Вырезка из книги Михалева (1113037), страница 18
Текст из файла (страница 18)
, .6. n = jAI >Qо.Доказательство. Пусть формаQ(x) положительно определена на линейном пространстве JRt V,Q - матрица формы Q в базисе е1,··., е n. Тогда> О, 1 :( i :( п, в частности, qll > О. По теореме 11.11 существует базис V1,···, Vnпространства V, в котором матрица Q' формы Q диагональна:е1,... , е n ч« = Q(ei)базис линейного пространства JRt V,Так как форма Q положительно определённая, то q~iIQ'In= П q~i>i=lТогда .6. n =О для всех ъ,>1 ::( i ::(п.. Следовательно,О. Пусть С - матрица перехода от базиса V1,···, 'иn К базису el····· е n:О.1 :( i :( п, Тогда Qlv; - положительно определённая квадратичнаяформа. Тогда матрица формы QIVk в базисе е1"", ek равна (qij)l':;;i,j':;;k Е Mk(IR).
Как и выше,.6. k = (qij)l':;;i,j':;;kl > О. Итак, .6. i > О для всех i, 1 :( i :( n.Пусть теперь е1, ... ,е n - базис линейного пространства JR V, Q - матрица квадратичной форПусть1!iIQI = IC*Q'CI, IQI = IC*IIQ'IICI = ICI 21Q'I >=(е1"", ei),1мыQ,все угловые миноры матрицы.6.1Докажем индукцией по п, что тогдаОснование индукции:n:.=Q положительные:=qllQ-> О, ... , .6. n = IQI >о.положительно определённая квадратичная форма.IQI =1, .6.1 = .6.
n =qll>О, для:сХ1е1, Х1 ЕIR,имеемQ(x) = qllXI, следовательно, форма Q положительно определённая.Пусть наше утверждение доказано для всехk <п, и пустьn> 1.Рассмотрим линейноепространство JRt Vn- 1 = (е1, ... , е n-1) и квадратичную форму Р(х) = Q(x) 111,,-1: Р(:с) = Q(x) длях Е Vn - 1. Тогда матрица квадратичной формы Р(х) в базисе е1,·.·, е n-1 подпространства Vn- 1 равна (%)1':;;i,j':;;n-1 Е М n - 1 (IR), все угловые миноры .6.1, ... , .6. n - 1 положительны.
По предположениюиндукции Р(х) - положительно определённая квадратичная форма. Следовательно, по ?? существует такой базисV1,имеем Р(х) = xI +X1V1 + ... + Хn-17}n-1х =, Vn-11, что для Х = Х1'и1 + ... + Х n-1 Vn-1 Е Vn-1в базисе V1,,,,,V n-1,е n пространства V дляпространства JRt Vn -+ ·1:;;'_1'+ хnе nНо тогдаn-1Q(x) =xi + ... + :E~_1 + 2 2..::PinX(Tn + Qnnx;,i=l152где§ 11.Pin, qnnЕ ~, 1 (; i ::;;n - 1.Билинейные формыВыделяем полные квадраты:где Р = qnn - Pfn - ... - Р;-1,n' Совершаем обратную замену переменных=DX ,где1Р1nоD=Рn-1,nо1Этой замене переменных соответствует замена базиса:с матрицей перехода СХ = У1 W1+ ...
+ Уn WN ,= (D- 1 )* Е GLn(~). При этом в базисе Ш1: .. . : ШN дЛЯ любого з: Е V имеем:n-1I: У: + ру;.Yi Е ~; Q(х) =Определитель матрицы Q' формы Q в этомi=lбазисе равен р. ЕслиF-матрица перехода от базиса е1, . . . : еn к базису W1, ... , Wn ,FЕ GLn(~),тоСледовательно, Q(x) =nI: у; + РУ; -положительно определённая квадратичная форма.Оi=lЗамечаниее1, ... ,е n -11.21(другое доказательство достаточности в критерии Сильвестера). ПустьQ-базис линейного пространства JR. V,миноры матрицыQматрица квадратичной формы61=> О, ...
, 6 n = IQI >q11V,х = Y1~!1все угловыеО.Тогда из замечания ?? следует, что существует такой базис Щ, . . .х ЕQ,положительны:+ ... + Уn7!n,,Vnпространства JR. V, что дляYi E~, имеемnQ(x)=L '\iyt,i=lгде'\1 = qll = 61Таким образом,стве JR. V.Q-> О,'\2=~~>О, ... ,,\n=6~:1> О.положительно определённая квадратичная форма на линейном простран153Теорема11.22 (критерий Сильвестера отрицательной определённости квадратичной фор- линейное пространство над JR, dim IR V = n < 00, е1"", е n - базис линейногопространства IR. V, Q(x) - квадратичная форма на линейном пространстве V, Q - матрица формы Qмы).
Пусть IRVв базисе е1,...,е п . Тогда формакогда все главные минорыQ(x)отрицательно определённая в том и только в том случае,ненулевые,Q6.1 = qll < 0,6.2> 0,6.з < О, ... , 6.i· (_l)i > О, ... , 6. n · (_1)n > О(знаки чисел в последовательностиДоказательство. Формачередуются).6.1,6.2, ... , 6. nна пространстве IR V отрицательно определена в том и тольвоQ(x)Q'(x) = -Q(x) положительно определенаQ' в базисе е1, ...
, е n равна -Q. Теперьсвойств определителя матрицы ??в том случае, когда квадратичная формана пространстве IRV. Матрица квадратичной формыутвеэжлевветеоремы следует из теоремыИз определения11.20искалярного произведения следует, что если А(х, у)??ментов х, у евклидова пространства IR V, тотичная форма на пространствестваV,то матрицаQV.Если ег,Q(x) =А(х, х)-=(Хо у) ..1.о1Я всех элеположительно определённая квалра. . . , е n - ортонормированный базис еВК.1Н.105а П;:ЮСТ;Jанквадратичной формыQ(x)в этом базисе единичная.Следующее предложение показывает, что конечномерное линейное П;JОСТР2НСВО R \.
над :i{с помощью положительно определенной квадратичной формы может быть пэеврашено в еВК.1ИДОВОпространство.Предложение 11.23. Пустьномерном пространстве IR V надА(х, у)Q(x) JR,положительно олрелелённгя квадратичная форма на конечА(х, у)соответствующая симметрическая бнлннейнэя форма,-1= '2 (Q(x + у) - Q(x) - Q(y»).=Q(x)А(х, х).Тогда билинейная форма А(х, у) задаёт скалярное произведение на пространстве в V, пространство IRV со скалярным произведением (х, у)= А(х, у)является евклидовым пространством.
В любом ортонормированном базисе относительно этого скалярного произведения матрица квадратичной формыQединичная.Доказательство. Так как форма А(х, у) билинейная, то из свойств скалярного произведенияосгаётся проверить, что А(х, х) ~ О для всех х ЕVи что А(х, х)следует из положительной определённости квадратичной формыЯсно,ночтовведенногоQ(x)=вортонормированномскалярногоА(х,х) =nбазисепроизведенияV1, ... ,Vnдлях==евклидонаХ1 V1О, только если хQ(x)=О. Но этона пространстве JR V.пространства+ ... + х n VnЕVV, xiотносительЕЕ,имеем~ х;, то есть матрица квадратичной формы Q(x) в базисе V1,,,, ,Vn едиi=lоничная.Замечание11.24.Предложение11.23показывает, что базис, в котором положительно определенная квадратичная форма принимает канонический вид (её матрица в этом базисе единичная)можно находить с помощью процесса оргогонализации:в ортонормированномлярного произведения единичная.
Метод Якоби (см. замечаниек процессу11.13)базисе матрица скав этом случае также сводитсяортогоналиэацииРассмотрим теперь квадратичные формы на евклидовых пространствах. Будем совершать переход к новому базису только ортогональнымипреобразованиями(меняя один ортонормированныйбазис на другой). Следующая теорема определяет канонический вид квадратичной формы на евклидовомпространстве.154§ 11.Билинейные формыТеорема11.25 (приведение квадратичной формы к главным осям). Пусть RV - еВК.7НДОdimJR? V = n < 00, Q(x) - квадратичная форма на пространстве R У. el.···· СП ортонормированный базис пространства JR? V, Q - матрица формы Q в базисе el .....
с п - Тогда сушествует ортонормированныйбазис V1, ... , V N пространства JR? V, в [{отарам для т = I l ['1 - . _. - Т .... t:"\C.во пространство,n2:=xi Е JН., Q(x)матрицыAiX;, где Ai Е JН., 1 :о;; i :о;; n, -все (считая кратность) собственные числаi=lQ.Доказательство. Пусть Q:е1,···, е n · Так какбазис, тоQ-Q* = Q (Q -AiV,линейный оператор, имеюшин "!G:-J":":'yJR? V -в котором матрицаЕ JН.,(матрицы----7матрица квадратичной формы) и ('1 ..... e~.
-самосопряжённый оператор. По теоремеv1, - .. ,Vn пространствагдеJR? V1 :о;; i :о;; п, - все корниQ). Пусть С Е GLn(JН.) -Q'??Q s5гз,~сеО::ГО:-lОJ"~;:::ЮЗG:-;:":Ы;>:существует op:-о:,,:ор,,!':розг:..::..:::,:;-{ базислинейного опера:-ор<:Qлиагочальна:(считая кратные) характеристического многочлена оператораматрица перехода от базиса е1, ... ,е n к базису щ,Q' = сюс. Матрица квадратичной формы Q в базисе...Q,Vn . Тогдаv n равна C*QC. НО так как С- ортогональная матрица,С* = с- 1 , следовательно, матрица квадратичной формы Q в базисе V1, ...
, VN совпадает с Q' дЛЯV1, ... ,матрица перехода от одного ортонормированногобазиса к другому, то СХ= X1Vl + ... + xnV nЕ V, х, Е JН., Q(x)n= 2:= AiX;,где Ai Е JН., 1 :о;; i :о;; n, - все собственные числаi=lматрицыоQ.Замечание11.26.Канонический вид квадратичной формы, полученный в теореме оприведенииквадратичной формы к главным осям, единствен с точностью до перестановки чиселAiна главнойдиагонали.
Сам набор чисел А1,.· .,А n определён однозначно как набор всех (считая кратность)корней характеристического многочлена матрицыQ.Пример 11.27 (приведение квадратичной формы к главным осям). Пусть R 1/ =стандартным скалярным произведением,Х=Q(x) - квадратичная форма на пространствеJН.З соR V,дЛЯ(Х1,Х2,ХЗ) Е JR?V,в стандартномформыQортонормированномбазисе еl =(1, О, О),е2 =(0,1,О), ез(О, О,1)матрицаQравнаQ=(~ -4~ =~)5-2Q, имеющий матрицу Q в этом базисе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
