А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Этот процесс никогда не будет завершен. Физическое содержание принципа относительности, Принцип относительности основывается на предположении, что существует бесчисленное множество систем координат, в которых геометрия является евклидовой, существует единое время и часы можно синхронизовать так, как зто было описано ранее.
Пространственно-временные соотношения в пределах каждой из этих систем координат совершенно одинаковы и по этому признаку системы координат неотличимы друг от друга. Справедливость такого предположения обосновывается большим числом экспериментальных фактов. Опыт показывает, что в таких системах координат соблюдается первый закон Ньютона и поэтому они называются инерциальными. Эти системы координат движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, без вращения. Указанные пространственно-временные соотношения должны соблюдаться во всем пространстве и в течение бесконечно больших промежутков времени.
Если они справедливы лишь приближенно в ограниченной области пространства, то нельзя говорить о системс координат, в которой справедлив принцип относительности специальной теории относительности. Например, пусть система координат В1 движется прямолинейно и равноускоренно относительно системы неподвижных звезд. В этой системе координат существует единое время, и в небольших областях пространства геометрия является с большой точностью евклидовой (при достаточно малых ускорениях), и можно приближенно синхронизовать часы так, как это было описано ранее. Однако такая система координат не относится к системам координат, к которым можно применять принцип относительности, и не является инерциальной, хотя в малой области пространства и для небольших промежутков времени пространственно-временные соотношения в этой системе мало отличаются от аналогичных соотношений в инерциальной системе координат.
Но содержание принципа относительности не сводится лишь к характеристике пространственно-временных соотношений. Принцип относительности является констатацией одинакового характера течения физических процессов в инерциальных системах координат и является, следовательно, физическим утверждением. Впрочем, надо иметь в виду обсужденный ранее смысл утверждений о свойствах пространства и времени. 12. Преобразования Галилея Преобразования Галилея. Движущаяся система координат (см.
рис. 26) в каждый момент времени занимает определенное положение относительно неподвижной. Если начала обеих систем координат совпадают в момент ~ = О, то в момент ~ начало движущейся системы координат находится в точке х = П неподвижной системы. Преобразования Галилея предполагают, что для координат и времени ' систем (х, у, х) и (х', у', г') в каждый момент существует такое соотношение, какое существовало бы между ними, если бы зти системы' в данный момент покоились друг относительно друга, т.
е. преобразования координат сводятся к геометрическим преобразованиям, которые были ухте рассмотрены, а время является одним и тем же, т. е. (12.1) Эти формулы называются преобразованиями Галилея. Очевидно, что в качестве неподвижной системы можно было бы взять штрихованную. В штрихованной системе координат нештрихованная движется со скоростью и в направлении отрицательных значений х', т. е. с отрицательной скоростью.
Поэтому формулы преобразования в этом случае могут быть получены из (12.1) заменой штрихованных величин на нештрихованные и заменой э -+ — и, т. е. имеют внд Гл а в а 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ Г х1 = х1 — ~яо, у! =У1 ° Ф г1 = гг, / й — гэю Хг = Хг Иоу Ф Уг=уг Ф гг =гг, ~2 =- гз. (12.3) Полезно заметить, что формулы (12.2) сейчас были получены из (12.1) не путем вычисления, т. е. не решением уравнений (12.1) относительно нештрихованных величин, а путем применения к преобразованиям (12 1) принципа относительности.
Конечно, те же формулы (12.2) получаются из (12.1) просто решением их как системы уравнений относительно нештрихованных величин. Совпадение обоих результатов означает, что уравнения (12.1) и (12.2) не противоречат принципу относительности. Инварианты преобразований. При преобразовании координат различные физические и геометрические величины, вообще говоря, изменяют свои численные значения. Например, положение некоторой точки характеризуется тремя числами (х„ у„ г,).
При изменении системы координат эти числа меняются. Ясно, что они характеризуют не какое-либо объективное свойство точки, а лишь положение точки относительно конкретной системы координат. Если величина не изменяет своего численного значения при. преобразовании координат, то зто означает, что она имеет объективное значение, независимое от выбора той или иной системы координат. Такие величины отражают свойства самих изучаемых явлений и предметов, а не отношения этих явлений и предметов к системе координат, в которой они рассматриваются.
Величины, численное значение которых не изменяется при преобразовании координат, называются инвариантами преобразований. Они имеют первостепенное значение в физической теории. Поэтому необходимо изучить инварианты преобразований Галилея. Инвариантность длины. Пусть в штрихованной системе координат находится стержень, координаты концов которого (х,', у'„ г,') и (х,', у;, г,'). Это означает, что длина стержня в штрихованной системе равна 1 = ф' (хг — х1)'+ (уг — у1)'+ (гг — г1)'. В нештрихованной системе координат стержень движется поступательно и все его точки имеют скорость и. Длиной движущегося стержня, по определению, называется расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени.
Таким образом, для измерения длины движущегося стержня необходимо одновременно, т. е. при одинаковых показаниях часов неподвижной системы координат, расположенных в соответствующих точках, отметить положение концов стержня. Пусть засечки положения концов движущегося стержня сделаны в неподвижной системе координат в момент г и характеризуются координатами (х„у„г,) и (х, у„г,). Согласно формулам преобразования (12.1), координаты и время в движущейся и неподвижной системах связаны соотношениями: 12. Преобразования Галилея 83 Отсюда следует: уз — у1 = уг — уг, 4 — з1=зг — зг к хг — х! = хг х1~ и поэтому 1 = ф (хг — х1) + (уг — у1 )г + (зг — г1) = = ф'(хг - х,)'+ (у, - у,)'+ (зг — яг)' = 1', (12.4) (12.5) Л1' =1 — 1. В неподвижной системе координат эти события на основании (12.2) произошли в моменты Г, = г,' и 1г:= 1, и, следовательно, интервал времени между ними (12.6) Таким образом, можно сказать, что интервал времени является ин.
вариантом преобразований Галилея. т. е. длина стержня в обеих системах координат одинакова. Это позволяет утверждать, что длина является инвариантом преобразований Галилея. Абсолютный характер понятия одновременности. Обратим внимание на последнюю строчку в формуле (12.3): эти равенства показывают, что в тот момент, когда засекались концы движущегося стержня в неподвижной системе координат, часы, расположенные в тех точках движущейся системы координат, с которыми совпадают концы стержня, показывают одно и то же время. Это является следствием формулы преобразования времени от одной системы координат к другой в виде г' = ~.
Она говорит, что события, одновременные в одной системе, одновременны и в другой, т. е. утверждение об одновременности двух событий имеет абсолютный характер, независимый от системы координат, Инвариантность интервала времени. Инвариантность интервала времени доказывается на основании формулы преобразования Пусть в движущейся системе координат произошли события в некоторые моменты 1,' и 1г'. Интервал времени между этими событиями В4 Сложение скоростей.
Пусть в штрихованной системе координат движется материальная точка, зависимость координат которой от времени описывается формулами: (12.7) х' = х' (г'), у' = у' (~'), й' = г' (г'), а компоненты скорости равны: сЬ' , Иу' , дг' и'= — и' = — и' = —. х ~йг 1 й ~йю э й ~йк (12.8) В неподвижной системе координат на основании (12.2) координаты этой точки изменяются со временем по закону: (12.9) а компоненты ее скорости даются равенствами: Ых' ~й' — — + и — — и„+ и ~й' <Й' 1 Р =и,„, (12ЛО) а 4й' которые являются формулами сложения скоростей классической нерелятивястской механики.
Инвариантность ускорения. Дифференцируя равенства (12ЛО) с учетом того, что Ж = Ю', получаем: лйх ~Р~' 4йу 4йу' ~Гйй <Рй' ,йй и~2 ',йй,йй' йй а~2 (12Л1) Эти формулы показывают, что ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея. 13. Постоянство скорости света Справедливость преобразований Галилея может быть проверена сравнением следствий из яих с экспериментом. Важнейшим следствием является формула сложения (12ЛО). Именно проверка этой формулы показала ее приближенный характер. Отклонения от нее тем значительнее, чем больше скорость. Особенно они велики при скоростях, близких к скорости света. Эти отклонения впервые были их х й Ыу <й Ый и = —, ~й ~И 4у ~й ~Ь' Глав» 3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ 13. Постоянство скорости света 85 открыты при исследовании скорости света, поведение которой с точки зрения классической физики оказалось не только странным, но и необъяснимым. Поэтому необходимо прежде всего рассмотреть вопрос о скорости света. Развитие взглядов на скорость света. Античные мыслители имели о свете представления двоякого рода. Платон (427 †3 гг. до н. э.) придерживался теории зрительных лучей, которые исходят из глаза и как бы «ощупывают предметы». Демокрит (460 — 370 гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
