В.А. Алешкевич Л.Г. Деденко, В.А. Караваев - Колебания и волны (1111878), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Громадные волны, возникающие при мощном толчке. имеют высоту аа — 1Π— 15 м и Х-10 км. Достигая берега, онн смывают не з только города и деревни, но и растительность вместе с почвой. Большие бедствия они причиняют населению Японии, которое дало им название «цунамия (по-японски — «большая волна в гаванив). Интересны сведения о величинах деформаций дна океана во время землетрясе- ний. В 1922 году японские гидрографы сделали промеры глубин в заливе Сагами, недалеко от Токио, а через год — 1 сентября 1923 года — там произошло катастрофическое землетрясение.
Повторный промер глубин после землетрясения показал„что изменения рельефа дна произошли на площади около 150 км~, при зтом один части дна поднялись местами на 230 м, а другие опустились до 400 м. Поднявшаяся часть дна вытолкнула громадный объем воды, который по оценкам составил величину Р - 23 кмз. В результате такого толчка обра- зовался огромный водяной холм (уединенная волна), который при распространении вызвал подъем уровня воды у берегов Японии в разных местах от 3„3 до 10 м. Для волновых чисел й « Н ' (волны мелкой воды) в соответствии с(6.22) скорость стремится к значению са — — АУ, а для произвольных значений 1 в соответствии с (6.20) можно записать выражение для скорости волн следующим образом: ( — — 1: 1Ь(1Н).
(6.33) р Зависимость (6.33) скорости с от волнового числа б показана на рис. 6 7. Видно, что скорость достигает минимальной величины. В соответствии с (6.32) это происходит при дйм„н = з(мнн/р, откуда 1„„, = ( — . Следовательно. Б з' и Для воды а = 0,073 Н!м, с„„„= 23„2 смус, Х„„„= 2лймн„= 1,73 см. Таким образом, на поверх- с Колебания и волны 130 Внутренние гравитационные и иные волны. Наряду с поверхностными грави- тационными и капиллярными волнами в океане суШествует множество других видов волн, которые играют важную роль в динамике океана. Океан, в отличие ог идеальной жидкости, стратнфнцирован — то есть его воды не являются однородными, а изменяются по плотности с глубиной.
Это распределение обусловлено потоками энергии (тепла) и вещества, В упрощенном виде океан можно представить состоящим из двух слоев воды; сверху лежит более легкая (теплая или менее соленая), снизу — более плотная (более соленая или холодная). Подобно тому как поверхностные волны сушествуют на границе вода-воздух, на границе раздела вод разной плотности будут существовать внутренние гравитационные волны. Амплитуда волн этого типа в океане может достигать согни метров, длина волны— многих километров, но колебания водной поверхности при этом ничтожны. Внутренние волны проявляются на поверхности океана, воздействуя на характеристики поверхностных волн„перераспределяя поверхностно-активные вещества.
По этим проявлениям они и могут быть обнаружены на поверхности океана. Так как поверхностные гравитационно-капнллярные волны и поверхностно-активные вещества сильно влиянп на коэффициент отражения электромагнитных, в том числе световых волн, внутренние волны хорошо обнаруживаются дистанционными методами„например, они видны из космоса Внутренние волны по сравнению с обычными поверхностными гравитационными волнами обладают рядом удивительных свойств. Например, групповая скорость внутренних волн перпендикулярна фазовой, угол отражения внутренних волн от откоса не равен углу падения.
При рассмотрении крупномасштабных явлений в Мировом океане необходимо учитывать эффекты вращения Земли, изменение глубины и наличие боковых границ. Сила Кориолиса является причиной возникновения инерционных, или гироскопических волн. Изменения потенцнальной завихренности вследствие изменения географической широты и глубины океана обуславливают возникновение планетарных волн Россби. Боковые границы и изменение глубины на шельфе приводят к существованию нескольких типов береговых захваченных волн — шельфовых, краевых, Кельвина, топографических волн Россби.
Крупномасштабные волны типа волн Россби, Кельвина и др. оказывают существенное влияние на термогидродинамику океана, взаимодействие атмосферы и океана, климат и погоду. Свойства многих из этих волн существенно отличаются от свойств поверхностных гравитационных волн.
Например, волны Кельвина локализованы в узкой шельфовой зоне, распространяются в северном полушарии вдоль берега против часовой стрелки. Экваториальные волны Россбн, имея пространственные масштабы в сотни километров, локализуются вдоль экватора и проявляются не в изменении уровня, а прежде всего в форме вихревых течений. Распространение акустических волн конечной амплитуды. Если возмущения плотности бр и давления бр в акустической волне не являются исчезаюше малы- ми по сравнению с равновесными значениями р и р, то говорят, что волна имеет конечную амплитуду. Обычно такие волны обладают высокой интенсивностью, н для опи- Лекция 6 д22 дп др р — ьрг — = — —; д2 дх дх' ар д (6.35) — + — (рг) =О. а2 а Сложность решения этой системы уравнений состоит в том, что в их левых частях содержатся нелинейные члены.
Обычно эту нелинейность называют кинематической нелинейиостью. Поскольку уравнения (6.35) содержат три неизвестные функции р(х,2), р(хд) и г(х,2), то необходимо их дополнить третьим уравнением, связывающим р и р. Для газа оно„как уже отмечалось ранее, является уравнением алиабаты: Р Р(Р) Ро (6.36) Представим р и р в виде Р— Ро +бр Затем подставим (6.37) в (6.36): Р— Ро +бр (6.37) ',т Ро~ (6.38) Полагая, что )ЙР 2' Ро! < 1.
разложим правую часть (6 38) в ряд: бР УЬ вЂ” 1) бр (6.39) Пренебрегая членами, имеющими порядок малости (бр/Ро) и выше, оконча- 2 тельно запишем уравнение адиабаты в виде; бр = собр + со 2 2 у 1(бр) Ро (6.40) где со = у —. 2 Ро Ро Второй член в правой части (6.40) начинает давать заметный вклад при сильном сжатии (разрежении), поэтому связь между возмущениями давления Ьр и плотности бр становится нелинейной. Эта нелинейность обусловлена нелинейностью сил межмолекулярного взаимодействия и называется физической нелинейиостью.
Она вместе с кинематической нелинейностью может кардинально повлиять на характер распростране- ния интенсивных акустических волн. сания их распространения необходимо решать нелинейные уравнения гидродинамики. Анализом распространения волн конечной амплитуды занимается отдельная наука, называемая нелинейной акустикой. В наших лекциях мы ограничимся лишь небольшим объемом сведений из нелинейной акустики. Пусть в газе вдоль оси Ох распространяется мощная акустическая волна.
Если пренебречь вязкостью газа, то одномерное движение частиц вдоль этой оси будет описываться уравнением Эйлера и уравнением непрерывности: Колебания и волны 132 Перейдем теперь к установлению основных закономерностей такого распространения. Для этого подставим (6.37) в уравнения (6.35). Тогда получим: дг дг дф> (Ро" ЬР) +(Ро +бр)" д1 дх дх ' дбр (6.41) — + — [(Р о "- ЬР)г) = о.
д1 д Чтобы помочь читателю преодолеть психологический барьер, связанный с анализом системы нелинейных уравнений (6.40)-(6.41), мы покажем вначале, как из этих уравнений можно легко получить волновое уравнение, описывающее линейный режим распространения волн, изученный подробно ранее. Линейный режим (~ ЬР ~<< рю ~ бр ~«ра) . Удержим в уравнениях(6.41) только линейные члены. Тогда получим д дб Ро д1 д' з- р О, дбр дк (6.42) дг 'д бр = с,бр. 2 Исключим две неизвестные функции, например, бр и $~ . Для этого продифференцируем первое уравнение по времени 6 а второе — домножим на сс и продифферен- 2 цируем по координате к, а затем вычтем одно уравнение из другого, С учетом третьего уравнения члены, содержащие бр и бр, сократятся, и мы получим известное нам вол- новоеуравнение (6.43) описывающее распространение без искажений вдоль оси Ох со скоростью сс волны гидродинамической скорости.
Аналогичным образом можно получить волновые уравнения для возмущений давления бр и плотности бр . Не останавливаясь далее на решениях таких уравнений (мы это сделали детально в предыдущих лекциях) перейдем теперь к нелинейному режиму распространения волн конечной амплитуды.
Нелинейный режим (( бр (< рю ) бр )< ра) . Вначале попытаемся качественно описать основные черты нелинейного распространения волн, не прибегая к математике. Наиболее просто это сделать, если обратиться к влиянию физической нелинейности (формула 6.36). Если вспомнить, что скорость звука с = ) др7Тр, то легко понять, что раз- личные части волны могут двигаться с разными скоростями. На рис. 6.8 изображена зависимость (6.36) и для трех значений плотности ра, р~ и рз проведены касательные к графику функции р = р(р), угловые коэффициенты которых равны квадрату скорости распространения волны. Из этого графи- Лекция 6 1ЗЗ ка можно сделать качественный вывод о том, что чем выше плотность участка волны, тем боль- ше его скорость.
Если, например, гармоническая волна (волна плотности) распространяется вдоль оси Ох (рис. б.9), то из-за различия скоростей ее разных зги частей она будет постепенно менять свою форму. На рисунке для простоты показаны лишь три Р1 скоРости с, =Дф7дР) „ся =Д~7ор)~ и Р, 'Ро сг = ЯФ~бр)~ Р2 Р1 Ро Рг Р Рис. б.8, Как показгявает опыт, распространение волны можно охарактеризовать тремя этапами. На 1 этапе волна трансформируется в пилообразную, обладающую скачком плотности Р (а также давления р и скорости с).
Эта пилообразная волна приобретает ударный фронт, ширина которого Ьх, по мере распространения уменьшается и достигает величины порядка длины свободного пробега молекул газа. На П этапе происходит нелинейное затухание волны даже прн очень малой вязкости и теплопроводности среды. Этот, на первый взгляд, неожиданный эффект связан с переходом в тепло части кинетической энергии молекул, обладающих гидродинамическими скоростями а Эти молекулы под действием перепадов давления на длине свободного пробега приобретают кинетическую энергию, которая затем переходит в тепло при неупругих столкновениях.
Простейший расчет показывает, что энергия, перешедшая в тепло, будет существенно больше, чем на 1 этапе, когда на ширине Ах, происходили многочисленные столкновения. Естественно, что эта тепловая энергия заимствуется у распространяющейся волны. 1П этап связан с возрастающим влиянием вязкости и теплопроводности, которые особенно сильны в областях больших перепадов скорости и температуры (вследствие локального адиабагического нагрева или охлаждения при колебаниях газа). Резкие перепады скорости приводят к возрастанию сил вязкости, а перепады температуры на масштабах порядка двины волны влекуг отток тепла нз более нагретых областей в менее нагретые. Изза этих причин часть энергии волны переходит в тепло, и ее амплитуда умеиыпается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
