Вырезка из книги Михалева (1113037)
Текст из файла
Линейные пространства§ 8.8.1.ВЫВОД свойств линейного пространства из аксиомПусть К-поле,V-непустое множество с операцией сложенияи операциями умножения на элементы с Е ]{(V--7V,Vf----?(VхV--7V,(о, Ь)f----?0+Ь)CV), удовлетворяющими следующимусловиям:1.1)ассоциативность сложения (т. е. ('11+ v) + w = '11 + (v + w)для всех U,и,1.2)коммутативность сложения (т. е.+ 'и = v + '11v1.3)Uдля всех и,ЕV);существование нейтрального элемента О для операции сложения (ТvЕV);w Е V);е. 'и+О='и для всех8.2.71Линейная зависимость в линейных пространствахсуществование противоположного элементаI.4)= v для всех v ЕII.1) 1· vII.2) (1's)vШ.2) (1'Тогда= 1'(sv) для всех 1', s Е К, v Е V;+ s)v =г»+ svдЛЯ всехl'Е К, 1)1,1)2 Едля всех 1', s Е К, v ЕV;V.называется линейным пространством над полем К (обозначение:V= О);V;+ 1)2) = '1'1)1 + П}2Ш.1) 1'(v1+ (-1))-v для всякого 1) Е V (т.
е. 'иV=к V).Приведём вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).1) Уравнение и+х =Действительно,v для 'и, V Е к V имеет, причём единственное, решение х = (-и) + v.прибавляя -и к левой и правой части, получаем, что х = (-и) + v. С другой+ (-и) + 'и = 'и.Если х + х = х для хстороны, 'и2)ЕKV,то х=О.Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -х, получаем.что х=+х+х =(-х)3) Ov ==Действительно, если хx=OEKV.4) 1'0 = Одляl'Е К, О ЕДействительно, если х5)+х =(-х)О.О для любого 1) Е к V.(-1)и=Ov (здесь О Е К), то х(ОOv = х, и поэтомуХ+ х = 1'0 + тО = 1'(0 + О) =то=х, и поэтому .т=О.ЕV.Действительно, (-l)v + v = (-1 + l)v = Ov = О, т.
е. (-l)v = -v.6) Т'и = О для т Е К, 'и Е V тогда и только тогда, когда либо т = О,Действительно, если l'v = 1v = T- 1TV = 1'-10 = О.+ О)и =V.= 1'0, то-и для всех+ х = Ov + Ov =1)f-О,то влибо -иполе К существует элемент 1'-1=О.ЕК,и поэтому7) 1'(u-v) = TU-1'V дЛЯ всех т Е К, u,v Е V.Действительно, 1'(и - v)8) -( -v)v=для всехДействительно, v8.2.v+ TV =Ет(и - v+ v) =1'и, т. е. т(и - v)=1'и - TV.V.+ (-v) = О,и поэтому-( -v)= v.Линейная зависимость в линейных пространствахПусть к V-линейное пространство над полем К.
Если V1,···, 1)г ЕV, k 1,···, k rЕ К, тоэлементk 1v1 +... + krv rЕVназывается линейной комбинацией элементов 1)1, ... , и; С коэффициентамиСистему элементовk1 , ... ,krk 1 , .... k I'Е К.V1, ... , 'и г Е к V назовём линейно зависимой, если найдутся элементыЕ К такие, чтоа) не всеkiравны нулю (т. е. хотя бы один элементkiотличен от нуля);Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что «нетриеиальная» линейная комбинацияэлементов Щ, ... , V r равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю,0'И1+ ...
+ О'иг= О).Система элементовV1,··., v r Е к V называется линейно независимой, если она не являетсялинейно зависимой, это означает, что из равенства72§ 8.Линейные пространстваследует, чтоТеоремадля8.1. Система элементовнекоторого {, 1 ~ i ~ л,Vl,· .. , и; Е К V линейно зависима тогда и только тогда, когдаVi=l:ljVj,ljЕКj#.i(т. е, элемент Vi является линейной комбинацией остальных элементов системы 'Ul, , , , , Vr ) .Доказательство.1)Пусть система Vl, ... , и; линейно зависима, т. е.Тогда2)ЕслиVi=l:lj7!j,j/'iтоl:ljVj+ (-l)Vi= Vi+ (-l)Vi = О,j#.iт. е.
система V1, .. ·, и; линейно зависима, поскольку -1Пример8.2.-1О,оЕсли в системе элементов Vl, ... , и; Е к V есть нулевой элемент, скажем,то система V1 ... , Vr линейно зависима.Действительно, OV1+ ... + 1vi + ... + OVr =О, или, другим способом, и;=О= LOvjvz = О..j#.iПример8.3.i -1 j, то система V1, ... ,vr+ ... + 1vi + ... + (-1)щ + ... + OVr =Если Vi = Vj дляДействительно, OV1Е К V линейно зависима.О, или, иначе, Vi = vj+LOVk.k-l-ik-l-jПример8.4.Система строк с1,... , сп Е К К", гдес1 =(1,0,,0):с2 =(0,1,,0):сп= (О, О, ... , 1),линейно независима.
Кроме того, любая строка о:= (k 1 , ... : k n )нацией элементов С1, ... , сп, а именно, о: = (k 1 , ... , k n) = k1c1+ ... + kncn.Действительно,ипоэтому еслиk1Cl+ ... + kncn= (О,Е К К" является линейной комби... , О),тоследовательно, система строк {ег, ... ,сп} линейно независима8.2.73Линейная зависимость в линейных пространствахПример8.5.Пусть 7)1, V2, VзЕ IRVлинейно независимая система в линейном простран-стве IRV. Тогдаи1=V1+ V2,И2=V1+ Vз,ИЗ=V2+ Vз -также линейно независимая система.Действительно, еслитопоэтомуСледовательно,=k1О,k2=О, k з=О, и система элементов Ul, U2,UЗ линейно незавнснма.Упражнения 8.6.1)Подсистема линейно независимой системы линейно незавнсныа.2)Если подсистема линейно зависима, то линейно зависима и вся система.Замечание8.7.Для системы строк в К"вопрос о её линейной зависимости равносилен существованию иенулевого решения(k 1 , ...
; kr )следующей однородной системы линейных уравнений:, '. ', ~ ~~~~T, ~ ,О,{ ~~l,~l ,++, '.,,+=атnх та1nХ1Ос транспонированной матрицей А *, гдеТаким образом, метод Гаусса даёт нам в этом случае алгоритмическое решение задачи о линейнойзависимостиТеоремастрок.8.8.Пусть А(aij)Е Мn(К)-квадратная матрица.Тогда следующие условияравносильны:1)IAI = О;2)система строк А 1 , ... , А n матрицы А линейно зависима (в пространстве строк к n ) ;3) система столбцов А 1 ;...
,А n матрицы А линейно зависима (в пространстве столбцов К n ) .§ 8.74Линейные пространстваДоказательство.1)Если строки матрицы А линейно зависимы, скажем, i-я строкабинацией остальных,2) ПустьIAILAi =ljA j, то, как мы показали,IAI =О, т. е.+ ... + knA n =в том и только в том случае, если(k 1 , ... , kn )уравнений с матрицей А* Так какIA*I=IAIОявляется решением однородной системы линейных= О, то существует ненулевое решение (k 1 , .. . ,kn ) ,т. е. система строк А 1 , ... - А n матрицы А линейно зависима.
Итак,Теоремалинейной ком= О. Тогда#ik1A1З) Так какA i является2) ==? 1).IA*I = IAI,то1)==?2).О3).<===?Любая система из т строк в К" при т>8.9.1)nлинейно зависима.Доказательство. ЕслиСЧ = (all"", о'1n),то равенствоk 1СУ1+ ... + kmCY m =О равносильно тому, что(k 1, ... ,km) является решением следующей однородной системы линейных уравнений:{ ~11 X1 .++. '.... '. '. ~+ ~.m1X~ .~. О,а1nХ1Так как числоаmnХ m=О.уравнений меньше числа т переменных, то однородная система облалает ненулеnвым решением, т. е. система СУ1, ...
, СУ m линейно зависима.СледствиеЛемма8.10.L..Если система СУ1, ... ,СУг Е К" линейно независима. то г:::;; п .Если система элементов 0'1, .. . ,О'г Е К ",. линейного пространства к ". над по8.11.лем К линейно независима,(3Е К V и система СУ1,.·., QГ.:З линейно зависима, тоf3являетсялинейной комбинацией элементов СУ1, ... , СУ г .Доказательство. Пустьk1CY1где не всеk1CY1k i , 1 :::;; 'i:::;;+ ...
+ krCYr =т+ ... + krCYr + k r+l (3 =+ 1, равнынулю. Если быО,kr+1=k 1,···, k r+ 1 Е К,О, то нетривиальная линейная комбинацияО, равная нулю, означала бы, что система СУ1 •... , СУ г линейно зависима, чтопротиворечит предположению.Итак,kr+l=1О, и поэтому(3 =Лемма8.12-k 1--0'1kr+1-kr+ ... + --О'т'оkT+1(единственность представления элемента линейного пространства к V в виделинейной комбинации линейно независимой системы элементов).
Пусть {СУ1, .... ct r} -линейно независимая система элементов линейного пространства К V и(3Тогда=k1 CY1+ ... + krCYr =k~ СУ1+ ... + k~CYr,k i , k~ Е Кk 1 = Ч, ... , kr = k:~.Доказательство. Действительно,(k 1 - k~)CY1и поэтомуk: 1-Ч=О, ..., kr- k~=О.+ ... + (k r -k~)CYr = О,о8.3.Максимальные линейно независимые подсистемы систем элементов линейных пространств, базис линейногопространства75Максимальные линейно независимые подсистемы8.3.систем элементов линейных пространств, базис линейного пространстваПусть5~ к V.
Наиболее важные для нас случаи:а)5-конечное подмножество элементов в к V;б)5 = KV.Подсистема V1, ... ,Vr Емой в5,5~ к V называется максимальной линейно независимой подсистеесли:линейно независимая система;1)1)1,, Vr -2)V1,, Vr , V -линейно зависимая система для всякого 1) Е З,или, что эквивалентно,2')любой элемент V Е5является линейной комбинацией элементов L'l, .. · ,'иг ,Максимальная линейно независимая подсистема V1, ...
,с'г вS =к"\.7 (если в к V существуеттакая конечная система) называется базисом линейного пространства к V. Линейное пространствок V с конечным базисом V1, ... , V r называется конечномерным линейным пространством (приэтом будет показано, что любой другой базис линейного пространства содержит то же самоечисло элементов).Пример8.13.Как мы уже видели, система строкс2= (1, О,= (0,1,Сп=С1(О, О,,О),,О),... ,1)является базисом линейного пространства строк К":Лемма8.14.Любую линейно независимую подсистему 'и1, ...
,'()г Вдо максимальной линейно независимой подсистемы вДоказательство. Если V1, ... , V r -системы из nS.+ 1 элементовСледствие8.15.8.16.qn,такой, что Щ, V2,··., '()г, V=V r+1 -~ К",линейноS = IR n-fVЕ5О~ К" дополняем до мэксимальнойS.(или5 =личных бэзисов. Если поле К конечно,равноSSв линейном пространстве К" оказываются линейно зависимыми.Любой ненулевой элемент ОВ~ К" можно дополнитьПосле конечного числа шагов процесс остановится, так как любыелинейно независимой подсистемы вСледствиеSс К":максимальная линейно невависимая подсистема вто все доказано. Если нет, то найдётся элемент V Енезависимая подсистема вSК" дЛЯ бесконечного поля К) бесконечно много разIKI=q (например, К = Z2), то число элементов в К"И поэтому число базисов в К" конечно. Найдите их число.Замечание8.17.Пусть строки 0.1, ... , a s Е К" линейно независимы.такие строки а в + 1 , · · .
, а n Е К": что {а1"", а n } -s<п. Тогда существуютбазис линейного пространства К": Практическое нахождение строк а в + 1 , ... ,а n можно осуществить следующим образом. Запишем строкиа1,...,а в по столбцам и приведем полученную матрицу к ступенчатому виду:где (а]',... , а;), А ступЕ Мn,в(К), <,о -<,0(0,'[, ...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
