А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Будем уменьшать промежуток времени. Тогда будут уменьшаться и все более мелкие промежутки времени. Средние скорости в этих более мелких промежутках будут по-прежнему отличаться от средней скорости во всем промел.утке, но это различие уменьшается с уменьшением промежутка Ь|.
При неограниченном уменьшении Лг средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью ъ: Ьг Иг ч(г)= 1пп — = —. ,аг и' (8.9) В декартовой системе координат, представив г в виде г (~) = (х (1) + (у (г) + )гг (1) и учтя, что величины 1, ), Ы постоянны по времени, получаем (8ЛО) Следовательно, компоненты скорости даются формулами: (8.11) г= г(г).
(8Л2) Если движение задано через параметры траектории, то известны траектория и зависимость пути от времени. Путь отсчитывается от точки траектории, принятой за начальную. Каждая точка траектории характеризуется своим значением а. Следовательно, ее радиус-вектор является функцией от з и траектория может быть задана уравнением Следовательно, в формуле (8.9) можно рассматривать г (г) как слож- ную функцию г (о (Г)) и вычислить ее производные по правилу диф- ференцирования сложной функции: Нг Иг вг т= — = — —. ггг огг ггг Величина ггз — расстояние между двумя точками вдоль траектории, ~ Лг ~ — расстояние между ними по прямой линии.
Ясно, что по мере сближения точек разница в этих величинах уменьшается. Поэтому можно написать: ~г . ггг . Лг ~Лг~ — = 1пп — = 11ш — — '= ъ, ог-оаг ог-о~а'~ где т — единичный вектор, касательный к траектории. Кроме того, по определению, (ЫЯЯг) = гг есть абсолютное значение скорости по траектории. Поэтому формула (8.13) приобретает вид (8.14) Отсюда следует, что скорость направлена по касательной к траектории. Ускорение.
Ускорением называется скорость изменения скорости. Пусть в моменты 1 и г' + г:гг скорости равны соответственно т (Г) и ч (Г + Л1). Значит, в течение промежутка времени Л1 скорость изменилась на ггпу = т (г + ггг) — т (1). Среднее ускорение за Л~ равно (рис. 13) игор (Г~ Г+ ~г1)— (8.15) Будем изображать векторы т (1) в различные промежутки времени исходящими из общего начала. Конец вектора т (г) опишет кривую, которая называется годографом скоростей (рис. 14).
Уменьшая неограниченно промежуток' времени ггг, на котором вычисляется средняя скорость, получаем в пределе ускорение ггпу А гт= 11ш — = —. ы-о аг (8.16) Учитывая, что т = дгlг)1, а г = ~х + 1р + кз, ускорение можно выразить в виде гг = г1гг/йг, или ,Р„, Р~ <~гг гч=1 — +) — +к —. ггг» гггг гнг ' (8.17) 60 Гл а в а 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Следовательно, компоненты ускорения в декартовой системе координат выражаются формулами: 22/'Г) г222Х Неу х ,)22 З ,)22 С)22 и) 2 2Гг2 ' (8 18) Теперь необходимо изучить вопрос об ориентировке ускорения относительно скорости и траектории движения. На рнс.
14 видно, что ускорение всегда касательно годографу скорости, но может иметь произвольный угол относительно нее. Поскольку скорость всегда касательна к траектории движения, это означает, что ускорение может быть направлено под любым углом к касательной к траектории движения. Чтобы выяснить, от чего зависит направление ускорения, вычислим его, исходя из формулы (8.14): те. Годограф скоростей Это кривая, которую описывает кочек вектор» скорости, проведеииого кв фиксироваииого иачакв стоика О) ч с) гвгт сг'р тн= — = — (тп) = — ))+т —.
Й Й аг 222' (8.19) Нормальная номлонента уснорения не изменяет абсолютного значения скорости, а изменяет лишь ее направление. Единичный касательный вектор т полностью определяется точкой траектории, а точка траектории однозначно характеризуется своим расстоянием з от точки, принятой за начальную. Поэтому вектор т является функцией от з, т.
е. т = = т (з), а з является функцией от времени. Поэтому можно написать (г/т/Ж) =— = (т/т/г/з)(тЬ/г/г). Вектор т по абсолютному значению неизменен. Отсюда следует, что вектор (г/т/с/з) перпендикулярен т. т1тобы в этом убедиться, достаточно продифференцировать равенство т' = 1, выражающее постоянство абсолютного значения вектора т: !Г/ (тз)/гЬ] = = 2 (тс/т/с/з) = О. Но если скалярное произведение двух векторов равно нулю и нн один из них не равен нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу.
Таким образом, действительно, т и Ит/с/з ч(2) =Пш —, Дг ьг 0 Дт' т. е. Свт ч (2) = —. ей ' 8. Перемещение, скорость и ускорение материальной точки Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА взаимно перпендикулярны. Вектор т направлен по касательной к траектории. Следовательно, вектор гтт/сЬ перпендикулярен атой касательной, т.
е. направлен по нормали, которая называется главной. Единичный вектор в направлении главной нормали обозначается и. Значение вектора ат/сЬ равно (1/Л), где Л называется радиусом кривизны траектории. Точка, отстоящая от траектории на расстоянии В в направлении главной нормали и, называется центром кривизны траектории. Таким образом, можно напи- сать гтэмвнвние абсолютного эначвния снорости обусловлено только тангенциальной составляющей ускорения. бт и сй гт' (8.20) Учитывая, что (Ый) = р есть абсолют- ное значение скорости, можно формулу (8Л9) с учетом (8.20) записать оконча- тельно в виде (8.21) тт Разложение вектора полного ускорения я на составляющие: тангенциальное ттт и нормальное ттгл ускоре- ния то»кь О есть иемтр крививны тра° кторим; т — адинмчмый «асательмый вектор; я — аянничный вектор в направлвнии главной нормали 9.
Движение точки по окружности Полное ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов; ускорения т (г/и/г/г) = тт„направленного вдоль траектории движения и называемого тангенциальным, и ускорения (пгут/Л) = = тт„, направленного перпендикулярно траектории по главной нормали, т. е. к центру кривизны траектории (рис. 15), н называемого нормальным. Из (8.21) после возведения его в квадрат и с учетом того, что (и, т) = О, находим абсолютное значение полного ускорения: =ф '=)т ( — ") ч.( —;) .
(8.22т 9. Движение точки по окружности Угловая скорость. Это движение удобно рассмотреть в цилиндрической системе координат, совместив начало координат с центром окружности и расположив оси х и у в ее плоскости. В плоскости (х, у) зто будет полярная система координат (рис. 16). Обозначим радиус окружности через Л. Взяв за начало отсчета расстояний вдоль траектории точку А, можно написать 8 = Л~р. Абсолютное значение скорости в = (гЬ/й) = Л фр/г/г). Скорость изменения угла г/гр/й называется угловой и обозначается через еу.
Если эта скорость постоянна, то она называется круговой частотой. С периодом обращения Т круговая частота связана очевидным соотношением ау = 2гт/Т. Центростремительное ускорение. Нормальное ускорение в этом случае называется центростремительным. Центр кривизны всех точек окружности один и тот же и совпадает с центром окружности. Радиус кривизны равен ее радиусу. Это нетрудно показать с помощью простого вычисления, которое предлагается сделать в качестве упражнения, Центростремительное ускорение равно и„= (гзт/Л) = = гатЛ, где учтено, что и = Лго.
рт йти тт=п — +т —. ут й Что такое мгновенная скорость и как она ориентирована относительно траектории1 Каковы направления относительно траектории нормального и тангенциального ускорений и чем определяется их абсолютное значение! Откуда следует, что угловая скорость является вектором! Являются ли векторами конечные угловые перемещения! Что такое вектор углового ускоренияг Как он направлен, если угловая скорость неизменна по направлению! Движение точки по окружности Положение тачки на окружности полностью «арактернзуется путем З, пройденным ею от точки А, принюой за начало отсчета.
Центром «риаизны траенторин яаляетсп центр окружности 64 Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Угловое ускорение. Из формулы и = Л (йр/й) следует, что тангенциальное ускорение и, = (г/и/й) = гг (йо/й) = Л/(с(г<р/йг). Величина й = да/й называется угловым ускорением точки. Полное ускорение точки можно записать в виде (9.1) Векторы угловой скорости и углового ускорения.
Движение по окружности характеризуется не только ее радиусом и угловой скоростью, являющейся скалярной величиной, но и ориентировкой плоскости, в которой лежит окружность. Ориентировка плоскости определяется направлением перпендикуляра к ней. Поэтому движение по окружности характеризуется линией, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости. Это ось вращения. Величина йр называется элементарным угловым перемещением, с которым угловая скорость а = Ы~/й связана таким же соотношением, как скорость и — с пространственным перемещением пз: и = й/й.
Однако для характеристики скорости важно не только ее абсолютное значение, но и направление. Поэтому важно не только значение пространственного перемещения Ив, но и его направление. Если вектор перемещения обозначить через Ж, то вырагкение для вектора скорости имеет вид дз/й. Элементарное угловое перемещение йр характеризуется не только своим значением, но и плоскостью, в которой оно происходит. Чтобы фиксировать эту плоскость, следует йр рассматривать как вектор, перпендикулярный этой плоскости. Его направление находится по правилу правого винта: если винт вращать в сторону увеличения ~р, то направление движения винта должно совпадать с вектором И<р. Однако, чтобы иметь основание определенную так величину йр называть вектором, необходимо доказать, что она обладает его свойствами.
Пусть йр, и йрг являются двумя угловыми перемещениями (рис. 17). Докажем, что эти величины складываются как векторы. Если из точки 0 провести сферу радиусом, равным единице, то этим углам на поверхности сферы соответствуют бесконечна малые дуги Л, и Л,. Бесконечно малая дуга Л, составляет третью сторону треугольника. Этот бесконечно малый треугольник можно считать плоским. Векторы йр„йр и йрг направлены перпендикулярно стовонам этого треугольника и лежат в его плоскости. Оче~йрг=дср,+йр„них имеет место векторное равенство йрг = ~Ч>г+ дарг, (9.3) 1В. 'у. Двюкение точки ло окрукатости что н требовалось доказать.
Эти векторы можно разложить на компоненты по осям координат. Ввиду (9.2) эти компоненты ведут себя как компоненты вектора и, следовательно, элементарное угловое перемещение является вектором. Заметим, что свойством быть вектором обладают лишь элементарные (бесконечно малые) угловые перемещения. Перемещения на конечный угол не являются векторами, потому что если их изобраясать отрезками прямых, имеющих направление, перпендикулярное плоскости, в которой происходит перемещение, то эти отрезки не складываются по правилу параллелограмма (9.2). Бесконечно малое угловое перемещение йр материальной точки происходит в течение бесконечно малого промежутка времени й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
