А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Другие векторы имеют начало, вообще говоря, в других точнах. Связь полонуения точни относительно различнык начал с помощью радиусов-векторов очень проста. Эта связь выратается через величины конкретных систем координат с помощью формул преобразования ноординат и имеет более сложный вид, лен к началу штрихова~ной системы.

Если изменить его направление так, чтобы он начинался в точке 0' штрихованиой системы координат и заканчивался в точке О нештрихованной, то в формуле (6.19) в первом члене правой части знак изменится на обратный и она станет полностью аналогичной формуле (6.18а). Если начала систем координат совпадают, то вектор а обращается в нуль. Чтобы упростить формулы преобразования, введем обозначения: г =хз', г =хз,' к=ез, )г' =ез, у =хг у'= хг х =х„ У х =хи, ег Р ,) =е, 1= ем 1 ( =е1, сое (е е„) =а~„(т= 1, 2, 3; л' = 1', 2', 3').

Обозначение штрихом отнесено к индексу, что, как это сейчас будет видно, более удобно. Тогда преобразования (6 18а) при а = 0 за- пишутся следующим образом: хз = ап х1 + агз хг + агз хз, х,=азия х~ +аггхг +а зхз. хз= аз~ х1 +аз х ° +аззхз . (6.20) В таком виде их очень просто запомнить.

Аналогично можно записать преобразования (6 19). Рекомендуется сделать это в качестве упражнения. Рассмотрим применение формул (6.20) для двухмерного случая (х, = О, х, = 0), изображенного на рпс. 12: ап = соз (е,. е~ ) = соз ~р, а1г = соз (ем ег ) — з1 и ср, ам =сов(с, с~ ) =з1пср, агг =сов(е„ег)=созср.

Поэтому формулы преобразования (6.20) принимают следующий внд; хз — — соз гр. хп — з(п ср хг, хг = з1п ~р. хп + соз <р х" . (6. 21) Преобразование компонент векторов. Раньше уже было отмечено, что не всякая физическая величина, характеризуемая тремя числами, является вектором. Чтобы Физическая величина была вектором, необходимо, чтобы зти три числа вели себя при переходе из одной системы координат в другую как компоненты радиуса-вектора при преобразованиях (6.

201. Формулы (6.20) описывают преобразования компонент радиуса- вектора при произвольных относительных движениях систем координат, начала которых совпадают. Можно показать, что эти дви- 4В Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА б. Векторы 49 Вращение системы коорди- нат В даузмерном случае лрн созпаденнн начал азаимна» ориентировал осей «оординат пенностью «арантеризуетсз утлом полорота между осями к1 и кт' Какие компоненты имеет радиус-вектор1 В чем состоит метод нахождения координатный выражений дпя векториыт операцнй1 Каким усповням допжиы удовпетворяте трн чнспа.

характеризующие физическую вепичнну, чтобы она быка вектором! жения сводятся к вращениям. Естественно потребовать, чтобы при указанном преобразовании координат компоненты любого вектора преобразовывались бы по тем же формулам, что и компоненты радиуса- вектора, т, е. по формулам (6.20), в которые вместо величин хул и х„должны входить соответствующие компоненты вектора, а коэффициенты сс„должны быть теми же самыми. Если три числа, характеризующие физическую величину, преобразуются по указанным форлтулам, то она называется вектором, а числа — компонентами вектора.

Может случиться, что физическая величина в некоторой системе координат определяется тремя числами, однако при переходе в другую систему координат преобразуется не по формулам вида (6.20), . а по некоторым другим. Тогда эта величина не будет вектором. Например, известна важная физическая величина, описывающая поведение твердого тела при вращениях и называемая моментом инерции. В системе координат, осп которой совпадают с так называемыми главными осями, момент инерции задается тремя числами 1л, 1ю 1,. Однако при переходе в другую систему координат зги числа преобразуются не по формулам 50 Глава 2.

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА (6.20), а по другим формулам. Более того, в другой системе координат рассматриваемая физическая величина характеризуется не тремя числами, а шестью. Зто означает, что она является симметричным тензором (более подробно об этом см. в $49). Важнейшим свойством физической величины является ее поведение при преобразованиях систем координат. Зто обстоятельство будет неоднократно использоваться в последующем.

у. Время Понятие времени. Окружающий мир находится в процессе постоянных изменений. Процессы следуют в определенной последовательности; каждый из процессов имеет определенную длительность. В мире происходит постоянное развитие. Эти общие свойства развивающегося, изменяющегося мира в сознании человека отразились в виде понятия времени. Под временем понимается свойство материальных процессов иметь определенную длительность, следовать друг за другом в определенной. последовательности и развиваться по этапам и стадиям.

Таким образом, время не может быть отделено от материи и ее движения, оно является формой существования материи. Так же как не имеет смысла говорить о пространстве самом по себе, не имеет смысла говорить о времени самом по себе. Представление о течении времени вне связи с материальными процессами является бессодержательным. Лишь изучение этих процессов и нх взаимосвязей и соотношений наполняет понятие времени физическим содержанием. Периодические процессы. Среди многообразных процессов, происходящих в природе, обращают на себя внимание в первую очередь повторяющиеся процессы: повторение дней и ночей, времен года, движение звезд по небесному своду, биение сердца, дыхание и т.

и. Изучение и сравнение их между собой приводит к идее длительности материальных процессов, а сравнение длитедьностей — к идее их измерения. Практика измерения всевозможных процессов позволяет выделить те иэ них, которые обладают наилучшим постоянством длительности, и тем самым уточнить выбор процесса, принимаемого за эталон измерения. Ситуация здесь совершенно аналогична той, которая в $5 была довольно подробно описана относительно протяженности, и нет необходимости повторять уже сказанное. Принятый за эталон измерения периодический процесс называется часами. Прежде всего возникает вопрос: что значит, что часы в различных точках отсчета идут одинаково? Это означает следующее. Пусть некоторый физический процесс может переносить информацию из одной точки в другую.

Такой процесс называется сигналом. Им может быть световая вспышка, пуля, выпущенная из одной точки в другую, и т. д. Нет необходимости знать закон распространения этих сигналов; достаточно лишь знать, что посылка, распространение и прием сигналов проходят в неизменных и, следовательно, одинаковых условиях. Тогда будем из одной точки посылать сигналы через одинаковые промежутки времени. Если в другую точку сигналы приходят через те же одинаковые промежутки времени, то можно сказать, что темп хода часов в различных точках одинаков. Такую проверку в принципе можно провести для всевозможных пар точек; при этом выполняется условие, что если темп хода часов в точке А одинаков с темпом хода часов в точке В, а темп хода часов в точке В одинаков с темпом хода часов в точке С, то темпы хода часов в точках А и С также одинаковы. Конечно, не следует ограничиваться каким-либо одним видом сигналов; проверка одинакового темпа хода часов в различных точках тела отсчета должна быть проведена с помощью всевозможных имеющихся в распоряжении экспериментатора сигналов.

Эти опыты могут в принципе дать два результата: либо окажется, что такая одинаковость хода часов в различных точках рассматриваемой системы отсчета возможна, либо окажется, что часы в различных точках системы отсчета имеют различный ход. Оба мыслимые в принципе результата могут, как показывает эксперимент, иметь место в действительности. Например, возьмем в качестве эталонных процессов (часов) некоторые внутриядерные процессы, которые заведомо не зависят от давления, воздействия температуры и т. д., и будем проверять указанным выше способом одинаковость их хода. Пусть в начале рассматриваемого процесса из точки на некоторой высоте над поверхностью Земли посылается сигнал в точку на поверхности Земли, где происходит такой же процесс, и этот сигнал приходит в точку на поверхности Земли в тот момент, когда в атой точке начинается такой же процесс.

Следующий сигнал посылается из первой точки в тот момент, когда в ней рассматриваемый процесс заканчивается. Не имеет значения закон движения сигнала из первой точки во вторую. Важно лишь, чтобы он был совершенно одинаков для всех сигналов, т. е., иначе говоря, чтобы все условия посылки, движения и приема сигнала были совершенно одинаковыми для всех последовательных сигналов. Эксперимент показывает, что второй сигнал придет в точку на поверхности Эемли не в момент окончания происходящего там процесса, а несколько раньше. Такие эксперименты были поставлены лишь сравнительно недавно и будут более подробно описаны позднее. Здесь же нам важно лишь отметить, что в принципе возможна такая ситуация, при которой темп хода физических процессов различен в различных точках тела отсчета.

Эта возможная экспериментальная ситуация выражается в виде утверждения, что в данной системе отсчета иет единого времени, в каждой точке скорость течения времени различна. Строго говоря, такая ситуация существует, например, 5Т Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА в системе отсчета, связанной с Землей. Но отличие в темпе хода часов в различных точках вблизи поверхности Земли оказывается весьма малым.

Характеристики

Список файлов книги