IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 25
Текст из файла (страница 25)
129 1 28 БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц 1, у', у", 1 у" у', ит"' (28.8) (1 единичная матрица). Перенумеровав эти 16 (= 1+ 1+ 4+ + 4+ 6) матриц в какой-либо определенной последовательности, обозначим их посредством уА (А = 1,...,16), а те же матрицы с опущенными 4-тензорными индексами (р,м) посредством уА.
Они обладают следующими свойствами: 8р'у = 6 1'у т'- 1), у 'у = 1 Вр'у 'у = бй 128.Й) В силу последнего из этих свойств матрицы ул линейно независимы. Поскольку же их число равно чиш1у (4 4) элементов четырехрядной матрицы, матрицы у' составляют полну1о систему, по которой может быть разложена произвольная четырехрядная матрица Г: 1' = 2 сл-1, с,1 = — Яр-~ 41', (28.10) А или в раскрытом виде с матричными индексами (г, и = 1, 2, 3, 4): 11ь = 7 Г1т"~т1 1А1ь ° 'А Предположив, в частности, что матрица Г содержит всего один отличный от нуля элемент (Г1 ), получим искомое соотношение (вусловие полнотыа) Й11окт = — ~~ 'УАчк'Ут1.
(28.11) А Умножая это равенство с обеих сторон на узе фьузтф1, имеем — а 1,— с (Р АЫ А =-ЯЯ уААЫ ~~фФ) (2812) А Это одно из равенств указанного выше типа: оно сводит произведение двух скалярных билинейных форм к произведениям форм, составленных из других пар множителей ') . Другие равенства этого типа можно получить из (28.12), заменяя ф" — у"ф", ф' - 'у'ч8' ') Напомним во избежание недоразумений, зто здесь имеются в виду формы, составленные из ф-функций.
Для форм, составленных из антикоммутиру|овдих тноператоров, знак преобразования был бы обратным. 5 Л. Д. Ландау в Н.М. Лиф1яяц, том 1 1' 13О Фвгмионы ггь и! и пользуясь разложением (см. задачу) А и % ~ и 1 А и у у = т сну, св = — Яр'у у "ув.
н Укажем здесь для дальнейших ссылок также и аналогичное (28.11) соотношение для двухрядных матриц. Полную систему линейно независимых двухрядных матриц сс' (А = 1,...,4) составляют (28.13) Для них БрпА = 0 (сгА ~ 1), 1 А В 2 — 8рст сг = бАВ (28.14) Условие полноты: до.,блб = (1/2) ~ пдвпзч — — (1(2)сх Встз + (1(2)б Вбз.„(28.15) (ст, 13, = 1, 2) или иначе: о'ссбстз, = — (1сс2)сг„зстзд + (З,с)2б бзв.
(28.16) — 2Ут 8 29. Поляризационная матрица плотности Координатная зависимость волновой функции сд, описывающей свободное движение с импульсом р (плоская волна), сводится к общему множителю е'"", а амплитуда и„играет роль спинозой волновой функции. В таком (чистом) состоянии частица полностью поляризована (см. П1! 8 59). В нерелятивистской теории Задача Вывести формулы, аналогичные (28.12), для скалярных произведений двух билинейных форм Р, Р, А, Т. Р е ш е н и е. Обозначим: У = ГР"~Ю.Ф), У = ГММр'.<Ю), У! = (с)! т! сб ) (Х! уяй! ),,УА = (с)! гу~ у' ф ) Я ! у, чей! ), ,ут = '1еу ! "'~!~ НГссп.йг ) а теми же буквами со штрихом — такие же произведения с переставленными !г~ и сг~.
Указшпсык! в тексте способом получим '1 Уз = Уз -!. У + Ут + УА + Ус, 4*У! = 41з — 2У! + 2,УА — 4,УР, 4У!' = 6.Уз + б,ур, 4,У,! = 4,Уз + 2Л вЂ” 2УА — 4УР, 4Ур —— ,Уз — .Ук + Лт —,Ул + Лг (первая строка — по формуле (28.12)). 1 29 ПОЛЯРИЗАЦИОИИАИ МАГРИЦА ПЛО'ГИОСТИ это Озна 1ает, что спин частицы имеет Определенное направление в пространстве (точнее, существует такое направление, вдоль которого проекция спина имеет определенное значение + 1Я. В релятивистской теории такая характеристика состояния в произвольной системе отсчета невозможна ввиду (отмеченного уже в 3 23) несохранения вектора спина.
Чистота состояния означает лишь, что спин имеет опреде.ленное направление в системе покоя частицы. В состоянии частичной поляризации не существует определенной амплитуды, а лишь поля1лтац11оииая А1игнрицп плотно- СГПИ р11 (г, й = 1, 2, 3, 4 биспинорные индексы). Определим эту матрицу таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведениям (29.1) р19 = ир1йры Соответственно этому матрица р нормируется ус юанем Врр = 2т (29.2) (ср.
(23.4)). В чистом состоянии среднее значение спина определяется величиной (29.3) я = — ф*19ф ГГ х = — и'Хит — — — ир у 19ир. 21 4Г" 41 Соответствующее выражение для состояния частичной поляри- зации: я = — Вр (ру'Е) = — Бр (р"Р у) (29.4) 4Г 4Г Амплитуды ир, 11р удовлетворяют системам ш1гебраических уравнений (.ур — т)ПР— — О, 'иг( ур — ти) = О.
Поэтому матрица (29.1) удовлетворяет уравнениям '1 ~р — т)р = О, р1 ~р — Гп) = О. (29.5) Таким же линейным уравнениям должна подчиняться матрица плотности и в общем случае смешанного (по спину) состояния (ср. аналогичный вывод в 111, 3 14). Если рассматривать свободную частицу в ее системе покоя, то к ней применима нерелятивистская теория. Но в этой теории состояние частичной поляризации полностью определяется тремя параметрами . -компонентами вектора среднего значения спина я (см. П1, 3 59).
Ясно поэтому, что те же параметры будут определять поляризациопное состояние и после любого преобразования Лоренца, т. е. для движущейся частицы. 132 гл. ш Фегмионы Обозначим удвоенное среднее значение вектора спина в системс покоя через 7, (в чистом состоянии ~~~ = 1, в смешанном )~! ( 1). Для четырехмерного описания поляризационного состояния удобно ввести 4-вектор а", совпадающий в системе покоя с трехмерным вектором 7,;поскольку 7, аксиальный вектор, то а" 4-псевдовектор. Этот 4-вектор ортогонален 4-импульсу в системе покоя (где аи = 10,7,)7 ри = 1т,О)), а потому и в произвольной системе отсчета а,"рд — — О. (29.6) В произвольной системе отсчета будет также и арал = — 7, . (29.7) Компоненты 4-вектора а" в системе отсчета, в которой частица движется со скоростью зг = р/е, находятся путем преобразования Лоренца из системы покоя и равны а = — ~~, ат = ~~с, ао = — ~~р о Иэ~ (29.8) П1 т где индексы О и ) означают компоненты векторов 7, и а, парал- лельные и перпендикулярные направлению р ') .
Эти формулы можно записать в векторном виде: а = 7" + рСЬр) аО а рэ а2 = 7'2+ Срч) . 1299) тСе-Рт) е т то Рассмотрим сначала неполяризованное состояние (7, = 0). Матрица плотности в этом случае может содергкать в качестве параметров лишь 4-импульс р. Единственный вид такой матрицы, удовлетворяющей уравнениям (29.5), есть 1 Р = -1УР+ т) 2 (29.10) (И. Е. Уамм, 1930, Н. В. С. Саезтгг7 1933). Постоянный коэффициент выбран в соответствии с нормировочным условием (29.2).
) По своим трансформационным свойствам компоненты среднего вектора спина й Скак и всякого момента) являются в релятивистской механике пространственными компонентами антисимметричного тензора о~12 4-вектор и связан с этим тензором посредством соотношений 27П 7П Подчеркнем,что в произвольной системо отсчега пространственная часть а 4-вектора о~ отнкгдь не совпадает с вектором 2 й.
Легко видеть,что о е е 277 = — (о~~с — а (р!) = ~~п 2вт = — ат = — С 7П 7П 7П 1 29 поляеизяционняя мятеиця плотности В общем случае частичной поляризации (с, ф О) ищем матрицу плотности в виде р = — (ур+ т)р ( ур+ т), (29.11) 4гл автоматически удовлетворяющем уравнениям (29.5).
При с," ф- 0 вспомогательная матрица р' должна обращаться в единичную; поскольку (ур+ т) = 2т( ур+ т), то (29.11) совпадет с выражением (29.10). Далее, она должна содержать 4-вектор а линейным образом в качестве параметра, т. е. иметь вид р' = 1 — Ау (уа); (29.12) во втором члене фисурирует скалярное произведение пссвдовектора а и сматричного 4-псевдовектора» у у. Для определения коэффициента А напишем матрицу плотности в системе покоя: »н(1+ 0)(1+ 1 5 ~)(1+ О) ссс(1+ 0)(1+ 1 5 ~) и вычислим, согласно (29.4), среднее значение спина. Воспользовавшись перечисленными в 2 22 правилами, легко найдем, что единственный отличный от нуля член в искомом следе 2 я = — Вр (ру'у) = — — Вр И у1)у) = А1 2п» 4 Приравняв это выражение с„получим А = 1.
Окончательное выражение для р найдем, подставив (29.12) в (29.11) и переставив множители р' и (ур+ т); в силу ортогональности а и р произведение .ур аптикоммутативпо с уа: ( уо)( ур) = 2ар — ( ур)( уа) = — ( ур)( уа), а потому коммутативно с у5( уа). Таким обраюм, .матрица плотности частично поляризованного электрона дается выражением р = — ( ур + т) [1 — уз ( уа)) 2 (29.13) (Л. МгсЬе1, А. Я. Ьгуйгтап, 1955). Если матрица р известна, то характеризующий состояние 4-вектор а (а с ним и вектор с,) можно найти по формуле ап = — яр (ру у").
(29.14) 2т Формулы для матрицы плотности позитрона аналогичны формулам для электрона. Если бы мы описывали позитрон (с 134 Гл. гп Фнпмионы 4-импульсом р) позитронпой амплитудой ир ' и определенной (поз) в соответствии с такой амплитудой матрицей плотности Ргпоз), то никакого отличия от случая электрона вообще не было бы и матрица р~""~ давалась бы той же формулой (29.13). Однако при фактических вычислениях сечений процессов рассеяния с участием позитронов приходится иметь дело (как мы увидим (ггоз) в дальнейшем) не с ир ., а с амплитудами «отрицательной частотыз и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
