В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 26
Текст из файла (страница 26)
= соТ вЂ” 30 м. В непосредственной близости к берегу, где глубина Н сравнима с амплитудой волны зо, волна искажается — появляются крутые гребни, которые движутся быстрее самой волны и затем опрокидываются. Зто происходит потому, что глубина под гребнем равна Н -~ хо и превосходит глубину под впадиной Н вЂ” хо. В результате колебания частиц волны приобретают сложный характер. По аналогии со звуками музыкальных инструментов, осциллограммы которых показаны в предыдущей лекции, можно сказать„что колебания частиц воды являются суперпозицией колебаний многих частот, причем по мере приближения к берегу ширина частотного спектра увеличивается.
С подобным искажением акустических волн мы встретимся несколько позднее, когда будем изучать нелинейное распространение волн конечной амплитуды. Из приведенной выше классификации гравитационных волн следует, что для океана с глубиной Н = 5 км волны глубокой воды должны иметь )г < 2лН вЂ” 30 км. Согласно (6.21) их период колебаний Т = 2хгю ~ 2 мин, а скорость с = 27Т < 250 ььгс.
Для континентального шельфа Н вЂ” 50 м„поэтому волнами глубокой воды будут волны с Х < 300 м, Т< 15 с и с < 20ььгс. С другой стороны, на глубине Н - 5 км волны с длинами волн г. ~ 30 км будут волнами мелкой воды. Зти волны имеют период колебаний Т ~ 2 мин, а их скорость с ~ 250 ыгс. Такие волны двигаются со скоростью реактивного самолета и могут пересечь Атлантический океан примерно за 7 часов. Характер движении частиц жидкости.
Рассчитаем скорости частиц г „и г,, как функции координат х, з и времени г. Это легко сделать из уравнений (6.6) с учетом (6.3),(6.1) и (6.16): дгх Р—" = — — бр = Т(з)рдЬо соз(юг — 1х), дг д дгг, д г(Т Р вЂ” бР Р~зо з'"(гаг гх). дг дз бг (6.23) Волны мелкой воды. При приближении к берегу глубина Н уменьшается, и реализуется условие (Н < 1 (2хН < гг) . Хотя частота волны остается прежней, однако дисперсионное соотношение примет иной вид: Колебания и волны 126 Отсюда г„= т(г)у — за з|п(оу — Ь), (6.24) — — за соз(шг — Лт). 61' а йт ш На рис. 6.5 показаны векторы скорости частиц на глубине и на поверхности в фиксированный момент времени.
Пунктиром изображено положение волны через малый промежуток времени. Под гребнем волны частицы имеют составляющую скорости г„. > О, а под впадиной г„. < О. Скорость некоторой частицы А направлена вниз, и с течением времени будет изменяться. Легко понять, что в последующий момент скорость частицы А будет такой, как у частицы В в настоящий момент, затем — как у част~щы С в настоящий момент„и так далее.
Поэтому траектория частицы А будет эллиптической. По мере увеличения координаты г (глубины погружения) г, — > О, эллипсы сплющиваются„и при г ~ Л частицы жидкости колеблются практически вдоль оси Ох. Размер 6 большой полуоси эллипса можно оценить из условия Р с=(г,.) т=~ — т ш (6.25) Сравним 1 с длиной волны Л: Р— = — — ьвт. Л Лш Учтем, что шl к = с, Л = с т, се — — за — скорость волн мелкой воды. Тогда з со зо (6.27) Л сзН Для мелкой воды с =се, и — = — «1, зо (6.28) Л Н Поскольку в этом случае Л - Н, то 6 — за, т.е.
возрастает с ростом амплитуды волны гс . Но так как ал « Н, то амплитуда горизонтальных колебаний г' « Л. О Рис. 6,5. Лекция 6 12т Частицы на поверхности глубокой жидкости движутся по траекториям, близким к круговым. По таким же траекториям будет двигаться и плавающее на поверхности небольшое тело, например, притопленный поплавок. До сих пор мы предполагали, что профиль волны является синусоидальным, что воз- можно только в том случае, если амплитуда волны очень мала по сравнению с ее длиной.
В природе таким профилем реально обладают только приливные волны, двина которых чрезвычайно велика по сравнению с их высотой. Обычные ветровые волны имеют более сложный вид. Как по- Рис. 6.6. волны уменьшаются по высоте. Капиллярные волны. При анализе зависимости скорости от волнового числа, изображенной на рис. 6.4„возникает вопрос: до какой величины падает скорость с при увеличении волнового числа /с (или уменьшении длины волны). Опыт показывает, что с уменьшением длины волны скорость достигает минимума„а затем начинает возрастать. Это связано с тем, что при малом радиусе Я кривизны поверхности (Я вЂ” Х) начинают казывают расчеты, частицы жидкости в них движутся по окружностям„радиус которых экспоненциально убывает с глубиной (см.
рис. 6.6), Сплошными линиями иа рисунке показаны линии равного давления, любая из которых может соответствовать поверхности воды при определенной амплитуде волны. Эти линии являются трохоидами — траекториями точек! расположенных на радиусе между центром и ободом колеса, катяще- Х тося под горизонтальной прямой, расположенной на высоте — над уровнем невозму2к щенной поверхности воды. Поэтому такая волна называется трохоидальной и отличается от синусоидальной гармонической волны„задаваемой формулой (6. 1). Очень близкими к трохоидальным являются волны после наступления на море штиля.
Это так называемая мертвая зыбь. В частном случае„когда радиус орбиты частицы, находящейся на Х поверхности воды, равен, профиль волны имеет вид циклоиды (верхняя кривая на 2е рис. 6.6). Однако, опыт показывает„что циклоидальная форма поверхности воды может наблюдаться только у стоячих волн. Опытным путем также установлено„что у бегущих трохоидальных волн угол между касательной к поверхности воды и горизонтом не превышает -30'.
Если угол ската у гребня волны превышает это значение, которое соответствует отношению ампхо литуды трохоидальной волны к ее длине = = 0,08 „то волна теряет устойчивость. Х 4к Это явление играет большую роль в процессе зарождения и развития волн, что можно заметить„наблюдая за ними в присутствии ветра.
Высокие волны с острыми гребешками не могут продолжать свой бец так как их зребни опрокидываются н разрушаются, и Колебания и волны 128 Капиллярные волны также испытывают дисперсию, однако, в отличие от гравитационных„их фазовая скорость возрастает с увеличением волнового числа ):, т.е. с уменьшением ).. Полезно записать дисперсионное соотношение (6.29) в виде: 2 Ойз (6.30) р Как следует из этого соотношения, групповая скорость ик капиллярных волн глубго З ~~ З бокой воды больше их фазовой скорости с„в полтора раза; и„,„= — = — — 1 = — с„,„, 21'р 1Я~ 1 тогда как для гравитационных волн (см.
(621)) и, = — ~ — = — с, те, групповая скорость 211, г "''' вдвое меньше фазовой. Различие групповой и фазовой скоростей капиллярных волн хорошо заметно на поверхности воды при порывах ветра; видно, что мелкая рябь внутри группы волн движется медленнее„чем весь волновой пакет. Если бы мы с самого начала при рассмотрении поверхностных волн учли как действие силы тяжести, так и поверхностное натяжение, мы бы получили для волн глубокой воды одно дисперсионное соотношение, из которого формулы (6.21) и (6. 30) получились бы предельными переходами в области малых и больших Е Для волновых чисел А»Н ' мы можем объединить(6.21) и(6.30) следующим образом: ю = ~)г-ь — /с о 3 Р (6,31) Отсюда скорость гравитационно-капиллярных волн глубокой воды получается равной со Г~ а с= — =~ — ь — 6.
р (6.32) играть заметную роль силы поверхностного натяжения. Под их действием поверхность воды стремится уменьшить свою площадь. Ситуация напоминает рассмотренную ранее, в случае с натянутым резиновым шнуром. Такие волны называются капиллярными. Если при увеличении натяжения шнура скорость распространения по нему волн возрастала, то при усилении роли поверхностного натяжения (уменьшении Х вЂ” Я ) скорость капиллярных волн должна также увеличиваться. Известно, что давление под исо кривленной цилиндрической поверхностью р — —, где о — коэффициент поверхност- Я ного натяжения. Если приближенно считать, что Х = гкк, то по аналогии с формулой для скорости звука в газе (при у = 1) можно оценить фазовую скорость таких волн: (6.29) р р Расчет показывает, что формула (6.29) для капиллярных волн глубокой воды оказывается точной.
Учет конечности глубины водоема дает для этих волн результат, аналогичный полученному выше для гравитационных волн; в формуле (6.29) под корнем дополнительно появляется множитель 11з(1Н) . Лекиия 6 129 (6.34) ности воды не могут существовать волны, распространяющиеся со скоростью меньше 23 см!с1 Капиллярные волны часто са смнн используются для определения ко- эффициента поверхностного натя- жения жидкостей. Рис.
6,7. Волны цунами. Кроме волн, генерируемых ветром, существуют очень длинные волны, возникающие во время подводных землетрясений, или моретрясений. Наиболее часто такие землетрясения происходят на дне Тихого океана, вдоль длинных це- пей Курильских и Японских островов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
