IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. такое же правило, как и для ~о, т)о. При определении же (19.4) мы получили бы преобразование Б -+ Но, Но — э Бо, обратное по знаку преобразованию спиноров со, т)о. К возможным физическим аспектам этого различия мы вернемся в 9 27. Ниже будем для определенности везде подразумевать определение (19.5).
По отношению к подгруппе вращении спиноры С и т) преобразуются, как мы з~аем, одинаково. Образовав из их компонент комбинации (19.6) мы получили бы величины, преобразующиеся при инверсии согласно (19.1) с Р = Ы. Эти комбинации, однако, не ведут себя как спиноры по отношению ко всем преобразованиям группы Лоренца. Таким образом, включение инверсии в группу симметрии требует одновременного рассмотрения пары спиноров (~о, ц ); такую пару называют биспинором первого ранга). Четыре компоненты биспинора реализуют одно из неприводимых представлений расширенной группы Лоренца. ) Определение (19.4), конечно, в известном смысле условно, что связано с независимостью величин С" и Па.
Так, введя вместо и новый спинор П' 6 = е' П, получим вместо (19.4) эквивалентное определение: 93 1 19 ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ Скалярное произведение двух биспиноров (Со,й ) и (Бо.,Н ) может быть образовано двумя способами. Величина (19.7) при инверсии вообще не меняется, т. е, является истинным скаляром. Величина (~Š— г)аНа (19.8) тоже инвариантна по отношению к поворотам 4-системы координат, но меняет знак при инверсии; другими словами, она является псевдоскаляром.
Двумя способами может быть определен также и спинор второго ранга ~~э. Определив его законом преобразования од (оНд о д (19.9) мы получим величины, преобразую|циеся при инверсии согласно (19.10) При этом 4-вектор а", которому эквивалентен такой спинор, преобразуется (в соответствии с формулами (18.1)) согласно (а~,а) э (ао, — а), т. е.
является истинным 4-вектором (а трехмерный вектор а -полярным вектором). Можно, однако, определить ~од также и согласно С НР—:-от)' Иа (19.11) Тогда ') (19.12) Такому спинору соответствует 4-вектор, для которого инверсия означает преобразование (а, а) — 1 ( — а, а), т. е. 4-псевдовектор (трехмерный же вектор а аксиален). Симметричные спиноры второго ранга с индексами одинакового типа определяются законами преобразования: (19.13) При инверсии они переходят один в другой; (19.14) ') Подчеркнем, что законы преобразований (19.10) и (19.12), различающиеся знаком в правой стороне, отнюдь не эквивалентны, поскольку в обеих их сторонах стоят компоненты одного и того же спинора (ср.
примеч. на с. 92). ФЕРМИОНЫ гл ш О ии Рх Ря р« Ра Рг Π— а, (р' а) а О Р« О (19.15) ૠ— И Д ((р, а) краткое обозначение, которое мы будем применять для перечисления компонент такого тензора). При этом а"~=( — р, а), а из двух величин а — р = — ав~а"', 2 г ! 2 1 иы ра ар = — еиир«п а 8 первая является скаляром, а вторая псевдоскаляром; по отношению к собственной группе Лоренца тот и другой одинаково инвариантны.
Вместе с ними инвариантны также и квадраты трехмерных векторов Г = р + га. Это значит, что всякий поворот в 4-пространстве для векторов Г+ эквивалентен «повороту» в трехмерном пространстве, вообще говоря, на комплексные углы (шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три комплексных «угла поворота» трехмерной систомы). Операция же пространственной инверсии, меняя знак р (но не а), переводит векторы Г+ и — Г друг в друга. Компоненты этих векторов и составляют искомые две группы величин, образованных из компонент тензора ае . Тем самым становится очевидным также и соответствие между компонентами 4-тензора аи и спиноров св~, и .
Поскольку в группу Лоренца входят в качестве подгруппы пространственные вращения, соотношения между компонентами спинора и компонентами трехмерного вектора должны быть такими же, как для Пара (~~8,«1 з) образует биспинор второго ранга. Число его независимых компонент равно 3+3 = 6.
Столько жс независимых компонент имеет аптисимметричный 4-тензор второго ранга а,"'. Поэтому между тем и другим должно существовать определенное соответствие (оба реализуют эквивалентные неприводимыс представления расширенной группы Лоренца). Поскольку по отношению к собственной группе Лоренца спиноры (~З и й. преобразуются независимо, то и из компонент 4-тензора а"и могут быть составлены две группы величин, преобразующихся только друг через друга при всех поворотах 4-системы координат.
Это разбиение осушествляется следующим образом. Введем трехмерный полярный вектор р и трехмерный аксиальный вектор а, связанные с компонентами 4-тензора а,"' согласно 95 2 20 ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ трехмерных спиноров: у-Р 1 (~22 ~11) у-Р 1 ((22 [ ~11) 1 1 я = [г)22 %1): 2 и — (г)22 + 'г)П) 1 уг-Р ~12, = г)12. [19.16) ) Спиноры же нечетного ранга осуществляют двузначные представления группы: пространственный поворот на 360' меняет знак спиноров, так что каждому элементу группы отвечают две матрицы про гивоположного знака. Задача Установить общее соответствие между спинорами четного ранга и 4-тензорами. Р е ш е н и е.
Все спиноры с четными й + 1 реализуют однозначные не- приводимые представления расширенной группы Лоренца и поэтому эквивалентны 4-тензорам, реализующим такие же представления ') . Спинор ранга [й, й) преобразуется при инверсии согласно — Г й~.з...,э.... [1) Такой спинор эквивалентен симметричному непрнводимому 4-тензору ранга й — истинному или псевдотензору в зависимости от знака в [1). Спиноры рангов [й,1) и [1, й), составляющие биспинор, преобразуются при инверсии согласно е С ~ ' " ~ " ' -г [ — 1) ' Х ~ИЗ...
Тд... [2) э ПРи 1 = й + 2 биспиноР эквивалентен непРиводимомУ 4-тензоРУ а1Р 1р ранга й+ 2, антисимметричному по индексам [ди) и симметричному по всем остальным индексам. Неприводимость этого тензора означает, что он дает нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дйального по любым трем индексам [т. е. е~"" а1„1р — — О); последнее условие означает, что тевзор дает нуль при взятии циклической суммы по трем индексам . Ри и одному [любому) из остальных. При 1 = й + 4 биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору о~х„11,р1 ранга й + 4 со след1юшими свойствами: он антисимметричен по парам индексов [Лд] и [гр), симметричен по всем остальным, симметричен по отношению к перестановке пары [Лд) с парой [Рр), дает нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дуального по любой тройке индексов.
Вообще, при 1 = й+ 2п биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору ранга й+ 2п, антисиммстричпому по п парам индексов и симметричному по осчальным й индексам. 4-тензоры, антиснмметричиые по большему числу [тройкам, четверкам и т. д.) индексов, в этой классификации не появляются по очевидной причине: антисимметричпый тензор третьего ранга эквивалентен [дуален) псевдовектору, а антисимметричный тензор четвертого ранга сводится к скаляру [пропорционален единичному псевдотензору е " е); антисимметрия же гю еще болыпему числу индексов в 4-пространстве вообще невозможна.
Фетыионы ГЛ. П1 3 20. 'Уравнение Дирака в спинорном представлении 22 Р =РВ =РΠ— Рг Р Р12 Рт + грю Р Р22 РО + Рг> 12 Р Р21 Рх 1РУ ~ (20. 1) Волновое уравнение представляет собой линейную дифференци- альную связь между компонентами спиноров, осуществляемую с помощью оператора Р„. Требование релятивистской инвари- аптности фиксирует следующую систему уравнений: Ро г) = т~~, Р: ~о = пггу, (20.2) где гв —.
размерная постоянная. Вводить в эти два уравнения различные постоянные т1 и т2 (или же изменить знак перед т) было бы бессмысленно, так как надлежащим переопределением ( или г) уравнения все равно могли бы быть приведены к прежнему виду. Исключим из уравнений (20.2) один из двух спиноров, подставив г) из второго уравнения в первое: Р ~г) = — Р~~Р..'г~ = гасо. гп Но согласно (18.4) Рогр = рзд", так что получаем 1р — т)гл=0, (20.3) откуда видно, что 1п .-. масса частицы. Обратим внимание на то, что необходимость введения массы в волновое уравнение требует одновременного рассмотрения ') Трехмерный спинор первого ранга может «происходитьь также от 4-спиноров более высоких нечетных рмггов, которые в системе покоя становятся антисимметричными по одной или нескольким парам индексов.
Такие варианты, однако, привели бы к уравнениям более высоких порядков (ср. примеч. на с. 52). Частица со спином 1,~~ описывается в своей системе покоя двухкомпонентной волновой функцией . 3-спинором. По своему ечетырехмерному происхождению» зто может быть как непунктирный, так и пунктирный 4-спинор. В описании частицы в произвольной системе отсчета участвуют оба таких 4-спинора, обозначим их посредством ~о и г) ') .
Для свободной частицы единственным оператором, входящим в волновое уравнение, может быть (как уже указывалось в 2 10) лишь оператор 4-импульса Рд — — гдю В спинорных обозначениях етому 4-вектору соответствует операторный спинор Р, причем 1 20 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В ОПИНОРНОМ ПРЕДОТАВЛЕНИИ 97 двух спиноров (~~ и Л ): с помощью лишь одного из пих нельзя составить релятивистски инвариантное уравнение, которое содержало бы какой-либо размерный параметр. Тем самым волновое уравнение автоматически оказывается инвариантным относительно пространственной инверсии, если определить преобразование волновой функции как Р:Г, — тгт10, т1 -+1~ .
(20.4) Легко видеть, что при такой замене 1и одновременной замене р'"~ — т р ., очевидной из формул (20.1)) два уравнения (20.2) переходят друг в друга. Два спинора, переходящих друг в друга при инверсии, составляют четырехкомпонентную величину биспинор. Релятивистское волновое уравнение,изображаемое системой (20.2), называется дрависиисм Дирака (оно было установлено Дираком в 1928 г.). Для дальнейшего исследования и применения этого уравнения рассмотрим различные формы, в которых опо может быть представлено. С помощью формулы (18.6) переписываем уравнения (20.2) в виде (рв + рот)т1 = ш(, (ро — рсг)~ = шт1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
