Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В примере ?? мы поQ, матрица оператора QVl, V2, Vз равнаРассмотрим линейный операторстроили базис Щ,V2,VЗ, состоящий из собственных векторов операторав ортонормированном базисеО1 О)ООСледовательно, для любого элемента х ЕV,.1х = Уl Vl+ Y2V2 + игиг,Q(x) = 10YI + y~+ y~.Yi Е JН.,154§ 11.Теорема(приведение квадратичной формы к главным осям). Пусть JR V -11.25во пространство, diШIR V= n <Q-матрица формыQвбазисе е1, ... , е-; Тогда существует ортонормированный базис V1" .. , VN пространства JR V, в котором ДЛЯ хматрицыnLезкянлоэс, Q(x) - квадратичная форма на пространстве JR V, е1"", е n -ортонормированный базис пространства JR V,х, Е IR, Q( Х)Билинейные формы=+ ...
+ XnV n,Х1 V1ЛiХТ, где Лi Е JR., 1 ~ i ~ п, - все (считая кратность) собственные числаi=lQ.Q: JR V --7 JR V - линейный оператор, имеющий матрицу Q в базисее1"", е n· Так как Q* = Q (Q - матрица квадратичной формы) и е1,···, е n - ортонормированиыйбазис, то Q - самосопряжённый оператор. По теореме ?? существует оргонормированный базисV1, ... ,Vn пространства V, в котором матрица Q' линейного оператора Q диагональна:Доказательство. Пустьгде Лi ЕJR., 1 ~ i ~ п, - все корни (считая кратные) характеристического многочлена оператора Q(матрицы Q). Пусть С Е GL n (JR.) - матрица перехода от базиса е1, ...
, е n к базису V1, ... ,Vn' ТогдаQ' = C- 1QC. Матрица квадратичной формы Q в базисе V1, ... ,vn равна C*QC. НО так как Сматрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, то С - ортогональная матрица,С* = с- 1 , следовательно, матрица квадратичной формыХ=Х1'U1+ ... + XnV nЕ V, х, Е JR., Q(x)n=LQ в базисе1'1 .... , 1'n совпадает сQ' дЛЯлiх;, где Лi Е JR., 1 ~ i ~ п, - все собственные числаi=lматрицыоQ.Замечание11.26.Канонический вид квадратичной формы, полученный в теореме оприведенииквадратичной формы к главным осям, единствен с точностью до перестановки чисел Лi на главнойдиагонали. Сам набор чисел Л1", "Л n определён однозначно как набор всех (считая кратность)корней характеристического многочлена матрицыQ.Пример 11.27 (приведение квадратичной формы к главным осям).
Пустьстандартным скалярным произведением, Q(x) -IR V=JR.З соквадратичная форма на пространстве JR V, дЛЯХ = (Х1, Х2, ХЗ) Е JR V,в стандартном ортонормированном базисе е1формыQ= (1, О, О),ез= (0,1, О),ез(О,0,1)матрицаQравнаQ= (~ -4~ =~)5-2Рассмотрим линейный операторQ,имеющий матрицуQв этом базисе. В примерестроили базис щ, V2, Vз, состоящий из собственных векторов оператораQ,в ортонормированном базисе V1, V2, Vз равнаО1 О)ООСледовательно, для любого элемента Х ЕV,Q(x).1Х = Y1V1+ Y2V2 + УзVз,= 10YI + y~ + у§.Yi ЕJR,матрица?? мы пооператора Q155Предложение(одновременное11.28приведениепарыквадратичныхнальному виду).
Пустьdiш]Р& Vбазис<п=V1, ... ) Vос,Q(x) и Р(х) - квадратичные формыформа Q(x) положительно (отрицательно)n , В котором для х =X1V1+ ... + xnv nдиагоnЕ V,xi Е JR, 1 ~ i ~ п: Q(x) = ~ х;, еслиi=ln=~ (- х;), если форма Q( х)i=ln=копределённая. Тогда существуетформа Q( х) положительно определена на пространстве ]Р& V; Q( х)отрицательно определена на прослргнсте ь.
V; Р(х)формна линейном пространстве ]Р& V,~ AiX;, Ai Е JR, 1 ~ i ~ п,i=lДоказательство. ПустьQ(x) - положительно определённая?? А(х, у) - такая симметрическаяответствии с предложениемствеV, А(х, у) =квадратичная форма. Пусть в собилинейная форма на простран-1'2 (Q(x + у)- Q(x) - Q(y)); (х, у) = А(х, у) - скалярное произведение напространстве к V, W1, ... ,wn - ортонормированный базис евклидова пространства ]р& V относительно введённого скалярного произведения . Матрица Q в базисе W1, ...
, w n единичная. По теореме 11.25 приведём квадратичную форму Р(х) к главным осям: существует ортонормированныйбазис 'И1,Х = Х1ИIЕсли... ,Vnевклидова пространства ]p&V, в котором Р(х)+ ... + XnV n,Q(x) -n~ AiX;, Ai Е JR, 1 ~ i ~ п, для=i=lх, ЕJR.отрицательно определённая форма на линейном пространстве]р& V, то-Q(x) -положительно определённая квадратичная форма, и достаточно применить доказанное утверждениетеоремы для формыЗамечаниесуществуетQ(x) =о-Q(x).11.29.Длялюбойединственныйсамосопряженный(А(х),х) для всех х ЕНапомним,ментовvЕформыоператорчто ('и,v) =11.30.1Пусть АQ( х)Авнаевклидовомпространствепространстве]р& V,такой?,.1/что]p&V.что единичная сфера в евклидовом]p&V,Теоремаквадратичнойпространстве ]р& Vэто множество таких эле-(множество всех элементов единичной длины).- самосопряжённый линейный оператор на ееклнлоь ом пространстве IRV.
Тогда квадратичная форма Q(x) =(х,А(х)) достигает на единичной сфере .\IИНИМУJR в некоторой точке с Е V, (с, с) = 1, и максимума В Е JR в некоторой точке Ь Е V,(Ь, Ь) = 1, при этом С - минимальное, В - максимальное собственные значения линейного оператора А, А(е) = С· с, А(Ь) = В· Ь (Ь и с - собственные векторы единичной длины оператора Ама С Еотносительно собственных значений С и В соответственно).Доказательство. ФункцияQ(x)непрерывна на единичной сфереV ::= JRn,подмножестве п-мерного точечного пространства-замкнутом ограниченномкоторое являетсякомпактом.Следовательно, функцияQ(x) = (х,А(х)) достигает минимума С в некогорой точке с, (е,е) = 1, и= 1.
Поэтому В ;:? Q(x) ;:? С для всех х Е IR V, (х, х) = 1.Если v Е V, то 1! = 11JI· х, где .'Т Е V, (х, х) = 1, Q(x) = 11!1 2 Q(x) = (11, 'u)Q(x). Из В ;:? Q(x) ;:? Сследует, что В· (v, v) ;:? Q(x) . (v, v) ;:? С· (v, v). Следовательно, В· (v, v) ;:? Q('и) ;:? С· (v, v) длявсех v Е V. Тогда (v, А(-и) - Cv) ;:? О, (v, A(v) - Bv) ~ О для всех v Е V, (с, А(е) - Се) = О,(Ь,А(Ь) - ВЬ) = ООбозначим F = А - CI, Н = А - BI, где Т - тождественный линейный оператор. Тогда Fи Н - самосопряжённые линейные операторы. Полагая v = с + tz, w = Ь + tz, t Е JR, z Е IR V, имеем:максимума В в неиоторой точке Ь, (Ь, Ь)(v, F (v))длявсехF(e) =tА(е)-ЕJR, гСе=О Е=(с + tz, F (с)ЕV.V,А(е)+ tF(zСледовательно,=»=2t(z, F (с))(z,F(e))=+ t 2 (z, F (z));:? оОz ЕдлявсехСе. Аналогично,(w, 'Н ( w )) = (ь + tz, 7i (Ь)+ t7i (z))=2t (z, 'Н (Ь))+ t 2 (z1Н (z )) ~ оV,ипоээ156Билинейные формы§ 11.длявсехН(Ь)=ЕtА(Ь)-JR,ВЬ=z Е VО ЕСледовательно.поэтому А(Ь)V,=(z.H(b))О=ВЬ.
Итак. Ь и сдлявсехzЕV,ипо??- собственные векторы линейногооператора А.Так как АПусть-dim V =самосопряженный оператор. то поп, А1Аn:( ... :(-??все его собственные значения действительны.все собственные значения линейного оператора А,V1, ... ,Vn-соответствующиесобственные векторы единичной длины. Тогдательно, так как В и С соответственно максимум и минимумQ(Vi) = (vi,A(Vi)) = Ai. Следовафункции Q(x) на единичной сфере,тоС=А1иВ=Аn.ЗамечаниеО11.31.
Если для квадратичной формы Q(x) найден собственный вектор с относительно минимального собственного значения С=А1, то для нахождения следующего собственногозначения А2 :? А1 можно рассмотреть разложение V = (с) ЕВ (c)~, dim( (c)~) = nквадратичной формы Q(X), х Е (c)~, этот минимум будет равен А2, и так далее.Теорема??и замечание??- 1, и минимумдают доказательство, отличное от доказательства теоремы??,тогофакта, что все собственные числа самосопряжённого оператора вещественны.Задача11.32.
Пустьратор на пространстве1R VV,-А1евклидово пространство,:( ... :(Докажите, чтоИАn Етах- подпространство в VdlillU=n-k+1JR -= n,dim VА-самосопряжённый опесобственные значения линейного оператора А.{ min {(ХЕ.U(х,х)=lх, А(х )) }}=Ak.Теорема 11.33 (разложение Холеского). Пусть А Е Mn(JR), А = А* и А - положительноопределённая матрица (ХАХ > О для любой строки Х Е JR n, Х 1- (О, ... , О)).
Тогда существуетединственное представление матрицы А в виде А =С*С, где С-верхнетреугольная матрица,в которой все диагональные элементы положительны.Доказательство.1)Рассмотрим матрицу А как матрицу самосопряжённогомированномматрицаD,базисе евклидовапространстваJRn.По теоремеоператора в стандартном ортонор??существует такая ортогональнаячтоПустьB=D- 1(АО) D.ОТогда в 2=А,В* = (АD*ОАО)(D- 1)*А=В,А= В*ВПусть В =нетреугольная= R*Q*QR =QR -QR-разложение матрицы В (см.матрицаR* R.сположительнымиПоложив С =R,??, Q -диагональнымиортогональная матрица,элементами).ТогдаА=R-верхВ* В=получаем разложение Холеского матрицы А.2) Докажем теперь индукцией по n единственность разложение Холеского.
Основание индукции: n = 1, А = (al1), сп > О, al1 = (Cl1)2, cl1 > О.157Пустьn >1и наше утверждение доказано для всехIJanlCllC12п, А=С*С-ОСllСиООС22ооразложение Холеского:ОCпlnc;i'i=lделён однозначно. Более того, А(n-l)С22а nn> О, ... , Сnn > О, О < IAI = ПCllОal nn' <=С nnС2nТогда С;n=IAI22'Cll ... Cn-1,n-lоС nnпоэтому элемент Спn опре-(}*(}, где для матрицы М Е Mn(JR) через М мы обозначаемх (n-l)-матрицу, стоящую в левом верхнем углу матрицы М. По предположениюиндукциивсе элементы матрицы (} определены однозначно,и посколькуI(}I #О, то элементыCl n, ... ,Cn-l,nI(}I > О.Так как А = С*С, тоопределены однозначно. Следовательно.
все элементы матрицы С определены однозначно.Упражнение11.34.ОНайдите с помощью указанного алгоритма разложение Холеского следующей положительно определенной матрицы:Замечание 11.35. Разложение Холеского полезно при решении систем линейных уравненийс положительно определенной матрицей: если решается система АХ = iз Е JP;.n, А Е GLn(JR),А - положительно определенная матрица, А = R* R - разложение Холеского матрицы А, то этасистемаэквивалентнасистемегде обе системы треугольные с обратимыми матрицами R* и R, и решение Х находится эффективно.В вычислительной линейной алгебре имеется ряд эффективных алгоритмов построения разложения Холеского.§ 12.Аффинные (или точечно-векторные) пространстваПусть к V-линейное пространство над полем К, [2- такое множество (элементы множества [2будем называть точками), что существует отображение[2 х [2----+KV,для которого1)\/М Е [2 \/х Е------7V ::3! N, MN =х;(M,N)------7----+MN Е V дЛЯ M,N Е[2,158§ 12.2) VM,N,PПара(51, к V)Е----------+51: MN----++ NP =Аффинные (или точечно-векторные) пространства----;..МР.называется аффинным (гочечно-векторным) пространством над полем К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
