i=Билинейные формыО, и мы переходим к рассмотренному случаю сненулевымРанг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса, в диагональной форме рангравен числу ненулевых диагональных элементов.Пример11.12.DПриведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделенияполных квадратов.
V= JR.4Обратимая замена: Уl=Обратимая замена: WlВ исходном базисе еl, е2, ез, е4+ хз -хl - Х2=Х4, У21Уl, У2=Х2, Узwз), Уз= 2'(W2 -=хз, У4=1= 2'(W2 + wз),Х4·У4= W4(создание квадрата, еслиего нет).Q = wi+ w§ -w~ - 3(w2 - WЗ)W4 - 3w~+ (W2 + WЗ)W4,W§ - 2W2W4 = (W2 - W4? - W~ (выделение полного квадрата). Обратимая замена:!I12 = W2 - W4, 1з = Wз, 14 = W4·где x~= 11,x~= 12,x~=[г -214,x~= 14.=Если необходимо найти замену базиса [нический вид (х=Wl,С*[', где Е'- базис, в котором форма имеет каноx~ e~ + x~e~ + x~e~ + x~e~), то необходимо выразить )(' = с- IХ И затем найтиматрицу перехода С.в рассмотренном примере мы выделяли полные квадраты, начиная с первой, а не с последнейпеременной .
Следствиек одному??и теоремапоказывают,11.11что для К =JR.всегдаможноприйтирезультату.Замечание11.13 (метод Якоби). ЧислаQii,1 ~ j ~ п, и базис еl, ... , е n в теореме 11.11определены неоднозначно. Более того, при ведение квадратичной формы к диагональному виду необязательно осуществлятьглавные миноры матрицыс помощью метода выделения полных квадратов.QВ случае, когда всеквадратичной формы в исходном базисе ненулевые, можно использовать метод Якоби, состоящий в следующем.Пусть квадратичная формавсе главные минорыQ(x)имеет матрицуQвбазисе еl,.", е n пространствав которомV,ненулевые:q121 i= О, ... , с; = IQI i= о.q22Тогда существует такой базис Vl, ...
, Vn пространствав частности, это показывает, что если КQ(x)= JR.,является положительно определённой:Действительно, рассмотримА(х, х)= Q(x).V, что для У =то приQ(x) >f:l. 1>О, ...О для всех Оi=симметрическую билинейнуюФорма А имеет матрицуQв базисе еl,···, е n .YIVl, f:l. n >х Е V.форму+ ... + YnVnимеемО квадратичная формаА(х, У),длякоторой149Будем искать такую матрицу перехода С Е Мn(К), чтотреугольная матрицаD = (d ij)= С· ЕGLn(K,-верхне(di j = О при i > j),при этом коэффициентыбудем искать из условийdi jA(t'i.=l'j)#-О при ij(совокупностьэтих условий эквивалентна тому, что матрица формы А в базисе l'l . .
. . . иn диагональна). ТакD верхнетреугольная. то условие А( Vi, щ) = О при i #- j1 :::; i, j :::; п. j < i. добавим условие нормировкиА( Vi, ei) = 1, 1 :::; i :::; п, Для фиксированного i получаем систему линейных уравненийкак форма А симметрическая и матрица=равносильно тому, что А( 1Ji, ез)О для всехоо(25)о1Для каждого i определитель этой системы равензначно находим коэффициентыdij (dij=О при jI::..i#-> i),О, следовательно, для каждого i мы однои матрицаDЕверхнетреугольная.GLn(K)6. 16.
iВ частности, применяя правило Крамера к системе (25), получаем, что di i = ~, где 1::..0 = 1.Тогда в базисеСледствиеVl, ... ,vn11.14.матрица квадратичной формыПустьffi,VQбудет иметь требуемый вид.-линейное пространство надR, dimffi,Vратичная форма.
Тогда существует базис Щ, ... ,Vn пространстваV,=п,Q: ffi,V -; R-квадв которомnQ (х)=L Лiхf,Лi Е {О) 1) -1 } ,i=lnдля Х=I:: XiViЕV;число ненулевых коэффициентов Лi,1 :::; i :::;п, равно г(Q).i=lДоказательство. Пусть поnQ(x)= I:: qiixfдля Хi=lтеореме11.11 el, ... , е n= xlel + ... + хnе n. qii-базиспространстваffi, V,вкоторомЕ R (при этом число ненулевых коэффициентов qiiравно г(Q)).Для всех i, таких что qii#-О, положим Yi = ~xi, а для остальных i положим Yi = xi.
Темсамым задана обратимая замена переменных (этой замене соответствуетобратимая замена базиса).В новом базисе щ, ... , »« Q(x) =nI:: лiх;,Лi Е {О, 1, -1}, и число иенулевых коэффициентов Лii=lравно г(Q).Следствиео11.15.Пусть с V-линейное пространство над С,ратичная форма. Тогда существует базис пространстваdim с V = п, Q: с V -; сеiCV, в котором Q(x) =rI:: xf,где т-квад-=г(Q).i=lДоказательство. Пусть по теоремеnQ(x) =I:: qiixfдля Х11.11 el, .
. . , е n -:- такой= Xlel + ... + xnen,Xii=lравно г( Q). Для всех i, таких чтоqii#-базис пространстваV,в которомЕ се, при этом число иенулевых коэффициентов qiiО, положимYi = y'ciiiXi (выбрав какое-либо из двухi положим Yi = xi. Тем самым заданазначений комплексного квадратного корня), а для остальных150§ 11.обратимаябазисезамена переменных(этой замене соответствуетобратимаяБилинейные формызамена базиса).В новомnV1, ... ,VnQ(x) = ~ЛiУ;, Лi Е {0,1}, и число иенулевых коэффициентов Лi равно r(Q).i=lПереупорядочив, если это необходимо, базис Vl, ... ,Vn, получаем базис V~, ... ,V~ пространства V,'rВ котором Q(X) = ~ (x~)2, где r = r(Q), х = x~ V~+ ... + X~V~v.ЕОi=lСледствие11.16 (правило Якоби). Пусть К = IR., Q(x) - квадратичная форма на пространIR..
Если в исходном базисе еl, ... , е n все главные миноры 61, ... , 6. n матрицы Анеотрицательны, то число коэффициентов в канонической форме квадратичной формы, равных -1,равно числу перемен знака в последовательности1,6.1, ... ,6 n , а число коэффициентов, равных 1,ственадrn; Vравно числу совпадений знаков в этой последовательности. В частности, если все главные минорыматрицывсех х Еположительны, то квадратичная формаQV,хДоказательство.
Утверждение следует изТеорема11.17положительно определённая: А(х)??и замечаниянад полемrn; VIR.,diшrn; V =в каноническом виде квадратичной формы матрицы1, -1n <Q= IR., Q(x) -Q()х =О=р, q, р ++ ... + :T~ e~,::;;x~ e~q::;;x~ Еп,2+ ... + Х р2 -Х1e~, ... , e~2Х р+ 1 -... -квадратичная00. Тогда число коэффициентовне зависит от выбора базиса.Q(x) = О для всех х Е V, то все коэффициенты Лiвиде формы Q (см. следствие ??) равны нулю. Пусть теперь r(Q) :? 1, ет , ... , е n ства rn; V, в котором для х = Х1е1 + ... + хnе n, х, Е IR.,гдеО дляоДоказательство. Еслих>??(закон инерции квадратичных форм). Пусть Кформа на линейном пространствеО,Qi- о.в каноническомбазис простран2(26)X p+ ,Q- другой базис пространствав:R 1',КОТОРО:М .1.1ЯV,(27)где О::;; k, l, k+l::;; п, По ?? рподпространства И = (е1,diшrn; W =х=n - k.i- О, Q(x)р + (n -...
, ер)+q =k + l = r(Q) :? 1. Допустим, что Р > k. Рассмотрим(e k+1,· .. , e~) линейного пространства jR V, diШIRU = р,i- О, из (26) следует, что Q(x) > О, а для любого х Е W,и W =Для любого х Е И, х::;; О. Следовательно, И n W = {О}, И + W = и ЕВ W, diш(U + W) = diш И + dim W =k) = n + (р - k) > п, Но И + W - подпространство линейного пространства V,следовательно,dim(U+ W)::;; dim V=п, Полученное противоречие завершает доказательствотеоремы.ООпределениеrn; V - линейное пространство над IR., dimrn; V = п.
< 00, Q(x)V. Форма Q(x) называется положительно определенной, если Q(x) > ои отрицательно определённой, если Q(x) < О для всех х Е V, .т i- О.11.18.Пустьквадратичная форма надля всех .т ЕV,хПредложениеdiшIR V=i-О,11.19.КвадратичнаяформаQ(x)налинейном пространстве IR VнадIR.,п, является положительно определённой в том и только в том случае, когда существует базис V1) ... ,Vn пространства в V, в котором для любого .т Еnrn; V,х=Х1 V1+ ...
+ х-, VN ,х; Е IR., Q(x) = ~ xz.i=1Доказательство. По теореме:г= Х11)1+ ... + X n1Jn,Q()хxi Е= Х12IR.,??существует базис Щ) ... ,V n пространстваIR V,имеем+ ... +.тр2 -2Х р+1 -... -2X p+ q+ О . T p+ q+1 + ... + О . .т.2n )В котором для101+ q :(где О :( р, q, рп. Если р<п, то дляI= ('р-1-...+ vnимеем Q(x) :( О, что противоречитположительной определённости формы Q(x).
Следовательно, Q(x)Если в некотором базисеимеем Q(x) = xIТеорема+ ... + x~,11.20dim JRt V = n <00,V1, ... , VN= XI + ... + x~.линейного пространства JR V для х = Х1 V1+ ... + х n VnЕ JR Vто очевидно, что форма Q положительно определённая.D(критерийСильвестера). Пусть JR V - линейное пространство над IR,- базис линейного пространства JRt V, Q( Х) - квадратичная формаJRtV, Q -матрица формы Q в базисе е1, ... ,е n. Тогда форма Q(x) пое1"", е nна линейном пространствеложительно определённая в том и только в том случае, когда все главные миноры матрицыположительны:.6.1=qll>О;.6.2=Iqllq121q21q22> 0, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
