А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтому угловая скорость является вектором, поскольку Игр — вектор, а с11 — скаляр. Направления ат и гагр совпадают и определяются по правилу правого винта. Если начало отсчета расположить в произвольной точке оси вращения (рис. $8, точка 0), то, как это видно из рисунка, скорость материальной точки может быть выран<ена через вектор угловой скорости по формуле у = ~ез, г).
о Матонина и таооиа отнооиииаиоати К доказательству векторно- го характера злементарньж угловых перемещений Только бесконечно малые угловые перемещения являготся векторами. Вращение на коночные угли — нв вектор. Вектор угловой скорости точки, движущейся па окружности радиуса тт, направлен перпендикулярна плоскости движения 10. Движение твердого тела 67 <р =,~ хОт) (О ~ тр ( 2л), 8 = ~ хОг' (О ( 8 = я), Ч" = ~а~Ох' (О ~ Ч'(2я).
По определению этих углов видно, что они являются независимыми переменными н полностью характеризуют положение твердого тела, закрепленного в одной точке. Произвольное движение тела можно описать заданием трех функций: Т = ср (т), 8 = 8 (т), Ч' = Ч' (т). (10.2) Поступательное движение. Поступательным движением твердого тела называется такое, при котором все его точки движутся по одинаковым траекториям. Это означает, что скорости всех то- шиеся пять координат. Таким образом, остается лишь пять независимых параметров для описания движения двух жестко скрепленных материальных точек. Следовательно, эта система имеет пять степеней свободы. Число степеней свободы твердого тела.
Для того чтобы жестко закрепить твердое тело, необходимо закрепить какие-либо три его точки, не лежащие на одной прямой. Положение этих трех точек полностью определяет положение твердого тела и описывается девятью параметрами, между которыми имеются три равенства, выражающие постоянство трех расстояний между этими точками. Следовательно, чтобы найти положение твердого тела, необходимо задать шесть независимых параметров, т. е. число степеней свободы твердого тела ~ = 6.
Эти шесть независимых параметров можно задавать различным образом. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Удобно использовать три параметра для указания положения какой-либо точки твердого тела, а оставшимися тремя параметрами описывать положение твердого тела, закрепленного в этой точке. Кинематика движения точки была уже подробно проанализирована. Поэтому остается рассмотреть лишь движение твердого тела, закрепленного в точке. Его описание осуществляется с помощью углов Эйлера. Углы Эйлера.
Свяжем с твердым телом жестко систему координат (х', у', х'), которая полностью характеризуется единичными векторами 1', )', к'. Начало этой системы координат, а также начало системы координат (х, у, з), в которой рассматривается движение тела, совпадают с точкой закрепления твердого тела (рис. 19). Положение его полностью определяется положением осей (х', у', х') относительно осей (х, у, г). Плоскости О'х'у' и Оху пересекаются по линии ОЧ, называемой линией узлов. Положительное направление вдоль этой линии задается вектором т = (к, к').
Углами Эйлера называются углы: Углы Эйлера характеризуют взаимное расположение двух прямоугольных декартовых систем координат Плоскость (х', ЕЧ лересекеет ллоскость ОС Ю ло линии л чек тела в любой момент времени одинаковы. Любая прямая, проведенная между какими-либо точками тела, перемещается параллельно самой себе.
Углы Эйлера при поступательном движении постоянны. Таким образом, это движение полностью характеризуется заданием движения какой-либо одной точки тела, т. е. поступательно движущееся тело имеет три степени свободы. В кинематическом отношении это движение полностью эквивалентно движению материальной точки. Плоское движение. Плоским называется движение, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях. Движение тела в этом случае полностью определяется движением одного из его сечений в какой-либо из параллельных плоскостей, а положение сечения — положением двух точек этого сечения.
Положение двух точек на плоскости характеризуется четырьмя параметрами (координатами). Между этими параметрами имеется одно соотношение, выражающее постоянство расстояний между двумя точками. Следовательно, имеются Угловая скорость — ото вектор, потому что она определяется через беснонвчно малое елементарное угловое перемещение, которое является вентором. Средняя угловая снорость при повороте на нонечный угол — не вентор, мотя и монгвт быть ояарантеризована абсолютным значением и направлением. 68 Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛлНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА 69 ! « =[в, «[. ) шл 'е т «[ст 'о~« ш Л уl [„1а + [оз (10.4) 10. Дшокенне твердого тела лишь три независимых параметра, т. е.
число степеней свободы равно трем. Вращательное движение. Вращательное движение — это такое, при котором две точки тела остаются зсе время неподвижными. Прямая, проходящая через зти точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Другие точки твердого тела движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры этих окружностей лежат на оси вращения. Можно определить вектор угловой скорости «т так же, как в (Я.З). Если начало отсчета радиуса- вектора г расположить на оси вращения, то скорость любой точки вращающегося твердого тела Если расстояние точки твердого тела от оси вращения равно В (см. Рис.
18), то для нормального, тангенциального и полного ускорений, так же как и в $9, получим следующие формулы: (Буквенное обозначение с точкой выражает производную по времени.) Из этих формул видно, что векторы полного ускорения точек твердого тела, лежащих на одном и том же радиусе, проведенном перпендикулярно оси вращения, параллельны друг другу и увеличиваются пропорционально расстоянию от оси вращения (рис. 20). Угол а, характеризующий направление ускорения относительно радиуса, как это видно на рис. 20, опре- ДелЯетсЯ соотношением $Ва = (шт/ш ) = = й/[сз, т. е. не зависит от В. В векторной форме ускорение точек ~вердого тела, ось вращения которого Поношение системы с шестью степенями свободы полностью карантвризуется заданием шести чисел, называвмык ноординатами.
Они произвольны. Вал[но лишь проверить, что они независимы. Углы Эйлера — один из возмонтнык выборов, обладающий рядом удобств. При удалении от оси вращения полное ускорение остается неизменным по направлению, но растет по абсолютному значению Ось вращвннк («вчка О[ пврпвнЛнктлкрнв плвсквс«н нвр«виа 70 Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА не изменяет направления в пространстве, дается формулами (9.6), которые здесь нет необходимости выписывать еще раз. Мгновенная ось вращения.
В плоском движении положение твердого тела полностью определяется положением одного из его сечений в соответствующей плоскости, параллельно которой движутся все точки тела, а положение этого сечения в плоскости — положением отрезка прямой, жестко связанной с точками тела в этом сечении. Рассмотрим перемещение этого отрезка в течение некоторого промежутка времени из положения АаВа в положение АВ (рис. 21, а).
Это перемещение может быть разложено на два: 1) поступательное из АаВ, в А'В', при котором прямая перемещается параллельно самой себе; 2) вращательное, при котором твердое тело поворачивается на угол сс вокруг оси, проходящей через точку О' перпендикулярно плоскости движения твердого тела. Это разложение перемещения неоднозначно: можно было бы, например, поступательно переместить прямую из положения А,В, в положение А "В", а вращение на угол я произвести вокруг оси, проходящей через О". Таким образом, разложение перемещения на поступательное и вращательное неоднозначно, однако угол поворота а при перемещении всегда один и тот же. В течение времени гй происходит одновременно поступательное перемещение всех точек тела на о1 и элементарное угловое перемещение ста вокруг О'.
Поэтому скорость всех точек тела слагается из двух: 1) поступательной та = — гЛЫ1; 2) вращательной ч' = (от, г), где от =- = г)а/Ж, а началом отсчета радиуса-вектора г является точка О', через которую проходит ось вращения тела. Эта точка, будучи одной из точек тела, имеет поступательную скорость уа.
Следовательно, ~о 3 ! 1 1 ! 1 а) 8 ~уд х /)~ /Я' 21. Разложение перемещения на поступательное и вращательное неоднозначно и может быть произведено бесконечным числом способов, но угол вращения во всех случаях один и тот же У=Уз+(аз, г1. (10.5) 22. !В. Движение твердого тела Поскольку разложение перемещения на поступательное и вращательное неоднозначно, неоднозначным является и разложение скорости на поступательную и вращательную, что поясняется на рис. 22 в виде символического равенства: в его левой части движение слагается из поступательного со скоростью и и вращательного вокруг оси О, а в правой части— из поступательного со скоростью и', меньшей, чем и, и вращательного вокруг оси О'. Изменяя поступательную скорость тела, мы одновременно изменяем положение оси вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
