IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(20.5) Здесь символы ( и т1 обозначают двухкомпонентные величины. спиноры (первый — с верхними, а второй — с нижними индексами), а при умножении матриц О на любую двухкомпонентную величину 1" здесь и ниже всегда подразумевается умножение по обычному матричному правилу (сг7')о = Пои)Д. (20.7) Запись 1 в виде веРтикального столбца 1Ат 21 отвечает томУ, что /1'1 '1 22 каждая строка в О перемножается со столбцом 2".
Для удобства дальнейших ссылок выпишем здесь еще раз матрицы Паули О, = (1 0), ОУ вЂ” — (; 0 ), ст~ = (0 1) (20.8) и напомним их основные свойства; О,ОЬ + ОЬО,, = 21гв о,стЬ = ге,мп1 + 51Ь (20.9) (см. П1, 1 55). 4 Л. Д. Лаидау и В.М. Лиф1ииИ, том 1 1' Фкгмионы гл. 111 Напишем также волновое уравнение, которому удовлетворяет комплексно-сопряженная волновая функция, составленная из спипоров с' = (б'" «в*) 0" = М ~~) (20.10) Поскольку все операторы рр содержат множитель з, то р„* = — р„, При взятии комплексно-сопряженного от обеих сторон уравне- ний (20.5) надо также учесть, что в силу эрмитовости матриц сг(о.* = о.) (а1) = сг*д~~ —— Дево = (1*сг)о, и мы получаем уравнения в виде и'(ре + р<т) = — тс,'., С*(ре — рсг) = — гпг1*. (20.
11) у' )-=уд Р (20. 12) Преобразование инверсии для ~*, г1* определяется как комплексно-сопряженное от преобразования (20.4): Р: Г -10.', 0. '— 1Г . (20.13) й 21. Симметричная форма уравнения Дирака Спинорная форма записи уравнения Дирака является наиболее естественной в том смысле, что она непосредственно выявляет его релятивистскую инвариантность. Однако в применениях могут оказаться более удобными другие представления волнового уравнения, получающиеся путем другого выбора четырех независимых компонент волновой функции. Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию символом ф (с компонентами гр;, г' = 1, 2, 3, 4). В спинорном представлении это есть биспинор: =© (21.1) Но с равным правом можно выбрать в качестве независимых компонент ф любые линейно независимые комбинации компонент спиноров б и 0 ') .
Условимся при этом ограничивать до- ) Длв краткости будем говорить о четырехкомпонентной величине С как о биспиноре также и в неспинорных ее предсгавленивх. В этой форме записи условно подразумевается, что оператор рв действуют на функцию, стоящую слева от них. Запись ~* и и* в виде горизонтальных строк соответствует матричному умноженшо в этих уравнениях; строка 1' псремножается со столбцами в матрицах о". 1 21 симмвтРичная ФОРМА уРАВнения диРАНА пустимые линейные преобразования лишь требованием унитарности; такие преобразования не меняют составленные из лд н лр* билинейные формы (сл1.
3 28). В общем случае произвольного выбора компонент лр уравнение Дирака можно представить в виде РИ'УРУЧЬЕ = тФ1 где у" (р = О, 1, 2, 3) некоторые четырехрядные матрицы (мап1рицы Дираьп). Будем обычно записывать это уравнение в символической форме, опуская матричные индексы: (ур — т)111 = 0, (21.2) где ур = уирд — — ро'у — р у = л у — + л ух7, у = ( у, у, у' ) .
спинорной форме уравнения с компонентамп л)л из (21.1) соответствуют матрицы ') 'у = (1 О) 'у= ( 0 ) 1213) как это легко видеть, записав уравнения (20.5) в виде (,-. ,-. -; -) ж=-(',) В общем случае матрицы у должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство р = тг. Для выяснения этих ушювий умножим уравнение (21.2) ш1ева на ур. Имеем ( Л-)1 Р-) 1, лр- И)ЛР, тглт, Поскольку р„р„--симметричный тепзор (все операторы ри коммутативны), можно переписать это равенство как 2 откуда видно, что должно быть , и Р+,уо,уи 2 ИР (21.4) Таким образом, все пары различных матриц 0 Р антикоьлмутативны, а квадраты каждой из них: (,2) (.
2)~ 1 ~, о) 1 (21 б) ) Здесь и в дальнейшем используется краткая запись четырехрядных матриц через двухрядные: каждый символ в выражениях 121.3) представляет собой двухрядную матрицу. Феемионы гл ш При произвольном унитарном преобразовании компонент лр1лр' = сулр, где су унитарная четырехрядная матрица) матрицы у преобразуются согласно у' = ГуГ ' = Г717т (21.6) (так что уравнение (ур — т)лр = 0 переходит в (у~р — т)луг = = 0). Перестановочные соотнолпения (21.4) при этом., разумеется, остаются неизменными. Матрица уо из (21.3) эрмитова, а ллатрицы у антиэрмитовы.
Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразовании (21.6), так что мы будем всегда иметь '): 'у — л'с 'у — 'у (21.7) Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной функции л)л*. Взяв комплексно-сопряженное от уравнения (21.2), с учетом свойств (21.7) получим (рву — р у — т)ф* = О. Переставляем лР* согласно у"ф* = лР* уи и умножаем затем уравнение справа на 'у; замечая, что з.у = — у у, и вводя новый биспинор оу* о у,.* —.,о о (21.8) получаем 1о('ур + лп) = О. (21.9) Как и в (20.11), оператор р предполагается здесь действующим на функцию, стоящую слева от него. Функцию лр называют дираковскн-сопряженной (итси релятивистски-сопряженной) функции лр. Смысл множителя у~ в ее определении заключается в том, что (в спинорпом представлении) оп переставляет спиноры ~' и лу" так, что в лр = (л1*,(*) первым оказывается (как и в лр) непунктирный, а вторым пунктирный спинор: именно по этой причине л1л является более естественным (чем лр*) «партнером» лр, когда, например, они фигурируют совместно в различных билинейных комбинациях 1см.
2 28). Преобразование инверсии для волновой функции можно представить в виде Р: ф -э л'у~л), ф — > — лфуо. (21.10) При спинорпом представлении лр матрица у~ переставляет, как и должно быть при инверсии, компоненты ~ и лр Инвариантность ) Э си равенства можно записать вместе в виде ле о л о ч =ту з.
(21.7 а) 101 1 21 симмвтРичнАя ФОРЯА уРАВнения диРАкА уравнения Дирака относительно преобразования (21.10) в общем случае очевидна и непосредственно: заменив в уравнения (21.2) р э — р и одновременно гд -+ г у гд, получим (ро уо + р у — т) у~гр = О. Умножив это уравнение слева на уо и учитывая антикоммута- тивность у и у, вернемся к исходному уравнению. Умножив уравнение (ур — гп)ф = 0 слева на 1о, а уравнение гр( ур+ т) = 0 справа на гр и сложив их, получим И'(ри Й+ (РЯ).у"Ф = рд(Фу'4 = О, где скобки указывают, на какую функцию распространяется дей- ствие оператора р. Полученное равенство имеет вид уравнения непРеРывности ддяд = О, так что величина "=И'~= ММ' '-14 (21.11) представляет собой 4-вектор плотности тока частиц.
Отметим, что его временная компонента у = го*гд положительно опредео лена. Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной относительно производной по времени; г — = Йг)1, (21. 12) д1 где Й гамильтониан частицы ') . Для этого достаточно умножить уравнение (21.2) слева на у". Для гамильтониана получается выражение Й = сер+ р'т, (21. 13) где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь матриц: а= у~у., )2 = уо. (21.14) Отметим, что сггсгь+ сгьсгг = 25д,,Зсх+ сг)3 = О, )3 = 1. (21.15) т. е. все матрицы се,,9 аптикоммутируют друг с другом, а их квадраты равны 1; всо они эрмитовы.
В спинорном представлении ) Для частицы со свином 0 волновое уравнение пе могло быть представлено в таком виде: уравнение (10.5) для скаляра 14 второго порядка по времени, а система (10.4) уравнений первого порядка для пятикомпонентиой величины (гч й„) содержит производные по времени не от всех компонент. 193 2 22 симлте'ГРичнАЯ ФОРлтА уРАВнеттия диРАкА О =( ~-'."6,„.)0. (3) 2. Написать уравнение Дирака в таком представлении, чтобы оно не содержало мнимых коэффициентов уЕ. Мауогава, 1937). Р е ш о н и е. В стандартном представлении в уравнении ( д д д д — Ч- а — + от — + а, — Ч- ттпд) 0 = О дс дя "др 'дс мнимыми являются лишь матрицы От, и тд.
эту мнимость можно устранить, произведя таков преобржтование и' = бтфт, в результате которого мнимая матрица ат переставится с вещественной матрицей тт'. Для этого надо положить УУ = — Уот Ч- д) = УУ ут2 Тогда и уравнение Дирака приобретает вид ( д д д д — — о, — +,д — — о, — + и но ут 0 = О, ду *дя ' др 'дя ',] в котором все коэффициенты вещественны. Задачи 1. Найти формулы преобразования волновой функции при бесконечно малом преобразовании Лоренца и бесконечно малом пространственном повороте.
Р е ш е н и е. В спинорном представлении ф при бесконечно малом преобразоваттии Лоренца б' = (1 — — тт6ЪУ) б, ту' = (1+ — о6ЪУ) ту усм. 118.8), 118.8а), 118.12)). Обе формулы можно записать вместе в виде ~ = (1 — — 6Ъ) ть 1 (1) 2 Анююгичным образом закон преобразования при бесконечно малолт повороте: фт' = (1+ -Е60) аь 12) В таком виде формулы справедливы в любом представлении 0, если понимать под тт и Е матрицы в том же представлении.
Легко проверить, что матрицы а и Е составлятот компоненты антисимметричного «матричного 4-те»тавра» » 1 и и» у ут,у,у у») утт тЕ) 2 уперечисление колшонент дано по правилу 119.15)). Введем также бесконечно малый антисимметричный тензор 6е»' = 16Ът, 60). Тогда ~"'6Е„, = 2»Е60 — 2у6Ът и обе формулы 11), 12) можно записать в едином виде: 1О4 гл. ш Фнгмионы 3 22. Алгебра матриц Дирака (22. 3) (ау)(Ьу) + (Ьу)(ау) = 2(аЬ), (ау)(а у) = а а формулы (22.3): у„(а у).у" = — 2(а, у), уд(а у)(Ьу) у" = 4(аЬ), у„(а у) (Ь у) (с у) у" = — 2(с у) (Ь у) (а у), Уд(аУ)(ЬУ)(сУ)(АУ)Уд = 2[(АУ)(аУ)(ЬУ)(сУ) + (сУ)(ЬУ)(аУ)(гЬУ)).
(22.6) ) В этом издании книги мы не пользуемся каким-либо специальным обозначением для такого произведения. В литературе часто используются обозначения буквами со шляпкой или перечеркнутыми буквами. При вычислениях, связанных с уравнением Дирака, приходится широко пользоваться матрицами у, не прибегая к их конкретному виду в том или ином определенном представлении. Правила оперирования этими матрицами всецело определяются перестановочными соотношениями у" уг + у'-~" = 2ид', ут, и = О, 1, 2, 3, (22.1) выражающими все их общие свойства. В этом параграфе мы приведем ряд формул и правил алгебры матриц у, полезных в различных вычислениях. «Скалярное произведение» матриц у самих на себя: йр у" у' = = 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
