IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В этом смысле можно сказать, что и связь спина со статистикой, которой подчиняются частицы, тоже является прямым следствием этих требований. Из того факта, что частицы со спином»,1г являются фермионами, следует также общее утверждение; все частицы с полуцелым олином являются фермионами, а частицы с целым спином .. бозонами (в том числе доказанное в 9 11 утверждение для частицы со спином О) ') .
Это становится очевидным, если заметить, что частицу со спипом л можно представить себе «составлепнойэ из 2з частиц со спином ~/з. При полу целом з число 2з нечетно, а при целом з четно. Между тем «сложная» частица, содержащая четное число фермиопов, является бозоном, а содержащая нечетное число фермионов фер«иионом а) . Если система состоит из частиц разного рода, то для каждого рода частиц должны быть введены свои операторы рождения и уничтожения. При этом операторы, относящиеся к различным бозонам или же к бозонам и фермионам, коммутируют друг с другом, т1то жс касается операторов, относящихся к различным фермиоцам, то в пределах нерелятивистской теории их можно было считать либо коммутирующими, либо антикоммутирующими (П1, 9 65).
В релятивистской же теории, допускающей взаимные превращения частиц, следует считать операторы рождения и уничтожения различных фермионов антикоммутирующими, так 1 ) Происхождение связи лгежду спином частицы и статистикой, которой она подчиняется, было выяснено Паули ( И'. Роий, 1940). ) В этих рассуждениях подразумевается, что все частицы с одинаковым свином должны подчиняться одной статистике (вне зависимости от способа их «составления»). Что это действительно так, видно из аналогичных расгуждений. Так, если бы существовали фермионы со спицолг О, то из фермиона со спином 0 и фермиона со спином ',~~ можно было бы составить частицу со спином '/е, которая была бы бозоном -- в противоречии с общим доказанным для спина ч7» резулыатом. 118 гл. гп Фвгмионы же как и операторы, относящиеся к различным состояниям од- них и тех жс фермионов.
Задача Найти лагранжиан спинорного поля. Р е ш е н и е. Функция Лагранжа, отвечающая уравнению Дирака, дается вещественным скалярным выражением б = — (ф.теО„ЭУ вЂ” Оезб т'ЬУ) — Ечр (1) 2 Понимая под «обобщенными координатами» о компоненты й и ф, легко убедиться в том, что соответствующие уравнения Лагранжа (10.10) совпадают с уравнениями Дирака для т и рс Общий знак лагранжиана (как и общий коэффипиент в нем) в данном случае условен. Поскольку Ь содержит производные от т и о линейно, действие 5 = 1 А и х все равно не может иметь ни минимума, ни максимума.
Условие е5 = 0 определяет в этом случае лишь стационарную точку, но не экстремум интеграла Лагранжиан спинорного поля получается заменой в (1) О оператором уь Применив к этому лагранжиану формулу (12.12), получим оператор тока (25.7). 8 26. Зарядовое сопряжение и обращение спиноров по времени Множители Ч), = ир е '"'", стоящие в (25.1) при операторах аро, представляют собой волновые функции свободных частиц (будем говорить «электроновэ) с импульсами р и поляризациями и: з)зря три. (э) Множители же г)у „при операторах бр надо рассматривать как волновые функции позитронов с теми же р, о. При этом, однако., окажется, что электронные и позитронные функции выражены в различных биспинорных представлениях.
Это ясно из того, что г)У и у1 различны по своим трансформационным свойствам и их компоненты удовлетворяют различным системам уравнений. Для устранения этого недостатка надо произвести определенное унитарное преобразование комгюнент у) „такое, чтобы новая четырехкогнпонентпая функция удовлетворяла тому же уравнению, что и г))ро ') . Именно такую функцию мы и будем называть волновой функцией гюзитрона (с импульсом р и поляризацией и). Обозначив матрицу требуемого унитарного ') Для частиц со олином 0 этот вопрос вообще не возникал, так как скалярные функции ф и а* удовлетворяют одному.
и тому >ко уравнению, и уС„ просто совпадает с Ер. 1 26 ЗАРядовов сопР5!жение преобразования уус, напишем Фр = СФ вЂ” р— (и) 17 (26. Ц (26.2) Сф(1,г) = уусф(2,г), преобразующаяся, как ч2, и удовлетворяющая тому же уравнению. Свойства матрицы 77с следуют из этого определения. Если ф — решение уравнения Дирака ( ур — т))2 = О,. то ВУ удовлетворяет уравнению Ц-р + т) = О, или ( ур+ тпрр = О. Умножив это уравнение слева на Гс. У-УСубФ+ тпс2сФ = О потребуем., чтобы функция 17Я удовлетворяла тому же уравнению, что и уу: ( ур — пт)77сф = О.
Сравнив оба уравнения, найдем следующее «соотношение коммутации» между «ус и матрицами уд '): ос'у~ = — 'у~Ос. (26.3) Будем предполагать далее, что волновыс функции заданы в спинорном или стандартном представлении (к общему случаю произвольного представления мы вернемся лишь в конце этого параграфа). В этих представлениях 0,2 -0,2 ьэ — ОЗ (26.4) Тогда условиям (26.3) удовлетворяет матрица 77с = йс у2 уе с произвольной постоянной »ус. Из требования С2 = 1 следует, что ~йс ~2 = 1, так что матрица Гс определена с точностью до ) Отметим также <ледуюгдее отсюда равенство: ууо'у' = 'у Гс. (2б.за) Операция С, с помощью которой эта функция образуется из ф р ., называется зарядовым сопряжением волновой функции (Н.
А. Кгатеге, 1937). Это понятие не ограничено, конечно, его применением к плоским волнам. Для всякой вообще функции ф существует «зарядово-сопряженпая» функция 120 гл. ш Фнгмионы фазового множителя. В дальнейшем мы выберем 0<; = 1, так что ~с=77 = — оу в о (26.5) В явном виде преобразование (26.6) для спинорного представле- ния С: ~ — + — йУ*, 0.— э — гб*,, (26.7а) или, что то же, С: б„— + -гц„', ца -+ -гб ".
(26.7б) Преобразование зарядового сопряжения для плоских волн ф~р легко произвести, воспользовавшись их явными выражениями (23.9) и матрицей Гс* в стандартном представлении; (26.8) Заметив, что о.во* = — оп.р, при определении ш~")' согласно (23.16) получим (26.9) Й1сй р —— ир, Ь'си р — — йр . Таким образом,. СФ „.=Ф„., (26.10) так что функции ф р фигурирующие в ф-операторах (25.1) вместе с операторами бри, действительно отвечают состояниям частицы с импульсом р и поляризацией о. Мы видим также что электронные и позитронные состояния описываются одними и теми же функциями: Ф„'. =Ф„".
=Ф~' 60 00 Это вполне естественно, так как функции фр несут в себе сведения лишь об импульсе и поляризации частицы. Аналоги шым образом можно рассмотреть операцию обращения времени. Изменение знака времени должно сопровождаться комплексным сопряжением волновой функции. Для того чтобы получить в результате «обращенную по времени» волновую функцию (Ту') в том же представлении, что и исходная ф, надо Заметив также, что ф = ф*у~ = у~ф* = у~ф', можно записать действие оператора С в следующем виде; сю= '-Л= 'а* (26.6) 121 1 26 ЗАР5СДОВОЕ ООПРЯ5КЕНИЕ Гт=гу у у. (26.13) Таким образом, действие оператора Т дается формулой ТФ(1, ) = ' 3 1 ОФ( — 1, ) = 5 3 1Ф" ( — 1, ).
(26.14) В явном виде это преобразование для спинорного представления г) — > гг) * Т: ~~ -+ — Ц'5 или Т: (о — «сг *, В стандартном представлении (26.15а) (26.15б) с5т = (Ое „) (26.16) ') Выбор фазового множителя в (26.13) связан с выбором в (26.6) соображениями, указанными ниже, в примеч. на с. 124. егце произвести пад компонентами 5)5* (или 5)5) некоторое унитарное преобразование. Таким образом, аналогично (26.2) представим действие оператора Т на 5)5 в виде ТЯ15г) = Ют4( — 1,г), (26.11) где 1)т — унитарная матрица. Снова пишем уравнение Дирака, которому удовлетворяет 5)5: ( гу — + гауз — т) 1)5(1,г) = О, од дс и уравнение для уз: (гу — + 4 у'Чс + т) 5)5(1, г) = О. Заменим в гсоследнсм уравнении 8 — + — 1 и умножим его слева на ( Г тат у — — 41)т утсес) 5)5( — 1, г) — т1)тс)5( — й г) = О. -о д дс Мы хотим, чтобы функция 1)тс)5( — 1,г) удовлетворяла тому же уравнению, что и с)5(г, г); ( ) 1'у — + г'у Ат) 1)тз)5( — 1, г) — тЮтс)5( — 1, г) = О.
од дс Сравнив оба уравнения, найдем, что матрица с5т должна удовлетворять условиям УУт'у = у 1Ут, 1Ут'у = — 'у~1т. (26.12) В спинорном и стандартном представлениях этим условиям удовлетворяет матрица ') 122 гл. ш Фвемионы Найдем результат воздействия на ф всех трех операций Р, Т и С. Для этого пишем последовательно: Тф(у,,г) = — ту у' ф*( — гог), РТф(2, г) = 1 у (Тф) = 'у 'у ')' ф ( — 2, — Г), СРТь)~(1, г) = у~( у~ у1 у~ф*)" = уьучу~'"у~ф( — 1, — г), или СРТЯ1,г) = гу~Ч)( — 2, — г).
(26.17) В спинорном представлении СРТ: (~ -+ — Ц~, 7)о — э муо, (26.18) в чем легко убедиться и прямо из правил преобразований (20.4), (26.7), (26.15) ') . Написанные вьппе выражения для матриц Гс и сут предполагали спинорное или стандартное представление ф. Выясним, наконец, какие из свойств этих выражений сохраняются для произвольного представления ф. Если ф подвергается унитарному преобразованию: Ф = У-УФ 'у = С"уУУ, ~ = ~ 'у = э)Г~= 417 ~, (26.19) 3 ) Запись СРТ предполагает действие операторов в порядке справа налево. Общий знак в (26.17), (26.18) зависит от этого порядка ввнду некоммутативности Т с С и Р (в их действии на 6испинор). то в новом представлении (С~)' = УЛСР) = ЛУС~ = ии, ЯУУ) = СССО7.
Сравнивая с определением матрицы 57~~7 в новом представлении (1Сф)' = сЯ ), находим сус = уууус177. (26.20) Преобразование (26.20) совпадает с преобразованием матриц у лишь для вещественных су. Поэтому и выражение (26.5) справедливо лишь в представлениях, получающихся из спинорного или стандартного вещественным преобразованием. Матрица (26.5) унитарна, а транспонирование меняет се знак: УУСсуС = 1; 17С = — СУС (26.21) Эти свойства инвариантны относительно преобразования (26.20), а следовательно, имеют место в любом представлении. Матрица (26.5) также и эрмитова (сУс = ГУс), ио это свойство в общем случае нарушается преобразованием (26.20).
123 1 27 ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ Все сказанное (в том числе (26.21)) относится и к свойствам матрицы 1ут В аппарате вторичного квантования преобразования С, Р, Т для ф-операторов должны быть сформулированы как правила преобразований операторов рождения и уничтожения частиц. Эти правила можно установить (подобно тому, как это было сделано в 3 13 для частиц со спипом О), исходя из требования, чтобы преобразованные 7)!-операторы могли быть представлены в виде ф (г,г) = б7г7ф(1,г)! ф (г!г) = гу ф(1, — г), (26.22) !д (г,г) = Гт!д( — 1,г).
Задача Найти оператор зарядового сопряжение в представлении Майораны (см. задачу 2, з 21), Р е ш е и и е. Матрица Н в представлении Меиораны получается из матрицы Нс = — о„в стандартном представлении преобразованием (2б.20) с Г = (о„+Д!!У72 и равна Гс, = од (о„и,й обозначают матрицы стандартного представления). Обозначая штрихом величины в представлении Майораны, имеем С6' = Гс1!Г'*д'), и ооскол! ку д' = с!„, то С!н = оубд*оэ) = орое!)~" = !! *, т, е. зарядовое сопряжение эквивалентно комплексному сопряжению. 3 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
