IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Внутренняя симметрия частиц и античастиц Воляовая функция частицы со спином !72 в ее системе покоя сводится к одному 3-спинору (обо!значим его через Ф"). С поведением этого спипора при инверсии связано понятие о внутренней четности частицы. Однако (как было уже указано в 2 19)! хотя два возможных закона преобразования 3-спиноров (Фо -+ жгФо) и не эквивалентны друг другу, но приписывание спинору определенной четности це имеет абсолютного смысла.
Не имеет поэтому смысла говорить и о внутренней четности самой по себе частицы со спином 1,!2. Можно, однако, говорить об относительной внутренней четности двух таких частиц. Из двух (трехмерных) спиноров ФО) и Ф!2) можно составить !1) г! ж~~ыр Ф~. Ф~2), Если это ~стюп~ый с~ ч р, о г~~ор~т, что описываемые данными спинорами частицы имеют одинаковую четность, :если же это --псевдоскаляр, то говорят о противоположной внутренней четности частиц.
Покажем,что внутренние четности частицы и античастицы (со спином 1)2) противоположны (В. Рл Бересп!ецкийз 1948). 124 Фнгмионы гл. пэ Для этого заметим, что если к обеим сторонам Р-преобразования (19.5) (в спинорном представлении) Р: С вЂ” э $7)б, г)о -+ г( (27.1) применить операцию С (26.7), то получим бэ где индексом с отмечены компоненты биспинора фс = (с,) Лв зарядово-сопряженного биспинору г)) = (с) . Прои:зведя комплексное сопряжение и переместив индексы, найдем Р: г)' — э э,С'", Сс -+ гг)'.
(27.2) Мы видим, что зарядово-сопряженные биспиноры преобразуются при инверсии по одинаковому закону. Пусть г)э~э) волновая функция частицы (электрона), а г)гп) волновая функция античастицы (позитрона). Последняя есть биспинор,:зарядово-сопряженный некоторому «отрицательно-частотному» репи.нию уравнения Дирака. В системе покоя каждая из них сводится к некоторому 3-спинору; ~(э)о )з) Ф(э)о «(п)о (и) Ф(п)о о — цо Согласно (27.1), (27.2) эти спиноры преобразуются при инверсии Ф э4Ф, (27.3) одинаковому для Ф® и Ф~п). Произведение жс Ф~э)фбэ) меняет знак, что и доказывает сделанное утверждение.
Истинно нейтральной называют частицу, совпадающую со своей античастицей (см. 2 12), ф-оператор поля таких частиц удовлетворяет условию уэ1г,г) = э)э (2,г). Для частиц со спипом ',~2 это означает условия (в спинорном представлении) ') ( =-47) ', ц.= — )~(~.
(27.4) Как и всякие соотношения, выражающие собой какие-либо физические свойства, эти условия инвариантны относительно преобразования СРТ э) . Легко проверить, что фактически они инвариантны не только по отношению к СРТ, но и по отношению к каждому из трех преобразований в отдельности. ) В представлении же Майораны истинная нейтральность означает просго эриитовосгь оператора СУ (см. задачу к З 26). 2 ) Точнее, преобразование СРТ должно быть определено в данном случае так, чтобы оставлять инвариантными соотношения типа (27.4).
Это достигнуто соответствующим выбором фазового множителя в оэгределении матрицы 77т (см. примеч. на с. 12Ц. 125 8 28 ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАС'ТИЦ Мы условились в 3 19 определять инверсию спиноров как преобразование, для которого Р = — 1, и до сих пор следовали это- 2 му определению. Легко видеть, что полученный выше результат об относительной четности частиц и античастиц не зависит,как и должно быть, от способа определения инверсии.
Если инверсия определена условием Р2 = 1, то вместо (27.1) будет (27.5) Р: ( -+ ца, з)А — «С Зарядово-сопряженная же функция преобразуется при этом по закону ~со 1 те з)с 1 ~со отличающемуся от (27.5) знаком. Соответственно этому трехмер- ные гпиноры Ф будут преобрязонываться сонласно ф(э)о 1 Ф(э)о ф(п)о 1 Ф(п)о так что произведение Ф1э)Ф1") будет по-прежнему псевдоскаляром. Единственное возможное различие в физических следствиях обеих концепций инверсии состоит в том, что при определении (27.5) условие истинной нейтральности поля не было бы инвариантным относительно этого преобразования (или преобразования СР): оно меняло бы относительный знак обеих сторон равенств (27.4). Фактически истинно нейтральные частицы со олином 1,62 неизвестны, и в настоящее время нельзя сказать, имеет ли указанное различие в двух определениях инверсии реальный физический смысл ') .
Задача Найти зарядовую четность позитрония (водородоподобная система из электрона и позитрона). Р е ш е н и е. Волновая функция двух фермионов должна быть анти- симметрична относительно одновременной перестановки координат, спиноз и зарядовых переменных частиц (ср. задачу к 8 13). Перестановка порвых умножает функцию на ( — Ц', вторых — па ( — Ц 'т~ (где о = 0 или 1 — полный спин системы), третьих — на искомое С. Из условия ( — Ц'( — Ц'Т~С = — 1 находим С=( — Цьь ' Поскольку внутренние четности электрона и позитрона противоположны, пространственная четность системы Р = ( — Ц т . Комбинированная чет!Р1 постах СР = ( — ЦЯ+Ц ') Неполная эквивалентность двух определений инверсии была отмечена Рака (С.
Васой, 1937). 126 Фнемноны гл. ш 9 28. Билинейные формы 1'Р = ФуРФ, где ри 1( р е ы р) ( Б) (28.2) 2 (перечисление компонент в (28.2) по (19.15)) ') . Все написанные выражения вещественны. Скапярность и псевдоскалярность величин Я и Р очевидна из их спинорного представления: Я = ~*у) + г)*(, Р = г(~'г) — г)*(), что как раз соответствует выражениям (19.7) и (19.8). Векторный характер величин 1"Р очевиден после этого из уравнения ДиРака: Умножив Равенство Рр7РУУ = пнР слева на ф, полУчим Ярр уруу) = тфф; поскольку справа стоит скаляр, скаляром должно быть и выражение в левой части.
Правило составления величин (28.1) очевидно: они составляются так, как если бы матрицы уР образовывали 4-вектор, уа ) При унитарном преобразовании й (изменении представления) имеем й — ьПФ, Э вЂ” ~ПОУУ ', Š— ~~Я~ и инвариантность билинейных форм при таких преобразованиях очевидна. Рассмотрим трансформационные свойства различных билинейных форм, которые можно составить из компонент функций у) н у)*. Такие формы вообще имеют большое значение в квантовой механике; к их *плслу относится и 4-вектор плотности тока (21.11) . Поскольку уу и уу* имеют по четыре компоненты, из них можно составить 4. 4 = 16 независимых билинейных комбинаций. Классификация этих величин по их трансформационным свойствам очевидна из перечисленных в з 19 способов перемножения двух произвольных биспиноров (которыми в данном случае являются у) и у)*).
Именно, можно составить скаляр (обозначим его через Я), псевдоскаляр (Р), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный истинному 4-вектору Р Р (четыре независимых величины), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный 4-псевдо- вектору АР (4 величины), и биспинор 2-го ранга, эквивалентный аптисимметричпому 4-тензору УР" (шесть величин). В симметричном виде (для любого представления ф) эти комбинации записываются следующим образом; Я = ф~ Р = 14'у'4~ АР = ф ун у'ф, УР = и~он Ф, (28.1) 127 1 28 БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ было псевдоскаляром, а стоящие с обеих сторон ф и 1)) образовывали вместе скаляр ') .
Отсутствие билинейных форы, которые имели бы характер симметричного 4-тензора, очевидное из спинорного представления, ясно и из этого правила: поскольку симметричная комбинация матриц Г" 71' + ГР Г" = 28"~, то такая форма свелась бы к скаляру. Вторично-квантованные билинейные формы получаются заменой в (28.1)»Г1-функций «))-операторами. Для большей общности будем считать, что два у)-оператора относятся к полям различных частиц; будем различать их индексами в и 6.
Выясним, как преобразуются такие операторные формы при зарядовом сопряжении. Замечая, что а) ~с 1~с~ ~с бр~ (28.3) имеем, используя (26.3) и (26.21): — с-с 1»еа «гвь = Фа11сс.с«)16 = «111аГГС 11с»)зь = 1)1а«»еь1 'Фи Г 'Фь = Фа61с 7 11с«)16 = «»еаГ1с 7 1-1сФь = 1)за Г '«)16. При перестановке операторов к исходному порядку («)1 слева от »)1) в силу правил коммутации Ферми (25.4) изменится знак произведения (и, кроме того, появятся члены, не зависящие от состояния поля, которые опускаем, как и при аналогичных выводах в 8 13). Таким образом, получим — С-С вЂ” — С Р-С вЂ” Р'Ф «рЬ = «)16»й»: 1)з ГР1рЬ = «)16'у 'Ф . Преобразовав аналогичным образом также и остальные формы, найдем, что при зарядовом сопряжении о) ~аЬ Р 86а 1»аЬ Р 1»Ьа 1 аЬ Р 16ао ') «Псевдоскалярность» зо сама соответствует этим правилам, поскольку ) Для получения второго равенства из первого пишем — с Г ° о* 1 о -о ° о, чо + о -о о 1-7 Ф' ' = ~ГГВИ'~ *)) т = 7 сс»7 ез = — 1' сс 7 Ф = 6 7 "ГГс'~ = с.
67 1использованы Г26.3), (26.21) и эрмитовость 16). з) Обратил« внимание на то, что для билинейных форм, составлевных из ы-функций (а пе Ез-операторов), преобразования (28.4) имели бы обратный знак, поскольку возвращение к исходному порядку множителей Е и 1Р не сопровождалось бы изменением знака. 128 Фвгмионы Гл. пл Аналогичным образом выясняется поведение тех же форм при обращении времени. При этом надо помнить (см. 13), что эта операция связана с изменением порядка расположения операторов, и поэтому, например, (ФаФЬ) = ФЬ льа Подставив сюда (28.5) = -~7Т4 получим (Фалтбь) = ФЬ777'777'лтба = лтьь77777Т'Фа = з)лбова: Рассмотрев таким же образом остальные формы, найдем лаь г лба~ т аь + Рьа~ (" ~ л )аь г (1 1 Юьа, (28.6) (А ~ А)аь + (.4 ~ А)ьа Т ь = (р: а)аь + (р., а)ьа (р, а--трехмерные векторы, эквивалентные компонентам Ти согласно (19.15) ).
При пространственной же инверсии, в соответствии с тензор- пым характером величин '), Ваь ~ ~аь~ Раб ~ Раь (1 ~ ")аь ~ (1 1 ")аь~ (28.7) (А,А)аь — ь ( — А А),ь Т,"ь = (р,а),ь -+ ( — р,а)аь. Наконец, совместное применение всех трех операций оставляет все Уаь, Раь, Т~', неизменными и меняет знак всех Г~,, А~ь, что как раз соответствует смьнлу этого преобразования как 4-инвер- сии: поскольку 4-инверсия эквивалентна повороту 4-системы ко- ординат, то по отношению к ней нет разницы между истинными и псевдотензорами любого ранга.
Расслютрим попарные произведения билинейных форм, со- ставленных из четырех различных функций гра, грь, л)зс, гб~. Мы получим различные результаты в зависимости от того, какие па- ры этих функций перемножаются между собой. Оказывается, однако, возможным свести всякое такое произведение к произ- ведениям билинейных форм с: фиксированными парами множи- телей ( И'. РаиЬ,, М. Гьегх, 1936). Выведем соотношение, лежащее в основе такого приведения. ') Во избожание недоразумений напомним, что преобразования Т и Р тробуют также изменения аргументов функции; правые стороны (преобразованные формы в (28.6), (28.7Ц вЂ” функции соответственно от х = (-йг), х = (й-г), если левые стороны — функпии от х = (Ь, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
