А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Задача состоит лишь в том, чтобы описать ее движение. Описать движение материальной точки — значит указать ее положение в любой момент времени, т. е. указать для каждого момента ту точку системы отсчета, с которой материальная точка в этот момент времени совпадает. При своем движении она проходит непрерывную последовательность точек системы отсчета, называемую траекторией движения. Положение точек системы отсчета можно характеризовать различными способами, в соответствии с которыми можно описывать и движение точки. Описание движения в координатной форме. Выберем систему координат, в которой положение точки характеризуется тремя координатами. В общем случае обозначим их как х„ х, хз.
Как было сказано в $5, это означает для декартовых координат (см. рис. 3): х, = — х, х, = у, х, = з; для цилиндрических (см. рис. «): х, .= р, хг = «р,хз — — з; для сферических (см, рис. 5):х, = г,хг = «р, х = 0. При движении точки эти координаты меняются со временем, т. е. являются некоторыми функциями времени. Описать движение— значит указать эти функции: ленное значение переменной у, которое ири этом получается.
Такой метод выражения функциональных зависимостей более экономен и широко применяется. Формулы (8.1) записаны таким способом. Рассмотрим примеры описания движения этим способом. Пусть в некоторый момент 1 = О точка начинает дви»сение и удаляется по прямой от начального положения такилс образом, что ее расстояние 8 от начальной точки вдоль траектории пропорционально времени: а = Ас, где А — коэффициент пропорциональности. Формулы, опхссывающие это дви>ссессие, зависят от того, какая система координат выбрана и как она расположена. Возьмем декартову систему координат, начало которой совместим с точкой начала движения, а одну из осей, например ось у, направим вдоль скорости движения.
Тогда формулы (8.1) принимают следующий вид: х, = х = О, х, = у = Аг, ха = г = О. (8.2а) Если же, например, оси располонсить таким образом, чтобы траектория двинсения лежала в координатной плоскости (х, у) и совпадала с биссектрисой угла, проведенной между положительными направлениями этих осей, то формулы (8.1) запишутся так: хл —— х = АсД 2, хг — — у = Ас/)/ 2, хз = г = О. (8.2б) В сферической же системе координат, которую расположим относительно декартовых осей так, как указано на рис. 5, а они при этом ориентированы относительно траектории движения так, как и в случае (8.2б), формулы (8.1) примут следующий вид: х, = г = Ас, х, = ср = >с/4, хз = 0 = >с/2.
(8.2в) Если начала систем координат не совмещать с точкой начала движения, то все формулы приобретут более сложный вид, особенно в сферических координатах, в чем рекомендуем убедиться в качестве упражнения. Пусть по окружности радиуса В равномерно движется точка. Положение ее в некоторый момент г = О примем за начало отсчета. Проходимый точкой путь г вдоль траектории, являющейся окружностью, пропорционален времени, т. е. з = Ас, где А — коэффициент пропорциональности.
Декартову систему координат располонсим таким образом, чтобы окрунсиость лежала в координатной плоскости (х, у), начало ее совпадало с центром окрунсности, а ось г была бы направлена так, чтобы наблюдателю, смотрящему на движение со стороны положительных значений оси з, оио представлялось происходящим против часовой стрелки.
Кроме того, положительная часть осн х пусть проходит через точку начала дви- 5б Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА 8„Перемещение, скорость и ускорение материальной точки жения. Тогда формулы (8.1) для описания указанного движения по окружности приобретают следующий вид: х, = х = В сов (Ат/Л), х, = у = В з1п (Аг/В), х, = г = О. (8.3а) В сферической системе координат формулы (8.1) для этого случая запишутся в виде: х, = г = Л, хз = ~р = А//Л, хз —— 0 = я/2. (8.3б) В цилиндрической системе координат, которая расположена относительно декартовых осей так, как указано на рис.
4, а декартовы осп ориентированы относительно рассматриваемой траектории так же, как в (8.3а), формулы (8.1) примут вид: хз — — р =В, хг — — ср= А//В, хз — — г =О. (8.3в) Все формулы значительно усложняются при несовпадении начала координат с центром окружности и при других ориентировках осей координат. Описание движения в векторной форме. Положение точки меняет быть задано с помощью радиуса-вектора г относительно некоторой точки, принятой за начало. Как было отмечено в $ 5, такое задание положения точки предполагает не введение какой-то системы координат, а только наличие тела отсчета.
Радиус-вектор г рассматривается как непосредственно задаваемая величина. При движении точки радиус-вектор ее непрерывно меняется. Конец его описывает траекторию. Движение задается в бескоординатной форме: г= г(Е). (8.4) Формула этого вида определяет векторную функцию скалярного аргумента. Векторной функцией скалярного аргумента называется правило, по которому каждому численному значению аргумента (в данном случае т) соотносится некоторый вектор (в данном случае г).
В формуле (8.4) это правило обозначается как г в правой части, а вектор, получаемый по этому правилу, — как г в левой части. Так ни как и в формулах (8.1), такое употребление одного и того же символа в двух различных смыслах путаницы не вызывает. Формулами (8.2а) — (8.2в), имеющими различный вид, описывается одно и то же движение. Чтобы представить это движение в виде (8.4), обозначим через т единичный безразмерный вектор в направлении движения, а начало отсчета радиусов-векторов совместим с точкой начала движения. Тогда рассматриваемое движение описывается формулой, не зависящей от системы координат: г= тАг. (8.5) Подчеркнем еще раз, что формулу (8.4) следует понимать не как краткую запись трех скалярных равенств вида (8.1), а как 5В К понятиям перемещения, скорости и ускорения Среднее скорость при движении между двумв точкамн траектории совпадает по направлению с вектором перемещеииа.
Она, вообще говоре, не направлена по «асательной к траектории ни в начальной, ни ° конечной точкв точка Π— начало отсчета исходную, которую при необходимости можно расписать в виде трех скалярных равенств, но существует она независимо от возможности такого представления. Описание движения с помощью параметров траектории. Если траектория задана, то задача сводится к указанию закона движения вдоль нее. Некоторая точка траектории принимается за начальную, а любая другая точка характеризуется расстоянием г вдоль нее от начальной точки.
В этом случае движение описывается следующей формулой: г=г(1). Скорость всегда направлена по касательной и траектории. Ускорение монует составить любой угол относительно скорости, т. е. монует быть направлено под любым углом и траектории. (8.6) Например, закон движения по окружно- сти, задаваемого формулой (8.3а), имеет вид г=А1, (8.7) причем известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных значений г совпадает с направлением движения точки по окружности. Вектор перемещения, Вектор перемещения Лг = г (Г + гй1) — г (1) численно равен расстоянию между конечной и начальной точками, направлен от начальной к конечной (рис.
13) и соединяет Какие способы описания движения Вы знаете! В чем состоят яреимущества векторных обозначений и векторной записи движения! Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА а. Перемещение, скорость и ускорение материальной точки 59 точки траектории, в которых материальная точка находилась в моменты 1 и 1 + М. Скорость. Вектор средней скорости т,р при перемещении между двумя точками определяется как вектор, совпадающий по направлению с перемещением и равный абсолютному значению вектора перемещения, деленному на время перемещения (рис.
13): тог(1, 1+Л1) = — — = —. аг ~аг~ аг ~аг~ аг ас ' (8.8) В скобках у у,р указан промежуток времени, для которого средняя скорость вйчислена. Если в пределах промежутка Лт рассмотреть более маленькие промежутки времени, то средняя скорость на них отличается от средней скорости на всем промежутке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
