IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Но такая форма уу, вообще говоря, нарушится при переходе к другому (не спинорному) представлению. Это затруднение можно обойти, заметив, что в спинорпом представлении имеем тождественно гР у' (~) (0) ( . где ~ произвольный «балластный» спинор, выпадающий из ответа (матрица ув из (22.18)). Поэтому условие истинной «двухкомпонентности» нейтрино будет соблюдено при описании его четырехкомпонентным уУ в любом представлении, если понимать под «у решение уравнения Дирака с т = 0: ('ур)4~ = О, (30.14) подчиненное дополнительному условию «««2(1+ у )уУ = ф, или «"Ф= 4 (30.15) Это условие можно учесть, уснювившись производить во всех формулах, куда входят уу и ф, следующую замену: 2 2 (30.16) Так, 4-вектор плотности тока запишется в виде (замена (30.16) в выражении ууу" уу) у'" = -~(1 — -«')у'(1+ ув)~ = -~у«"(1+ ув)~.
(30.17) В соответствии с этим же правилом четырехрядная матрица плотности нейтрино должна быть записала как р = -(1+ ув)(ур)(1 — ув) = -(1+ -«')('ур) (30 18) В спинорном представлении она сводится, как и должно быть, к двухрядной матрице (30.13) "' (е — игр 0) ' 14О ГЛ. Н1 Феемионы Аналогичные формулы для антинейтрино отличаются от написанных изменением знака перед у~. Нейтрино электрически нейтральная частица. Нейтрино с описанными выше свойствами не является, однако, истинно нейтральной частицей. Отметим в этой связи, что «нейтринное поле», описываемое двухкомпонентным спинором, по числу возможных для него состояний частиц (по, разумеется, не по другим своим физическим свойствам) эквивалентно истинно нейтральному полю, описываемому четырехкомпонентным биспинором.
Вместо состояний частиц и античастиц с определенными спиральностями здесь имелось бы столько же состояний одной частицы с двумя возможными значениями спиральности и автоматически соблюдалась бы симметрия по отношению к инверсии. Отметим, однако, что равенство нулю массы «четырехкомпонентного» нейтрино имело бы, так сказать, «случайный» характер, поскольку оно не было бы связано со свойствами симметрии описывающего его волнового уравнения (допускающего также и отличную от нуля массу).
Поэтому учет различных взаимодействии такой частицы автоматически привел бы к появлению хотя и малой, но все же не равной строго нулю массы покоя. й 31. Волновое уравнение для частицы со спином ~~а Частица со спином з,~з описывается в своей системе покоя симметричным 3-спинором третьего ранга (с 2в+ 1 = 4 независимыми компонентами). Соответственно в произвольной системе отсчета в ее описании могут участвовать 4-спиноры бФрл, 4ад и , каждый из которых симметричен по всем одинаковым (пунктирным или непунктирным) индексам; при инверсии спиноры в первой и во второй паре переходят друг в друга. Для того чтобы в системе покоя 4-спиноры (~да и 11 и переходили в З-спиноры, симметричные по всем трем индексам, они должны удовлетворять условиям р"ц,,=Ю, р.з~'"Р =б.
(31.1) Действительно, в системе покоя р л -» робд = п»6~ (как это видно из (20.1)). Поэтому условия (31.1) приводят к равенствам д" 11'"з —— О, бд~' д — — О, где буквы со штрихом обозначают соответствующие 3-спиноры; другими словами, эти спипоры дают нуль при упрощении по ин- ВОлнОВОе уРАВнение для частицы ОО спинОм мл 141 1зл дексам ОЛл, а это и означает, что опи симметричны по этим индексам, а потому и по всем трем индексалл. Дифференциальная связь между спинорами С и г) устанавливается соотношениями рлтбд' = тл), л~ лл ~дл (31.2) Симметричность левых сторон этих уравнений (по индексам )з, ф или о, б) обеспечивается условиями (31.1), в силу которых они обращаются в нуль при упрощении по всем индексам.
В системе покоя 3-спиноры ~' и П в силу уравнений (31.2) совпадают. Исключив из уравнений (31.2) г) или Сл найделл, что каждая ллз компонент спиноров С и г) удовлетворяет уравнению второго по- рядка (ра — та)(аот 9 (31.3) Совокупность уравнений (31.1), (31.2) составляет полную систему волновых уравнений для частицы со спином З,а ') . Добавление спиноров ~, у не привело бы ни к чему новому. Они стролггся согласно Уравнения частиц со спипом з/з могут быть сформулированы также и в ином виде, в котором используются векторные аспекты свойств сшлноров (И'.
Яаг»1а, Х ЯЕЬ»олпдег, 1941; А. С. Давыдов, И. Е. Тамм, 1942). Паре спинорных индексов е«Лз сопоставляется один четырехмерный векторный индекс р. Поэтохлу компонентам спинора третьего ранга Со~у можно привести в соответствие компоненты «смешанных» величин л)лй с одним векторным и одним спинорным индексом. Аналогично, спинору г)Лат ставятся в соответствие величины лрю а совокупности обоих спиноров т «векторный» биспинор ули (биспинорный индекс не выписываем).
Волновое уравнение запишется тогда в виде «уравнсния Дирака» для каждой из векторных компонент л)ли. (-у — лтл)4„= 0 (31.4) ') О лагранжевой формулировке этих уравнений см. указанную на с. 76 статью ФирчЛ« и Паули. с дополнительным условием у ~и =9. (31.5) Используя выражения для матриц уи в спинорном представлении и формулы связи между компонентами спинора и вектора 142 гл.
ш Фвгмионы (18.6), (18.7), легко убедиться в том, что уравнения (31.2) содержатся в (31.4),. а условие (31.5) эквивалентно условию симметричности спиноров ~~ай и «1а~т по индексам ~37 или р7. Умножив уравнение (31.4) на у", получим ввиду (31.5) 7Р7Р ФР=О или, воспользовавшись правилами коммутации матриц 7", 28 р,фл — 7'р 7лфи = О. (31.6) Второй член снова обращается в нуль в силу (31.5), а первый дает р ~„=О. (31.7) Легко видеть, что это условие, автоматически следующее из (31А), (31.5), эквивалентно условиям (31.1). Наконец, .еще один способ формулировки волнового уравнения состоит во введении величин ф,ы (1, й, 1 = 1, 2, 3, 4) с тремя биспинорными индексами, по которым 4,ы симметричны (Г Вагугпапп, Е. Р.
Кьупег, 1948). Совокупность этих величин эквивалентна совокупности компонент всех четырех спиноров С, ц, ~, т. Волновое уравнение записывается в виде системы «уравненггй Дирака» Рл7;, Ф и = гпФ2ы. (31.8) Легко видеть, что эти уравнения уже приводят к нужному числу (четыре) независимых компонент ф,ы, и постановка дополнительных условий нс требуется. Действительно, в системе покоя (31.8) сводятся к равенствам о 7; г' ы=«йы в силу которых обращаются в нуль (в стандартном представ.ленин) все компоненты с г, Й, 1 = 3, 4, т. е.
ф,ы сводятся к компонентам 3-спинора третьего ранга. Изложенные результаты очевидным образом обобщаются для частиц с любым полуцелым спином в. При описании уравнениями вида (31А), (31.5) волновая функция будет симметричным 4-тензором ранга (2в — 1)/2 с одним биспинорным индексом. При описании же уравнениями вида (31.8) волновая функция будет иметь 2в биспинорных индексов, по которым она симметрична. х1АСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ й 32. эгравнение дирака для электрона во внешнем поле Волновые уравнения свободных частиц по существу выра>кают собой лишь те свойства, которые связаны с общими требованиями пространственно-временной симметрии. Происходящие же с частицами физические процессы зависят от свойств их взаимодействий. Описание электромагнитных взаимодействий частиц в релятивистской квантовой теории оказывается возможным путем обобщения способа, применяемого для этой цели в классической и нерслятивистской квантовой теориях.
Этот метод, однако, применим для описания электромагнитных взаимодействий лишь частиц, не способных к сильным взаимодействиям. Сюда относятся электроны (и позитроны) и, таким образом, для существующей теории оказывается доступной вся огромная область квантовой электродинамики электронов. Не способны к сильным взаимодействиям также и нестабильные частицы мюовы; опи описываются той же квантовой электро- динамикой в области явлений., происходящих за времена, малые по сравнению с продолжительностью их жизни (связанной со слабыми взаимодействиями). В этой главе мы рассмотрим круг задач квантовой электродинамики, ограниченный рамками теории одной частицы. Это задачи, в которых число частиц пе меняется, а взаимодействие может быть введено при помощи понятия внешнего электромагнитного поля. Помимо условий, позволяющих рассматривать внешнее поле как заданное, пределы применимости такой теории ограничены также условиями, связанными с так называемыми радиационнылпл поправками.
Волновое уравнение электрона в заданном внепшем поле можно получйгь так же, как это делается в нерелятивистской теории (см. П1, ~ 111). Пусть Ал = (Ф, А) 4-потенциал внешнего электромагнитного поля (А -- векторный, Ф -- скалярный потенциалы). Мы получим искомое уравнение, заменив в уравнении Дирака оператор 4-импульса р разностью р — ел, где е члатицл во внвшнвм полк Гл. »~ заряд частицы '): [у(р — еА) — т]ф = О.
(32.1) Соответствующий этому уравнению гамильтониан получается путем такой же замены из (21.13); Й = сг(р — еА) + [от+ еф. (32.2) Инвариантность уравнения Дирака при калибровочном преобразовании потенциалов электромагнитного поля выражается в том, что его вид остается неизменным, если одновременно с преобразованием А — э А+ зрт (где т произвольная функция) преобразовать волновую функцию согласно ') 1 1»)эе"х (32.3) (ср. аналогичное преобразование для уравнения Шредингера в т.
Ш, 3 111). Плотность тока, выраженная через волновую функцию, дается той же формулой (21.11) у = ф уф, что и в отсутствие внешнего поля. Легко видеть, что при повторении с уравнением (32.1) (и написанным ниже уравнением (32.4)) тех же выкладок, которые были произведены при выводе (21.11), внешнее поле выпадает, и уравнение непрерывности оказывается справедливым для прежнего выражения тока. Произведем над уравнением (32.1) операцию зарядового сопряжения. Для этого пишем уравнение ф[у(р + еА) + т] = О, (32.4) которое получается комплексным сопряжением из (32.1) так же, как было получено в свое время уравнение (21.9) (при этом надо помнить,что 4-вектор А веществен).
Переписав это уравнение в виде [у(р + еА) + т]у) = О, умножив его слева на матрицу с1С и воспользовавшись соотношениями (26.3), найдем [у(р+ еА) — т](С»р) = О. (32 5) Таким образом, зарядово-сопряженная волновая функция удовлетворяет уравнению, отличающемуся от исходного измене- 1 ) Подразумевается заряд вместе со своим знаком, так что для электрона е = — [е[. ) Преобразование (32.3) с функцией Х(й г) иногда называют ялокальным калибровочным преобразованием» в отличие от «глобального калибровочного преобразования» (123 0) с постоянной фазой сс УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЬ 145 1 за (Рд — ЕАВКРи — еАи) — Э вЂ” ЯРИ вЂ” ЕАИ) (Ри — ЕАи))- = — Е( — АИРР + Р Ан — Р,АР + АРРР) = 2 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
