В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Х (5.52) Ь Такую расходимость пучок приобретает на некотором характерном расстоянии Ь. Бго можно легко оценить из рисунка 5.25, на котором пунктиром изображены Г, асимптоты к границам Г, и Г . Будем условно считать, что на расстоянии Ь поперечный размер пучка удвоился и стал равным 21.
Рис. 5,25. Тогда с учетом (5.52) мы можем записать; Х 0= — = —. Ь г (5.53) Отсюда (з Ь=— Х (5.54) Величина Ь называется дифракционной длиной пучка с длиной волны Х и поперечным размером Ь. Она определяет масштаб расстояний, на которых развивается заметная дифракция пучка, Сделаем некоторые оценки. В опыте, изображенном на рисунке 5.22, 1 = 5 см, Х = 3 мм, и Ь вЂ” 80 см.
Это означает„что в кювете дифракция просто не успевает заметно развиться. При уменьшении г (рис.5.23) довели- чины г' =51= 15 мм, дифракционная длина пучка Ь = 7,5 см, и дифракция становится отчетливо видна. К Рис. 5.2б. точника О, и среднего источника О будет равна 112.
Поскольку эта разность, как видно из рис. 5.24, равна — гйп О, то 2 120 Колебания и волны Если на пути волнового пучка поставить препятствие — стенку С (рис. 5.26), то сразу за стенкой будет тень, однако волна, пройдя расстояние — Е = г'~ ! Х, обогнет препятствие. Иллюстрацией к сказанному является, например, возможность услышать звуковой сигнал автомобиля, находясь позади небольшого строения. Однако за многоэтажный дом звук практически не проникает.
121 ЛЕКЦИЯ 6 Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны. Капиллярные волньь Цунами Внутренние волны. Акустические волны большой алюлитуды. Линейный и нелинейный режимы распространения. Уединенные волны (солитаны). Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны. Многие из нас могут долго любоваться поверхностью моря или реки, по которой перекатываются волны. Рожденные ветром, они распространяются затем за счет силы тяжести. Такие волны называются гравитационными. Частицы воды совершают в них движение по круговым и эллиптическим т(жекториям («вверх — вниз» и «вперед-назад» в одновременно), поэтому такие волны (как и волны Лава) нельзя отнести ни к продольным, ни к поперечным.
Гравитационные волны обладают рядом удивительных свойств, к ана- лгпу которых мы и приступим. Пусть по поверхности водоема глубиной Н распространяется вдоль оси Ох Рис. 6.1. поверхностная гармоническая волна (6. 1) в(х„г) Яв з1п(ш1 х) где в — смещение поверхности воды вверх от равновесного горизонтального положения, отмеченного на рис. 6.1 пунктиром. Будем считать, что ~ г ~<< Н .
Предположим, что давление жидкости на глубине г равно: р(г, х,1) = ряг о Ьр(г,х, Г), где бр — добавка к гидростатическому давлению рог, обусловленная волновым движением поверхности. Сделаем также предположение, что бр(г, хд) = ((г)ряв(х, 1) . Выражение (6.3) записано в приближении, что возмущение давления вблизи поверхности (г — > О) определяется дополнительным гидростатическим давлением ряв, связанным с изменением уровня жидкости при распространении волны: бр(0,хд) =ряг(х,е), (6.4) причем с глубиной это возмущение должно убывать.
Следовательно, функция Г(г) с ростом г также должна убывать, при этом )'(О) = 1, Позже мы докажем, что представление возмущения давления в виде (6.3) оправданно. Для описания волнового движения жидкости иам необходимо, во-первых, для заданной частоты ш найти 1; то есть установить дисперсионную зависимость ш = ш(й) и, во-вторых„определить вид функции )'(г) . Это можно сделать, если с учетом (6.2) записать уравнения Эйлера для движения несжимаемой и невязкой жидкости в плоскости ХОХ (см, уравнение (3. 30) в лекции по гидродинамике); Колебания и волны ~д1 "д 'д.) д.1 ~ д1 " дх ' дг ) да (6,5) При записи (6. 5) мы предполагаем, что движение частиц по оси Оу отсутствует.
де дг, де, дг', Учтем далее, что членами г, — х, г, — ', г„— ' и и, — ' в силу их малости можно пренебречь. Тогда получаем дг;. дбр Р— = дг дх ' д., дбр Р д1 д. ' (6.6) Эти уравнения дополним условием несжимаемости: включая движение ее поверхности. Продифференцируем первое из уравнений (6.6) по х, а второе — по ж д28 2 д1 д. д'1 д дг д~Гр Р- д1 д~ д 2 (6.8) В левых частях этой системы уравнений изменен порядок дифференцирования. Сложим теперь уравнения (6.8).
Тогда с учетом (6.7) можем записать: — =0 (6.9) Уравнение (6.10) дхз является знаменитым уравнением Лапласа„используемым во многих разделах физики. Поэтому его решение хорошо известно. На поверхности водоема прн я = 0 граничным условием является равенство (6.4), а на дне при г = Н должно выполняться условие и, = О, нз которого с учетом второго уравнения (6.6) получаем: дбр — =О, де и дБР г Подставим далее (6.3) в (6.10) и учтем, что — = — Я Ьр.
д." (6.11) (6.7) дх дг Уравнения (6.6) и (6.7) при заданных граничных условиях дают возможность рассчитать г, „г, и бр и, тем самым, получить решение задачи о движении жидкости, Лекция 6 123 Тогда (6.10) примет вид: (6. 14) Подставляя (6.! 3) в (6.14), получаем: А-ьВ =1; (6. 15) Аеьч — Ве ьч =О. Отсюда сй(1(я — Н)) ~Ь(РН) (6.16) где функция с(пх = — (е -> е ) — гиперболический косинус.
а — а 2 ГРафик фУнкции Д(з) изобРажен на 7(з) рис. 6.2, Теперь осталось только определить волновое число(.„входящеев(6.1) и(6.3). Это можно сделать, если сначала из (6.1) найти вертикальное ускорение частицы на поверхности жидкости. При этом надо учесть, что О положительные значения е, соответствуют Н г Рис. 6.2. уменьшению гп — — — ащ и( — ьт) = ю з(хд) а ; аяа (6.17) а1 а1 Подставим (6.17) в левую часть второго уравнения (6.6), а правую часть этого уравнения запишем, используя представление (6.3).
Тогда получим рю з = — ряз — = рдз011з(ОН), 2 ау (6. 18) ьа В (6.18) учтено„что (сйа)' = йа, йа = з)пх/ сйа. Поэтому дисперсионное соотношение получается в виде: 0 ( Н) Обозначим са = ДН . Тогда 1Ь((Н) "' (б. 19) (6.20) — — 0~7 =О. (6.12) оз з С методом решения таких уравнений мы познакомились в лекциях по колебаниям.
Используя подстановку Г( ) = Ае, получаем характеристическоеуравнение Х~ — 1 = О, откуда Х, з = Ы, и общее решение (6.12) может быль записано в виде функции: Д(а) =Ае +Ве (6.13) при этом граничные условия для 7 (з) следующие: Г(0) =1; — ' =О. 4)' -н Колебания и волны 124 са О ' Рис. 6.3. 0 Н ' Рис. 6.4. Волны глубокой воды. Если хН» 1 (Н» Х), то такие волны называют волнами глубокой воды. Возмущения бр сосредоточены в приповерхностном слоетолщиной - Х и не «чувствуют» присутствия дна. Для таких волн, с учетом приближения г)з(ьо) = 1, дисперсионное соотношение (6.19) примет вид; ш =,Я7.
(6.21) Таким образом, эти волны обладают сильной дисперсией. Сделаем некоторые оценки. В океане преобладают волны с периодом колебаний Т-10 с. Согласно (6.21) длина волны 1 = 2к!1-150 м, а фазовая скорость с - 15 мыс. Такая скорость является типичной, так как она совпадает с характерной скоростью ветра вблизи поверхности, генерирующего волны глубокой воды.
На рнс. 6.3 эта зависимость изображена сплошной линией, а пунктиром показана прямая ю = се(. Фазовая скорость волны с = Ы1 как функция волнового числа показана на рис. 6.4, Таким образом, поверхностные гравитационные волны подвержены сильной дисперсии. Эффект дисперсии ярко выражен у океанских волн, зарождающихся в удаленных штормовых районах. Поскольку длинные волны (с меньшим 1) движутся быстрее„ чем короткие, то они приходят к берегам раньше коротких на 1 — 2 дня. Эффект дисперсии может использоваться при определении места возникновения волн, прошедших до точки наблюдения чрезвычайно большие расстояния. Расстояние от штормового района до места, где волны фиксируют, подсчитывается по разности времен прибытия волн разной длины волны и, следовательно, разной частоты.
Преобладающая частота прибывающих волн растет во времени, а длина пройденного пути находится по скорости изменения частоты. Так, по оценке. один из пакетов волн, наблюдавшихся в северной части Тихого океана, прошел половину окружности земного шара от Ицлийского океана по дуге большого круга, проходящей южнее Австралии. Реальные волны, как уже говорилось раньше. представляют собой суперпозицию волн, или волновые пакеты, которые движутся с групповой скоросп ю и = ош l ое . Скорость и группы меньше, чем скорости с = ю ! 1 каждой из волн в группе.
Если рассматривать отдельную волну. то можно вцлеп,„что она перемещается быстрее, чем группа. При достижении фронта группы она затухает, а ее место занимают волны, догоняющие группу с тыла. Фазовая скорость волны с, как следует из (6.20), зависит от параметра 10 = 2кУ! Х . Поэтому различают волны глубокой и мелкой воды. Лекция 6 125 Если проанализировать распределение возмущений давления с пгубиной, описываемое функцией 7'( ) (см. (6.16)),томожно показать, по Т =е ' при з =хг'6=25 м. Таким образом, приближение глубокой воды справедливо в тех местах, где глубина Н ~ 25 м. ю='зЖ=гсо (6.22) из которого следует„ что на мелкой воде дисперсия волн отсутствует. Скорость волн со =,~~Н уменьшается с глубиной, и иа глубине Н = 1 м скорость со - 3 и!с, а длина волны при Т вЂ” 10 с равна ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
