IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для краткой записи введем, по аналогии с ковариантными компонентами 4-векторов, обозначение уд — — ндв у". Тогда (22.2) Если же матрицы у„и у" разделены одним или несколькими множителями у, то одной или несколькими перестановками множителей (с помощью правила (22.1)) можно привести уд и у" к соседним положениям, после чего суммирование (по р) совершается согласно (22.2).
Таким способом получаются следующие формулы: и и 2 и Л и р 1 Ли , Л, в. д. и 2уд. '„,Л у„у~ у' уд у у" = 2(у у~ у у" + уд у' у~~ ). Обычно множители у", ... фигурируют в комбинации с различными 4-векторами в виде «скалярных произведений» ') уа = уда„. (22.4) Для таких произведений формулы (22.1) принимают вид 105 1 22 Алгввга матриц диилкл Широко используемой операцией является взятие следа произведения некоторого числа матриц у. Рассмотрим величины Т " — = 4/48)з(у 7 'у ") (22лт) В силу известного свойства следа произведения матриц этот тензор симметричен по отношению к цик.лическим перестановкам ИНДЕКСОВ )44)42...
)4п. Так как матрицы у имеют одинаковый вид в произвольной системе отсчета., величины Т также не зависят от выбора системы. Поэтому они образуют тензор, выражающийся только через обладающий этим свойством метрический тензор 8р,. Но из тензора второго ранга яр, можно составить лишь тензоры четного ранга. Уже отсюда сразу следует, что след произведения любого нечетного числа множителей у равен нулю. В частности, равен нулю след каждой из у '): Яр уР = О. (22.8) След единичной четырехрядной матрицы (которая подразумевается стоящей в правой стороне перестановочного соотношения (22.1)) равен 4. Поэтому из (22.1), взяв след от обеих сторон равенства, найдем (22.9) След произведения четырех матриц Тлрир Лр ир Ли рр + Лр ри (22.10) Эту формулу можно получить, например, «протаскиваяа в Яр(ул уР уи уР) МНОжИтЕЛЬ ул НаПраВО С ПОМОЩЬЮ ПерЕСтаНОВОЧ- ного соотношения (22.1); пекле каждой перестановки возникает один из фигурирующих в (22.10) членов: ТЛРид 2 ЛРТ Р ТРЛиР 2 ЛР ид ТРЛиР и т, д, После всех перестановок справа остается ТР'Рл = — ТЛРиР, которое переносим налево.
Этим же способом вычисление следа произведения шести у сводится к следам произведений четырех множителей и т. д, Так, Тлрират ЛрТират ЛиТррат + ЛрТриат Рт + ЛтТ Ра (22 11) Отметим, что все следы ТЛР "' вещественны и что они отличны от нуля, лишь если каждая из матрип у, у, ... встречается о ') След матрицы инвариантен относительно преобразований з = ГЗП Поэтому (22.8) очевидно и из конкретных выражений матриц (21.3). 106 Фьгмионы Легко видеть, что -у'~ +7 а=О, (у')'=1, (22. 15) т.
е. матрица ув антикоммутативна со всеми у'". По отношению же к матрицам с~ и ф имеют место правила с~.ув — у~гх = О, руз+ у'",3 = 0 (22.16) (коммутативность с сг следует из того,что е = у 7 есть произведение двух матриц уи). Матрица у эрмитова; действителыю, 5-~- а-~- 2-г 1т О-~- 3 2 1 0 и поскольку последовательность 3210 сводится к последовательности 0123 четным числом перестановок, то 'у + = 'у . (22.17) Укажем также вид этой матрицы в двух конкретных пред- ставлениях: у — 1 01 спинорное у = ( О 1); ь /0 — 1~ стандартное у = ( 1 О ) . (22.18) След матрицы у~ равен нулю: Яр уэ = 0 (22.19) (это видно и прямо из (22.18)). Равны нулю также и следы произведений у' у" у~. Для произведений же у~ на четыре множителя у" имеем 1,~48р'у 'у у'"у'у" =уе "'~. (22.20) в произведении четное число раз; то и другое очевидно из полу- ченных формул. Отсюда, в свою очередь, легко сделать вывод, что след не меняется при изменении порядка всех множителей на обратный: ало-» 1- р" ил (22.12) Как уже упоминалось, множители 7 фигурируют обычно в виде скалярных произведений с различными 4-векторами.
В та- ких случаях, например, формулы (22.9) и (22.10) означают, что 1,~~Яр(ау)(бу) = аб, >У4 Бр(ау)(бу)(су)(ду) = (аб)(са) — (ас)(Ы) + (аа)(бс). (22.13) Особую роль играет произведение уе у" у~ уз. Для него приня- то специальное обозначение: 'у = ''у'у'у'у. (22.14) 1ОУ 1 23 плоскив волны Отметим еще формулу: 7туУ = "17э(7п)(7Ь)(7с), тур = е '" ирЬрср, (22.21) справедливую для взаимно перпендикулярных 4-векторов а, Ь, с; аЬ=ас=Ьс=О.
В некоторых случаях (в задачах, в которых фигурируют нерелятивистские частицы) может возникну.ть необходимость в вычислении следов произведений, в которые входят раздельно 7е и трехмерный «векторуу 7. Отличны от нуля лишь следы произведений с четным числом множителей 7е и у. При этом все множители 7" сводятся к 1, а следы произведешлй с двумя и четырьмя множителями 7 даются формулами т,У«Яр(а7)(Ь у) = — аЪ, т/4 Яр(ау)(Ь у)(с у)(«$ у) = (аЬ)(сд) — (ас)(Ь«1)+(а«1)(Ьс). й 23. Плоские волны Состояние свободной частицы с определенными значениями импульса и энергии описывается плоской волной, которую представим в виде фр = — и, е 'р".
Ууубб (23.1) Индекс р указывает значение 4-импульса; амплитуда волны ир определенным образом нормированный биспинор. При дальнейшем проведении вторичного квантования пам понадобятся, наряду с волновыми функциями (23.1), также и функпии с «отрицательной частотой», возникающие в релятивистской теории, как было объяснено в 3 111 в связи с двузна т«р бур Р .К б11у букч .шч У =б рРб, "х Р" цательная частотауу есть — е; изменив также знак р, мы получим функцию, которую естественно обозначить как ур ф р — — и рс'РК. (23.2) Ле Смысл этих функций выяснится в 2 26.
Ниже мы будем параллельно выписывать формулы для урр и ур р. Компонеяты биспинорных амплитуд ир и и „удовлетворяют системам алгебраических уравнений (ур — ш)ир — — О, (ур+ т)и р — — О, (23.3) получающимся подстановкой (23.1), (23.2) в уравнение Дирака 108 Фвгмионы гл. ш (что сводится к замене в последнем оператора р на жр) ') . Соотношение р = т яв.ляется при этом условием совместности каждой из этих систем. Мы будем всегда нормировать биспинорные амплитуды инвариантными условиями ирир — — 2т, и ри р — — — 2т (23.4) (черта над буквой обозначает, как везде, дираковское сопряжение: Б = и* уе). Умножив уравнения (23.3) слева на Бтр, получим (Бтруигр)р = 2тз = 2рз, откуда видно, что Буир=и руи р — — 2р (23.5) Отметим, что переход от формул для ир к формулам для и р производится путем изменения знака т.
4-вектор плотности тока; у = астр'уф~р = — й«р уитр — — —, р (23.6) т. е. уц = (1, тт), где и = рУе - скорость частицы. Отсюда видно, что функции ф„нормированы «на одну частицу в объеме И = 1а. В силу уравнений (23.3) компоненты амплитуды волны связа- ны друг с другом некоторыми соотношениями, конкретный вид которых зависит, конечно, от выбора представления 1р. Найдем их для стандартного представления. Из уравнений (21.19) имеем для плоской волны (е — т)р — роз~ = 0, (е+ т)у, — рсг~р = О.
(23.7) Из этих равенств находим соотношение между 9т и т в двух эк- вивалентных видах: (23.8) (эквивалентпость этих формул очевидна: умножая первую из них слева на роу(е+ т) и учитывая, что (ро) = р и е — те = рз, получаем вторую). Общий же множитель в ~р и;г выбираем таким образом, чтобы удовлетворить условию нормировки (23.4). В результате получим для ир (и аналогично для и р) следующие выражения: ( 23 9) тук — т(по)ю ( ' " ~, тук+ т ш ) Отметим также аиалогичиые системы, получающиеся из уравнения Дирака (21.9) лля комплексио-гопряжеииой функции, Б„(ур — гл) = О, о, г(тр-р ел) = О. (23.3а) 100 1 23 плоскин волны (вторая формула получается из первой изменением знака перед тп и переобозначением ю — ~ (пег)иг'). Здесь п - орт вектора р, а ю произвольная двухкомпонентная величина, удовлетворяющая лишь условию нормировки ю'ю = 1.
(23.10) 1нсг) юРΠ— ЛюРО 2 Явный вид этих спипоров: (23.13) /е — иРУ2 со д Х /,— гтУ2 0Х еп'72 в1п й ) ~ е'"У2 сов й ) 2 2 1 ) В спинорном жс представлении имеем С = — Н вместо соотнопгения С = и, справедливого в системе покоя для регпений с «положительнымн частотами». Для й = и' уо ( уо из (21.20)) имеем ир — — 1~/е + т ю*, — т/а — гп ю*1пст) ), (23.11) и р — — (тlа: т юм(нег), — хуе + т юм) и перемножением убеждаемся, что действительно и ьри ь = ~2гп.
В системе покоя, т. е. при е = т, имеем 2 (~ ),,= '2 („, ), (23.1с т. е, ю представляет собой тот З-спинор, к которому сводятся в нерелятивистском пределе амплитуды каждой из волн. Отметим, что в биспиноре и „обращаются в нуль в системе покоя первые, а не вторые две компоненты. Это свойство решений уравнения Дирака с «отрицательными частотами» очевидно: положив в (23.7) р = 0 и заменив е на — т, получим р = 0 ') . Амплитуда плоской волны содержит одну произвольную двух- компонентную величину. Другими словами, при заданном импульсе существует два различных независимых состояния в соответствии с двумя возможными значенияхпл проекции спина. При этом, однако, проекция спина на произвольную ось я не может иметь определенного значения.
Это видно из того, что гамильтониан частицы с определенным р (т. е. матрица Н = сер+ рт) не коммутативен с матрицей Е, = — гстястю В соответствии со сделанными в 2 1б общими утверждениями сохраняется, однако, спиральность Л вЂ” проекция спина на направление р: гамильтониан коммутативен с матрицей пЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
