А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Можно сказать, что любая ось, перпендикулярная плоскости движения, представляет собой ось вращения. При этом поступательная скорость тела будет зависеть от того, какая ось выбрана за ось вращения. Та ось вращения, для которой поступательная скорость равна нулю, называется мгновенной осью вращения. Скорость всех точек тела в данный момент может быть представлена как скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси.
Поступательная скорость точки твердого тела, через которую про- Разложение скорости движений точек твердого тела на поступательную и вращательную неоднозначно В обаик случаяк, раядвлаиимя кивкам раяеиства, полива скорость любой точки вдоль прямой АВ, ревиая сумма поступатальиой и врасяатвльиой скоростей, одиа и та ме Чем определяется число степеней свободы механической системы! Чему равно число степеней свободы твердого тапа в различных случаях движения! Каково геометрическое определение углов Эйлера! Как доказывается возможность разложе» ния скорости плоского движения твердого тела на сумму поступательной и вращательной скоростей! Что такое мгновенная ось вращения! Можете пи Вы привести примеры мгновенной оси вращения в простейших случаях движения! 72 Гл а в а 2.
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЗЪНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА ходит мгновенная ось, равна нулю. Но и вращательная скорость этой точки равна нулю, поскольку она лежит на осн вращения. Следовательно, скорость всех точек твердого тела, лежащих на мгновенной оси, равна нулю. Если рассматриваемое твердое тело имеет конечные размеры, то мгновенная ось может лежать вне тела, однако ее свойства и определение остаются, конечно, теми же самыми. На рис.
21, б показано построение для нахождения оси, движением вокруг которой плоское перемещение твердого тела представляется в виде чистого вращения. Точка О, через которую проходит ось, расположена яа пересечении перпендикуляров к АА' и ВВ'. Это видно из того обстоятельства, что треугольники АВО и А'В'О равны, поскольку сторона ОВ равна ОВ' и сторона ОА равна ОА', как проведенные к концам отрезка из точки на перпендикуляре к его середине, а сторона АВ равна А'В', поскольку это один и тот же отрезок в разных положениях. В случае бесконечно малого перемещения это построение дает точку О, через которую проходит мгновенная ось вращения. С течением времени положение мгновенной оси меняется относительно тела и относительно системы координат, в которой рассматривается движение тела.
Проиллюстрируем это на примере катящегося по прямой линии колеса. Его мгновенной осью вращения является прямая, параллельная оси колеса и проходящая через точку соприкосновения колеса с аемлей (рис. 23). Эта ось меняет свое полон«ение относительно земли. За время Г она перемещается в точку, отстоящую от первоначальной на величину И, где и — скорость движения оси колеса. Мгновенная ось в разные моменты времени проходит через различные точки колеса, перемещаясь вдоль обода.
Мгновенная ось — это воображаемая ось, которая не имеет своего материального носителя. Поэтому говорить о скорости движения мгновенной оси не имеет физического смысла. Например, если линейка падает на поверхность стола, будучи ей параллельна, то можно сказать, что точка соприкосновения линейки со столом движется с бесконечной скоростью. Но в действительности в атом явлении нет материального носителя, который движется с бесконечной скоростью. Примерно такой же характер имеет и «скорость» мгновенной оси вращения. Физический смысл имеет не скорость движения мгновенной оси, а именно тот факт, что точки материального тела, лежащие на мгновенной оси, покоятся в рассматриваемый момент времени и движение тела сводится к вращению вокруг этой оси. Все сказанное выше относилось к плоскому движению тела.
Теперь рассмотрим тело, закрепленное в одной точке. Спрашивается, может ли мгновенное движение этого тела быть представлено в виде вращения вокруг некоторой оси, проходящей через эак- 16. Дзнжение твердого тела 73 г l тю те тс ° вивВВВ репленную точку тела? Ответ на этот вопрос дает теорема Эйлера, которая гласит: твердое тело, имеющее одну закрепленную неподвижную точку, может быть из одного положения переведено в любое другое одним поворотом на некоторый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Теорема Эйлера справедлива как в случае бесконечно малых перемещений тела, так и в случае конечных. Для доказательства очертим в твердом теле некоторую сферу единичного радиуса с центром в закрепленной точке и проведем на этой сфере дугу АВ.
Положение этой дуги полностью характеризует положение твердого тела. При его движении положение дуги меняется в пространстве, оставаясь на поверхности сферы единичного радиуса. Утверждение теоремы Эйлера сводится к тому, что дуга АВ может быть переведена в любое другое положение одним поворотом. Рассмотрим два положения дуги на сфере: АВ н А'В' (рис. 24, а). Соединим точки А и А', В и В' дугами больших кругов. Затем через середины этих дуг проведем перпендикулярно им дуги больших кругов до пересечения в точке О'.
Из построения Точна соприносновения нолеса с землей неподвижна. Грязь, отбрасываемая колесами автомоби° ля назад, отлетает от не сопринасающикся с землей точен, накодящикся в двиаении. Опижнте метод нахождения мгновенной осн вращения. В чем состоит доказательство теоремы Зйпвраг Из каких скоростей слагается скорость точек твердого тела прн произвольном движеннн1 Если тело движется поступательно, то где ось вращенияг ~~!!!::!!:.в:.~::;Ч,'Оввтвт:.„.вя1вя::!.;:::;::,:.:!!!:.:~::!:;:.::,;::-;.в!.::;.::;.:,.:,:-::;:,;:.-:.--.:;.:;.:',!.;:;.':;.!!::!::;:!.':.:.:'.'.;:":!.*..'::*::!::;:у К понятию мгновенной оси видно, что сферический треугольник АО'В' равен сферическому треугольнику А 'О В.
Поэтому вращением вокруг оси, проходящей через точку О' и центр сферы, они могут быть совмещены друг с другом. Тем самым теорема Эйлера доказана. На рис. 24, б показано аналогичное построение для нахождения мгновенной оси вращения в плоском движении (точка О здесь соответствует точке О' на рис. 24, а). Из теоремы Эйлера непосредственно следует, что движение закрепленного в точке твердого тела в каждый данный момент может рассматриваться как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Положение этой мгновенной оси с течением времени мекяется как относительно точек твердого тела, так и относительно неподвижной системы координат, в которой твердое тело закреплено в одной точке.
Скорость точек твердого тела представляется в виде б) т — [Сам> Г]> (10.6) К доказательству теоремы Эйлера Дуге АВ сферы однем врвщеннем вокруг осн, протодвщей черве центр сферы н тачку О, может быть совмещено с дугой гт'В' где атм — мгновенная угловая скорость, г — радиус-вектор относительно закрепленной точки.
Пользуясь тем, что угловая скорость со, является вектором, можно представить ее как сумму двух векторов (рис. 25): один вектор направлен вдоль линии ОА', закрепленной относительно точек тела; другой — вдоль линии ОВ, неподвиятттой в системе координат, в которой рассматривается движение твердого тела, т. е. Произвольное двинуение твердого тела монует быть нредотавлено нан двинуение некоторой точни и вращение тела о мгновенной угловой онороотью, нроходнщей через зту точку.
сом = «то+ ат'> ч = [тоо г1+ [то'> т'1 (10.7) Представив скорость тела в таком виде, можно сказать, что его движение слагается из двух: вращения с угловой скоростью ез' вокруг оси, иметощей неизменное положение относительно тела, 74 Гл а за 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА 10. Двинские твердого тела и вращения с угловой скоростью суй относительно оси, имеющей неизменное направление в пространстве. Угловая скорость еу прн движении меняется лишь по значению, но не меняет своего направления. Угловая скорость со' меняется как по значению, так и по направлению.
Скорость каждой точки равна сумме двух скоростей: [еу„г[ — скорости вращения тела вокруг неподвижной оси и [оу', г[ — скорости вращения тела относительно закрепленной в теле оси, которая вращается вместе с телом вокруг неподвижной оси. Произвольное движение твердого тела слагается нз движения некоторой точки тела и движения тела относительно атой точки, рассматриваемой как точка закрепления.
Следовательно, изложенное выше дает полное описание даня<ения твердого тела. тО Разложение вектора мгновенной угловой скорости еуи вращения твердого тела на составляющие: еуо и ву' Налрааление утлоаой скорости Ете неизменно относительно неподаижной системы «оордииат, а углоаой скорости се неизменно относительно тела, но менаатса относительно неподаижной системы ие ординат Глава 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ П.пр ц относительности 12. Преобразования Галилея 13. Постоянство скорости света 14.
Преобразования Лоренца опрос о преобразовании координат, В относящихся к одной н той же инерциальпой системе отсчета, является чисто математическим, а вопрос о преобразовании координат, относящихся к различным инерциальным системам отсчета, является вопросом физики. Он может быть решен только с помощью эксперимента. 11. Принцип относительности Геометрические преобразования координат, Положение точек относительно материального тела, принятого за систему отсчета, описывается с помощью системы координат, как зто было подробно рассмотрено в т 5. В каждой системе координат пространственное положение точки задается тремя числами, называемыми коордннатамн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
