В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Надо отметить, что тем не менее нелинейное затухание не ограничивает широкое применение ультразвука в лабораторных условиях, поскольку 8 „, обычно сравнима с размерами лабораторных акустических систем или превосходит их, До сих пор мы говорили о распространении только одной волны.
Однако если распространяются, например, две волны с частотами оь и юз, то нелинейное взаимодействие между ними приводит к появлению волн с другими частотами. Среди них волны с кратными частотами л1оз1 и пзюз (гармоники) и волны с комбинационными частотами л,ш, +пзсоз (я, и пз — целые числа). В акустике, где дисперсия отсутствует, все эти волны движутся с одинаковой скоростью„поэтому они могут эффективно взаимодействовать между собой, проходя большие расстояния. Генерация гармоник и волн с комбинационными частотами имеет многочисленные применения. Проиллюстрируем сказанное на двух примерах. 1.
При изучении упругих и прочностных свойств твердых материалов их обычно подвергают большим нагрузкам с помощью специальных прессов, развивающих давления, близкие к пределам прочности этих материалов или превосходящие их, т.е. десятки тысяч атмосфер. Вместо этой громоздкой и дорогостоящей аппаратуры используют методы нелинейной акустики.
Для этого к одному торцу обраща исследуемого материала приклеивают пьезоэлектрический излучатель мощной акустической волны частоты ю. На другом конце образца помещают такой же пьезоэлектрический преобразователь (приемник звука), на выходе которого регистрируют и затем обрабатывают электрический сигнал. Последний представляет собой суперпозицию колебаний на частотах ю, 2ю, 3оз и тд. Говорят, что сигнал состоит из основной, второй, третьей и тд. гармоник. Сигнал на основной частоте несет информацию о линейном модуле Юнга, так как согласно закону Гука деформации пропорциональны приложенным напряжениям.
В области больших напряжений вследствие пластичности и текучести материала связь деформаций и напряжений описывают с использованием нелинейных модулей. Информацию Лекция 6 1З9 о таких модулях несет уже амплитуда сигнала с частотой 2ю (вторая гармоника), и тд. 2.
Другим ярким примером использования методов нелинейной акустики является генерация в воде узконаправленных пучков акустических волн с длиной Х. Это осуществляется с помощью так называемых параметрических антенн. При знакомстве с явлением дифракции волн мы отмечали, что угловая расходимость д звукового пучка тем меньше, чем больше размер г' передающего излучателя (антенны). Проблему изготовления огромных излучающих антенн с размерами в десятки метров можно обойти, используя нелинейное взаимодействие в воде двух параллельно распространяющихся мощных звуковых волнеблизкими частотами ш, и юз .
Эти волны излучаютсягоризонтально погруженным в воду одним пьезоизлучателем размером 1' — 10 см. Обе волны до их затухания пройдут расстояние Т, -10 м. В этой протяженной области рождается волна низкой (разностной) частоты гв = юз — ю,, которая затухает гораздо слабее и может пройти очень большие расстояния. Таким образом, вытянутый обьем воды с малым поперечным размером Х и большим продольным размером Е представляет собой гигантскую естественную антенну, излучающую звуковой пучок разностной частоты вдоль самой вытянутой антенны.
Однако, расходимость д этого пучка уже будет задаваться выражением 0 — ()„~ г)1п (6.64) При частоте у=а!2л-1кГц, Х вЂ” 1м и при 2,-10 м получаем э д — 3.10 ~ рад = 1,8'. Такая чрезвычайно малая расходимость пучка разностной частоты позволяет с большой точностью проводить морские исследования; изучать рельеф дна, заниматься археологическими изысканиями в придонных слоях грунта, в заиленных озерах, обнаруживать скопления рыбы у поверхности и дна моря, на мелководье— там, где обычные гидролокаторы неэффективны, и т.д. Уединенные волны (солитоиы). В 1834 году шотландский инженер-кораблестроитель и ученый Дж.
Рассел, наблюдая за движением баржи по каналу, которую тащила пара лошадей, обратил внимание на удивительное явление. При внезапной остановке судна масса воды вокруг баржи в узком канале не остановилась, а собралась около носа судна, и затем оторвалась от него и в виде большого уединенного водного холма стала двигаться со скоростью около 8 миль в час. Удивительно, что форма холма в процессе его движения практически не менялась. Рассел назвал это движущееся по поверхности воды образование «йгеаг зо1йагу шаче», что в переводе означает «большая уеди- ненная волна». Теоретическое объяснение уединенные волны получили впоследствии в работах французского ученого Ж.
В. де Буссинеска и английского физика Дж. Рзлея. Они обосновали математически возможность существования уединенных волн в мелковод- ных каналах. После смерти Рассела в 1895 году голландский физик Д. Кортевег и его ученик Колебания и волны 140 П де Фрис вывели уравнение„описывающее уединенные волны. Это уравнение получило название уравнения Кортевега — де Фриса (уравнение КДФ) и имеет вцл а. 1'аэ З а. Н' а" 1 — +со — т — э — т — —, =О.
(6.65) а1 '~ ах 2Н ах 6 ах' ~ Оно описывает распространение поверхностных гравитационных волн на мелкой воде. Здесь сс = тЯЙ вЂ” скорость волн мелкой воды, Н вЂ” глубина водоема. Отметим сразу, что по вцлу уравнение КДФ отличается от нелинейного уравнения (6.50) наличием до- н аз полнительного члена — —, ответственного за дисперсию гравитащюнных волн (хотя 6 ахз и небольшую на мелкой воде).
Рассмотрим несколько подробнее влияние нелинейности и дисперсии на распространение поверхностных гравитационных волн. По аналогии с нелинейными акус- тическими волнами сразу можем сказать, что скорость различных участков поверхностной волны будет различна; (6.66) Из-за различия скоростей (гребень волны движется быстрее впадины) происходит превращение гармонической волны в пилообразную. Крутой фронт под действием силы тяжести опрокидывается„и на поверхности воды появляются пенистые гребешки. Опрокидывание фронта легко наблюдать при движении волны по мелководью вблизи берега (рис.
6.12). Однако в ряде случаев нелинейное искажение волны может компенсировшъся дисперсией. В самом деле, пилообразная волна представляет собой набор гармоничесюзх волн с разными частотами. Изза дисперсии эти волны двн- жутся с разными скоростями, и поэтому пилообразный фрагмент волны, подобно им- пульсу„стремится расшириться. При определенной форме фрагмента оба конкурирую- щих механизма могут компен- сировагь друг друга, и тогда по поверхности воды побежит устойчивая структура в виде уединенной волны (солитона). Выясним некоторые свойства этой уединенной волны.
Рис. б. 12. Лекция 6 141 Предположим, что соли- тон имеет амплитуду»о, протяо женность вдоль оси Ох, равную 11, и представляет собой некоторый холмик, изображенный на рисун- ке 6.13. Оценим величины нели- нейного и дисперсионного членов в уравнении КДФ: Рис. 6.13. 3 а. »о "Н дх Н 6 н а.
г з — — — — Н вЂ”. б ахз гз (6.67) д» В (6.67) учтено, что на переднем и заднем фронтах холмика с О, Естественно, что а оба механизма будут компенсировать друг друга при условии (6.69) »о х — сг (6.70) При этом длина солитона г! связана с амплитудой» соотношением 4НЗ 3»о (6.71) а скорость с = с,з 1 ~-— «6.72) Если»о «Н „то последнее выражение можно переписать в виде 1»о) с= ~дН 1-'; — — = 8(Нч-»о) . 2 Н~ (6.73) Эту формулу мы уже записывали при качественном обсуждении поведения гравитационных волн по мере их приближения к берегу. — »,— -Н вЂ” =О. »о г»о (6.68) ,з Последнее накладывает связь на амплитуду», и длину х солитона: Нз 1~г »о Таким образом, чем больше амплитуда солитона», тем меньше должна быть его длина ~.
Скорость солитона с возрастает с ростом амплитуды, что характерно для нелинейного распространения волн. Точное решение уравнения КДФ, описывающее солитон, имеет аид 142 Колебания и волны Важно подчеркнуть„что солитон является устойчивой структурой. Если первоначально соотношение (6.71) не выполняется и амплитуда хо слишком велика, то водяной холм распадается на несколько меньших холмиков, из которых сформируются соли- тоны. Напротив, если я, слишком мала, то такой низкий холм расползется вследствие дисперсии.
По современным представлениям большинство волн цунами образуются„когда достаточно крупный, но безвредный в океане солитон выбрасывается на берег. При подходе к берегу он становится выше и короче, и его высота становится сравнима с глубиной океана вблизи берега. В заключение этой темы отметим, что в настоящее время обнаружены солитоны для волн различной природы. Так, например„существуют солитоны при распростране- нии акустических волн в кристаллах, световых импульсов в волоконных световодах, ионно-звуковых волн в плазме и др. Во всех случаях существование солитонов обусловлено взаимной компенсацией нелинейных и дисперсионных эффектов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
