В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поскольку поглощение звука пропорционально квадрату частоты, быстрее затухают волны высших частот, и волна трансформи- сзх руется в гармоническую волну с исходной (начальной) частотой. Рассуждения, приведенные выше, носят качественный характер, Для количественного описания нели- этап П этап — 'я— Рис.
б.9. этап х Колебания и волны нейного распространения волн мы используем наиболее упрощенный подход к анализу системы нелинейных уравнений (6.40)-(6.41). Оговоримся сразу, что поскольку уравнения Эйлера описывают поведение невязкой среды, то мы сможем проанализировать рас- пространение волны лишь на первых двух этапах. Перепишем уравнения в (6.41) в виде: дг дбр )г дг дг. Ро + = бр Рог" бр'г' дг дх бг ' дх дх ' дбр дгг д +а ( бр) дг ' д.
д. (6.44) где все нелинейные члены, по порядку величины меньшие линейных, перенесены в пра- вые части уравнений. С учетом малости нелинейных членов для этих уравнений в нелинейной акустике разработаны приближенные методы решения, смысл которых состоит в получении значительно более простых уравнений, имеющих в ряде случаев несложные аналитические решения. Одно из таких уравнений мы сейчас и получим, однако сделаем это предельно просто.
Для этого, во-первых, мы ограничимся вначале лишь кинематической нелинейностью, а, во-вторых, будем предполагать, что между скоростью си возмущением бр существует такая же связь, как и в линейном режиме: бр бр с (6.45) Ро Ро со ное уравнение; дг дг дг — -~- со — = — 2гг —. (6.46) дг ' дх д ' Заметим, что в линейном режиме, когда правая часть уравнения равна нулю, его решением является любая функция вида; л(х,г) =7(г — х!со), описывающая бегущую со скоростью со без искажения вдоль оси Ох акустическую волну. В нелинейном режиме ситуация усложняется.
В самом деле, перепишем уравнение (6.46) в виде (6.47) дг дг. — + (со + 2гг) — = О. дг ' дх Отсюда видно, что скорость участка волны равна (6.48) с=со ь2г и зависит от гидродинамической скорости частиц. (6.49) где е — относительная деформация элементарного объема газа( е < 0 при сжатии и е > 0 при разрежении). Эта связь позволяет нам ограничиться одним из двух уравнений гидродинамики. Предпочтительнее, например, воспользоваться более простым уравнением непрерывности. При подстановке во второе уравнение (6.44) возмущения плотности бр, пропорционального, согласно (6.45)„гидродинамической скорости ц получаем нелиней- Лекция 6 1З5 Для фрагмента гармонической волны гидродинамической скорости, изображенного на рис.
6.10, это означает, что синусо- идальное распределение скорости вдоль оси Ох трансформируется в пилообразное. Следовательно„оба механизма нелинейности способ- ствуют трансформации гармонической волны в пилообразную, Если бы мы с самого на- Рис. 6.10 чала учли действие обоих механизмов нелинейности, то из уравнений (6.44) и (6.40) мы бы получили уравнение дг дп — +(с,+Р ) — =0, (6.50) дг ах где р =(у+1) 12 — нелинейный параметр, отражающий действие обоих механизмов нелинейности. Справедливости ради отметим, что формула (6.49) не является точной, поскольку в отсутствие физической нелинейности (у =1) нелинейный параметр 11 = 1, и на самом деле с = ся з- г . Это связано с тем, что мы использовали связь в виде (6.45), которая для волн конечной амплитуды не является верной, По аналогии с (6.47) мы можем записать решение уравнения (6.50) в виде: г(хг) = 1 г— (6.51) разную.
Пусть на входе в среду (при х = О) к(О,Г) =у(Г) =кя з1пСО1. Тогда на расстоянии х (6. 52) и — псмп т-ь х г (6.53) Здесь т= г-х/сс — так называемое локальное время, отсчитываемое наблюдателем, находящимся на расстоянии х от начала координат, от момента времени х/с„. Для построения графика зависимости (6.53) перепишем ее в явном виде к х и шт = агсз)п — —— го г„„г'о (6.
54) где 2 ш "о1) (6. 55) Это решение описывает эволюцию простых (римановых) волн. Теперь не составляет труда количественно описать трансформацию гармонической волны в пилооб- Колебания и волны 136 характерное расстояние, на котором развивается значительное нелинейное искажение волны. Это расстояние сокращается с ростом амплитуды г л исходной волны и нелинейного парамет- ра. На рис. 6.11 изображены распределения скорости в пределах одного периода колебаний дляволнынарасстояниях х=О (1); х<1 (2); х > 6„, (3).
Из этих кривых вцлно, что синусо- идальная волна преврашается постепенно в пилообразную, а прн х > Х, в профиле волны появляется неоднозначность. Эта неоднознач- Рис. 6.11. ность не имеет физического смысла и возникла лишь из-за пренебрежения вязкостью газа.
В действительности прн ол = О скорость испытывает скачок, нли разрыв (от величины скорости в точке А до величины скорости в точке В). Положение ударного фронта задается линией АВ, которую проводят так, чтобы заштрихованные площади сверху и снизу от АВ были бы одинаковы (в рассматриваемом случае АВ совпадает с осью Оу).
Таким построением автоматически учитывается нелинейное затухание волны. Расстояние 1„... как нетрудно теперь понять, является расстоянием, на котором у волны появляются разрывы скорости ц плотности р и давления бр . К сожалению, без учета вязкости ширина ударного фронта получилась равной нулю. В реальной ситуации она конечна и возрастает с увеличением вязкости. Учет вязкости позволяет описать 111 этап распространенги. однако это выходит за рамки нашего курса.
Говоря об образовании ударного фронта в конце 1 этапа и последующем нелинейном затухании на Н этапе, мы не должны забывать о наличии обычного (линейного) поглощения волны вследствие вязкости среды. Это поглощение характеризуется коэффициентом а (см. формулу (5.19)) н зависит от частоты. Амплитуда волны при линейном поглощении уменьшается по экспоненциальному закону уже на 1 этапе: -хл, -1 г'а(х) = кае ', где 1, = а характерное расстояние, характеризующее поглощение звука. Естественно, что уменьшение амплитуды гв «притормаживает» процесс искажения профиля волны, Если поглощение таково, что 1, < 1„„, то нелинейное искажение может и не проявляться вовсе.
В акустике отношение Ке = 1,11„, (6.56) называют акустическим числом Рейнольдса. Если Ке > 10, то волна считается мощной, и для нее имеет место нелинейное искажение. При Ке < 1 волна слабая, и нелинейное искажение подавлено обычным линейным поглощением. Если учесть далее, что амплитуда скорости га связана с амплитудой возмуще- Лекция 6 1Зт ния давления (бр) 0 акустическим законом Ома, то нелинейная длина будет обратно про- порциональна величине (бр)0: 3 Рсо (6.57) 2кДч(бр) о Следовательно, выражение для акустического числа Рейнольдса примет вид: 2лг,ру(бр)0 Р(бр)0 (6.58) РС0 У з Здесь учтено, что в соответствии с формулой(5.21) г'., = и 1 — ч 2, Р— константа, ха- рактеризующая нелинейные и вязкостные свойства среды, В качестве примера выполним некоторые оценки, иллюстрирующие количествен- ные характеристики распространения звуковой волны в воде, где Р = 300 (Па с) '.
При частоте ультразвука ч = 1 МГц расстояние г", = 50 м, и условие Гсе > 10 выполняется, согласно (6.58), для волн с амплитудой звукового давления (бр) 0 > 3 10 Па, или интен- сивностью 2 > ' )0 = 300 Вт/м2. (6.59) 2рсо Соответствующий уровень звукового давления Е„> 180 дБ. Для волн с такими интенсивностями г'„, < г', /1О = 5 м, поэтому уже на первых метрах своего распространения ультразвуковая волна будет превращаться в пилообразную, и затем при х > Ф „, начнется ее нелинейное затухание. Как показывает анализ формулы (6.54) с учетом построения положения ударного фронта, изображенного на рнс.
6.11, амплитуда пилообразной волны при Ке» 1 убывает с пройденным расстоянием х по закону (бр)о (6.60) 1~-х/Р„, С помощью этой формулы сразу можно сделать важный вывод о том, что величина бр не может превзойти некоторое предельное значение, как бы мы ни увеличивали амплитуду гармонической волны (бр)0. Действительно, при увеличении (бр)0 величина г',„, — 1!(бр)0 уменьшается, и бр стремится к бр,. Величина бр может быть корректно подсчитана при одновременном учете линейного поглощения и нелинейного затухания (это выходит за рамки нашего курса) и оказывается равной (6,61) Оценим максимальное значение интенсивности Т „, которая может быль передана в воде ультразвуковым лучом с частотой у = 1 МГц на расстояние х = 2Х, =100 м: 2 8 2 7 брак 89 — 2ы~,, 1 В ~ 2 (6.62) 2рсо рсо Р' Таким образом, в условиях, наилучших для возбуждения мощных ультразвуковых волн в воде, на расстояние х = 100 м через площадь сечения 1 м можно передать энергию, достаточную лишь для свечения лампочки от карманного фонарика.
Это ни в 138 Колебания и волны какое сравнение не идет с той энергией, которую посылают ультразвуковые пушки, используемые героями научно-фантастического романа Г. Адамова «Тайна двух океанов», где ультразвуковым лучом якобы повреждают корабли и ракеты. В связи с вышеизложенным возникает естественный вопрос — а как же обьяснить разрушающее действие взрывных ударных волн на большом расстоянии от места взрыва? Ответ на этот вопрос кроется в том, что взрывная ударная волна представляет собой одиночный импульс, и его амплитуда Ьр убывает с расстоянием к более медленно, чем у гармонической волны: (бр), бр(х э гк~) = (6.63) (1 '-х/Е,м) При возрастании в эпицентре взрыва амплитуды импульса (бр)„будет неограниченно увеличиваться и величина Гу~, которая при большой мощности заряда окажется достаточной для разрушения препятствия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
