IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Спиральным состояниям отвечают плоские волны, в которых трехмерный спинор ю = ю~л)(п) собственная функция оператора пег: 11О гл. ш Фнгмионы ~ — 172) (1) ~ =-172) ( 0 ) 12315 В качестве же двух линейно независимых решений с еотрица- тельной частотойь мы выберем плоские волны, в которых трех- мерные спиноры изс ) = — сгию~ ) = 2сггизс ) 123.16) (смысл такого выбора выяснится в 3 26). Можно найти такое представление плоской волны, в котором в любой системе отсчета 1а не только в системе покоя) она имеет всего две компоненты, отвечающие определенным значениям той же физической характеристики .- проекции спина в системе покоя 1Ь. РоИу, Я.
А. И'оиПиузеи, 1950). Отправляясь от амплитуды ир в стандартном представлении 123.9), ищем унитарное преобразование к такому представлению в виде и„=бги, 5г=е р1 где И' вегцественная величина; поскольку у'" = — у, при этом автоматически Ь' ~= г1 1. Разлагая в ряд и учитывая, что ( уп)2 = = — 1, представим бг в виде 77 = сов Иг+ упв)пИг асср. переход от 118.13) к 118.14)). Из условия, чтобы в преобразованной амплитуде ир вторые две компоненты обратились в нуль, найдем 18 И' = т-ье так что т+ е+ (~п)~р~ его+ ) В новом представлении 123. 17) ) Решение уравнений 123.13) допускает умножение на произвольный фазовый иножнтелгь что связано с возможностью произвольного поворота вокруг направления п.
где и и сз - полярный угол и азимут направления и относительно фиксированных осей туз ') . Другой возможный выбор двух независимых состояний свободной частицы с заданным р (более простой, хотя и менее наглядный) отвечает двум значениям з-проекции спина в системс покоя; обозначим ее и. Соответствующие спиноры: 112 Фнгмионы (33.10) (см.
1П): ЕЕ„~ = ~ —.7~т1Е2(рг). /2~гр (24.4) Они нормированы условием (24.5) (Ь+р )~~=0, формально совпадающий с нерелятивистским уравнением Шррдингера для свободной частицы. Возвращаясь к релятивистскому случаю, напомним прежде всего, что для движущейся частицы не существует разде.льных законов сохранения спина и орбитального момента; операторы в и 1 каждый в отдельности не коммутируют с гамильтонианом.
По-прежнему, однако, сохраняется (для свободной частицы) четность состояния. Поэтому квантовое число 1 теряет смысл указания на определенное знатение орбитального момента, по им определяется (см, ниже) четность состояния. Условимся рассматривать искомую волновую функцию (биспинор) в стандартном представлении: ф = (" ).
По отношению к х ' вращениям р и х ведут себя как 3-спиноры. Поэтому их угловая зависимость дается теми же шаровыми спинорами йуь„. Пусть ~р сх от, .где 1 одно (определенное) из двух значений; у + 1/з или у' — 1|2. При инверсии ~р(г) — + ир( — г) (см. (21.18)), и поскольку ЙЕ!т( — и) = ( — 1)~йй (и), то ~р(г) -~ г( — 1) ~р(г). Составляющие же х ведут себя при инверсии согласно х(г) -+ — ~ — гх( — г). Для того чтобы состояние обладало определенной четностью (т. е.
чтобы при инверсии все компоненты умножались на один и тот же множитель), необходимо, следовательно, чтобы увловая зависимость х давалась шаровым спинором й г с друтим (из двух возможных) значением В поскольку эти значения различаются па 1, то ( — 1) = — ( — 1) . Далее, радиальная зависимость у и т будет определяться теми же функциями ЕЕр~ и Л„~ (со значениями 1 и 1', отвечающими порядку входящих в й ьл шаровых функций). Это ясно из того, что каждая из компонент 1л удовлетворяет уравнению второго порядка (р~ — тв)~~ = О, которое при заданном значении ~р~ имеет вид Пз 1 24 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Таким образом, 7)2 АВр)112ы2 Х В22ррйрк7В (24.6) и остается определить постоянные коэффициенты А и В.
Для этого исследуем удаленную область, в которой сферическую волну можно рассматривать как плоскую. Согласно асимптотической формуле (33.12) (см. П1) Я вЂ” — .')" ) —. 4 )) )2 ° .7) 2Г так что )р представляет собой разность двух плоских волн, распространяющихся в направлениях ~п (и = гЯ. Для каждой из них имеем согласно (23.8) х= ' (+ )д Из сказанного выше (формулы (24.6)) ясно, что (па)й )т = ай22 „„где а постоянная.
Эту постоянную легко оиределить7 сравнив значения обеих сторон равенства при ш = 4))2 и направлении п вдоль оси е. Использовав (7.2а), найдем (псг)йч = 44 )й ) (24.8) Собрав написанные формулы и сравнив с (24.6), получим В= — и А. е -)- т Наконец, коэффициент А определяется общей нормировкой 7)). Нормируя 7)7 условием т у Ф* т 4 13* = 2 д у дую д( — р') (24.9) находим окончательно (,ус+ ~пйр) й )т 17 . ( ) 272Е 2, 27Е П).Крр й227т Таким образом, при заданных значениях ~' и т (и энергии е) существует два состояния, различающихся своей четностью. Последняя однозначно определяется числом 1, принимающим значения у ~ 1,)2) при инверсии биспипор (24.10) умножается па 4( — 1) .
Компоненты этого биспинора, однако, содержат шаровые функции обоих порядков 1 и /', в чем выражается отсутствие определенного значения орбитального момента. При 7 — ~ ОО в каждом пеболыпом участке пространства сферические волны (24.7) можно рассматривать как плоские с импульсом р = ~:рп. Поэтому ясно, что волновые функции в импульсном представлении отличаются от (24.10) в основном лишь 115 связь спина со статистикой 2 25.
Связь спина со статистикой (25.3) ) Те и другие функции отвечаЮт также одинаковым значениям о проекции спина в системе покоя: для функций АУ „зто будет показано в б 26— см. 126.10). Вторичное квантование поля частиц со свином 1У2 1спинорного поля) производится таким же образом, как это было сделано в 2 11 для скалярного поля. Не повторяя заново всех рассуждений, напишем сразу выражения для операторов поля, вполне аналогичные формулам — грт -~- гря 1 (ар ир,е '+Ьр и р е лУ2« Л гУг ив э фе У ='2 (а" ир„е'Р*+Ьр„и р,е гп~л); лУ2я ' ра суылаирование производится по всем значениям импульса р и по с = ж 1,12.
ОпеРатоРы Уничтоженил античастиц Ьр«1квк и опеРаторы уничтожения частиц ар ) стоят в виде коэффициентов при функциях, которые по своей координатной зависимости (егрг) соответствуют состоянию с импульсом р ') . Для вычисления гамильтониана спинорного поля нет необходимости в определении его тепзора энергии-импульса (как мы это делали для скалярного поля), поскольку в этом случае существует гамильтониан частицы, с помощью которого может быть записано волновое уравнение (уравнение Дирака) 121.12).
Средняя энергия частицы в состоянии с волновой функцией гуг есть интеграл з ь гуг*Йг)г«1а и = 1 гуг* — ' ел~и = л фу~ — с1зкз (25.2) д, / д, Обратим внимание па то, что «плотность энергиия 1подынтегральное выражение) не является здесь положительно определенной величиной. Заменяя в (25.2) функции гуг и гуг на гр-операторы, учитывая взаимную ортогональность волновых функций с различными р или а, а также соотношение и«ге у итре — — 26 для волновых ам— а плитуд, получаем гамильтониан поля в виде Й=2 е(ар ар — Ьр Ьр ). ро Отсюда видно., что в данном случае квантование должно производиться по Фе1ил«и: Сар„а«,), =1, (Ь„,Ь«.~, =1, 125.4) 116 Фэгмионы гл. ш а все другие пары операторов а,, а, б, б~ антикоммутативны (см. П1, 3 65).
Действительно, гамильтониан (25.3) переписывается тогда в виде Н=~ е(ар„ар„+бр„бр. — 1), рк и собственные значения энергии (как всегда, за вычетом бесконечной аддитивной постоянной): Е =,» е(А~р. +~~'р.), (25.5) р!! т. е. оказываются, как и следовало, положительно определенными. При квантовании же по Бозе мы получили бы из (25.3) бессмысленные не положительно определенные собственные значепи»! е(Агр — Хр ) Аналогичное (25.5) выражение Р , ''р(А,. +А,.) (25.6) р!7 собственных значений опе- получается и для импульса системы ратора ) ф»ру»!1 л, Оператор 4-тока У' = Ф у"Ф, (25.7) и для оператора «заряда» поля получаем 0=)»!4!в* =у»фа,.! Ь»' ! =Х »!' а,.— »,".»,.-!!», рк рО (25.8) сто собственные значения 0 = ~(л~,.
— У,.) (25.9) ра Таким образом, мы снова приходим к представлению о частицах и античастицах, к которьж! относится все сказанное по их поводу в 3 11. Но в то время как частицы со спипом 0 являются бозонами, частицы со свином »!»г оказываются фсрмионами. Коли проследить за формальным происхождением этого различия, то мы увидим, что оно возникает в связи с разницей в характере выражений ~плотности энергии» для скалярного и спинорного полей. В первом случае это выражение оказывается положительно определенным, в результате чего в гамильтониан (11.3) оба члена 117 связь спина со статистикой (а«а и ЬЬ «) входят со знаком плюс. Для обеспечения положительности собственных значений энергии замена ЬЬ « на ЬеЬ должна происходить при этом без изменения знака, т.
е. по правилу коммутации Бозе. В случае же спинорного поля «плотность энергии» не является положительно определенной величиной, в результате чего в гамильтопиане (25.3) член ЬЬ « оказывается со знаком минус, и для получения положительных собственных значений замена ЬЬ«на Ь+Ь должна сопровождаться изменением знака., т. е. происходить по правилу коммутации Ферми. С другой стороны, вид плотности энергии непосредственно связан с трансформационными свойствами волновой функции и с требованиями релятивистской инвариантности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
