IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Каждое неприводимое представление задается парой чисел (Й, 1). Поскольку каждый спинорный индекс пробегает два значения, имеется к+1 существенно различных наборов чисел о1а2 ... ал в (17.10) (содержащих О. 1, 2,..., й единиц и й, 7' — 1, ..., 0 двоек) и 1+1 наборов чисел 121122 ... 181. Всего, следовательно, симметричный спинор ранга (й, 1) имеет 1л:+1)11+1) независимых компонент: это и есть разл1ерность осуществляемого им неприводимого представления. 8 18. Связь спипоров с 4-векторами Спинор 1',"Д с одним пунктирным и одним непунктирным индексами имеет 2.2 = 4 независимые компоненты "- как раз столько, сколько компонент имеет 4-вектор.
Ясно поэтому, что тот и другой реализуют одно и то же неприводимое представление собственной группы Лоренца, и между их компонентами должно иметься определенное соответствие. Для установления этого соответствия обратимся прежде всего к аналогичному соответствию в трехмерном случае, учитывая, что по отношению к чисто пространственным вращениям поведение 3- и 4-спиноров должно быть одинаковым. Для трехмерного спинора уу"~ имеют место формулы соответствия (см.
П1, 8 57), которые мы запишем здесь в виде а, = — 11Р— у1 ) = — 1у121 + 1д 2), а = — — (ф +1Д ) = — (ф~ — 1Р1). 2 2 1 (~12 + ),21) ( ),1,у2 ) где и, аю а, -компоненты некоторого трехмерного вектора а. Переходя к четырехмерному случаю, надо заменить компоненты 1Р а на 1', Р, а поД и, аеы и,, понимать контРаваРиантные компоненты а', а2, а11 4-вектора. Что же касается выражения для четвертой компоненты вектора,.
а ., то его вид заранее ясен из 87 1 18 св5!Зь спиноРОВ с 4-Ввк'Гогами отмеченного в 2 17 обстоятельства: величина (17.6) должна преОбраЗОВЫВатЬСя КаК ао. ПОЭтОМу а 1,!' + 1,зз, КОЭффнцнсит пропорциональности определяется так! чтобы скаляр !,' 1,ол сове!3 падал со скалярам 2ара" = 2а . 2 Таким образом, мы приходим к следующим формулам соответствия: 1 1(~12 + .21) 2 3 1 (~11 ~22) 2 Обратные формулы: а, =-(1, — 1, ), 2 О 1 ( .11 + (.22) 2 (18.1) = 1,22 = а + и ! И 3 О 12 1 2 = — !',2, —— а — !а ., =а — а,, 22 О 3 (18.2) = — !',12=а +!и. При этом ~о!3 2 2 о!3 (18.3) Отметим также, что 1,зл = б„'а . (18.4) ая (1 0) ав (3 0 ) ' а' 16 -1) ' (18'б) Ее!!и обозначить символически посредством !, матрицу величин 1,ой с верхними индексами (причем первый --пепунктирный)! то формулы (18.2) записываются в виде 1' = а!т + а (18.6) ') Для упрощения обозначений операторы (матрицы), действующие на спииовые переменные., будем обозначать буквамн без шлясюк.
Последнее равенство следует из того, что спинор второго ранга ~„. 1,т антисимметРичеп по инДексам сну и потомУ пРо!юРциона- !3 лей метрическому спинору. Соответствие между спинором 1,о~ и 4-вектором является частным случаем общего правила: всякий симметричный спинор ранга (Й, Й) эквивалентен симллетричному неприводнмому (т. е. обращающемуся в нуль при упрощении по любой паре индексов) 4-тензору ранга Й. Связь между спипором и 4-вектором можно записать в компактном виде с помощью двухрядных матриц Паули '): 88 Фвемионы Гл.
ш а = — Яр (~~т), 2 а = — Яр 1,. О 1 2 (18.7) С помощью формул (18.6), (18.7) можно установить связь между законами преобразования 4-вектора и спинора и тем самым выразить закон преобразования спинора через параметры поворотов 4-системы координат. Запишем преобразование спинора Со в виде б" =(Вб)", В= ( ф, (18.8) где В двухрядная матрица, составленная из коэффициентов бинарного преобразования. Тогда прообразование пунктирного спинора; у''' = (В"и) = (пВ")", (18.9) а преобразование спинора второго ранга 1,~о ~~В~ запишем символически как ~' = В~Ве ') . При бесконечно малом преобразовании В = 1+ Л, где Л малая матрица, и с точностью до малых величин первого порядка б' = ( + (Лб + бЛ-') . (18.10) Рассмотрим сначала преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся с бесконечно малой скоростью дЪ' (без изменения направления пространственяых осей).
При этом 4-вектор а," = (и~.,а) преобразуется согласно а аобу пе' по або (18 11) Воспользуемся теперь формулами (18.7). Преобразование ао можно представить, с одной стороны, как а, = а — аоЪ' = а, — — Яр(~от о вт)., 2 а с другой стороны, как ао = — Яр~' = и + — Яр(Л1,'+~Л+) = ае+ — Яр1,'(Л+ Л+) . 2 2 2 ) Для коварнаптных кОмпонент: = (В б) = (бВ ), и = (ЛВ* ), (18.8а) (так, чтобы произведение двух спиноров б,Б" оставалось инвариантным). (во втором члене подразумевается, конечно, произведение и па О единичную матрицу). Обратные формулы: 1 18 св5!зь спииоРОВ с аввк'Гогами Эти выражения должны совпадать тождественно (т. е.
при про- извольном !',). Отсюда находим следующее равенство: Л+ Л+ = — обЪ'. Таким жс способом! рассмотрев преобразование а, получим стЛ + Л ' а = — дУ. Эти равенства как уравнения для Л имеют следующее решение; Л = Л+ = — — ст Л!. 1 2 Таким образом, бесконечно малое преобразование Лоренца спинора (о осуществляется матрицей В = 1 — — (!т!т) бк; 1 2 (18.12) В=с (18.13) Математический смысл действия этого оператора выясняется, если заметить, что по свойствам матриц Паули все четные степени от по равны 1, а все нечетные степени равны пег.
Учитывая, что сЬ разлагается по четным, а вЬ вЂ” по нечетным степеням аргумента, получаем окончательно В = сЬк — пствЬ вЂ” ", 1Ь!р = К (18.14) 2 2 Отметим, что матрицы В преобразований Лоренца оказываются эрмитовыми: В = Вх. Рассмотрим теперь бесконечно малый поворот пространственной системы координат. При этом трехмерный вектор а преобразуется согласно а' = а — ~дда), (18. 15) ) Напомним, что в плоскостях, содержащих ось времени, метрика псевдоевк!!и!!ова. где и. единичный вектор в направлении скорости дт!. Отсюда легко найти преобразование и для коггечной скорости "К. Для этого вспомним, что преобразование Лоревца означает (геометрически) поворот 4-системы координат в плоскости 1п на утол !р, связанный со скоростью ь' равенством 1Ь !р = 'т' ') .
Бесконечно малому преобразованию соответствует угол б!д = д1', а поворот на конечный угол !р осуществляется 1о/б~о-кратных! тювторением поворота на б!р. Возводя оператор (18.12) в степень !д!!д!р и переходя к пределу б!р -+ О, получаем 90 Гл. ш Фетмноны где дО - вектор бесконечно малого угла поворота. Соответствующее преобразование спинора можно было бы найти аналогичным образом. В этом, однако, нет необходимости, так как по отношению к пространственным поворотам поведение 4-спиноров совпадает с поведением З-спиноров, а для последних преобразование известно заранее из общей связи оператора спина с оператором бесконечно малого поворота: В = 1 + -сг БО.
(18.16) 2 Переход к повороту на конечный угол О производится аналогично переходу от (18.12) к (18.14): В = ехр~ — псг) = сов — + 1п~т вш 7~В ~ В .. В (18.17) 2 2 2 где п орт оси вращения. Эта матрица унитарна 1В' = В как и должно быть для пространственного поворота. 3 19.Инверсия спиноров При изложении (в т. П1) трехмерной теории спиноров мы не рассматривали их поведения по отношению к операции пространственной инверсии, поскольку в нерелятивистской теории это пе привело бы к каким-либо новым физическим результатам. Остановимся, однако, теперь на этом вопросе для лучшего уяснения последующего рассмотрения инверснонных свойств 4-спиноров.
Операция инверсии не меняет знака аксиального вектора, каковым является вектор спина. Поэтому не меняется и значение его проекции в . Отсюда, следует, что при инверсии кажда.я из компонент спинора 4г". может преобразовываться только через саму себя, т. е. должно быть Ф вЂ” РФ, (19.1) где Р - постоянный коэффициент.
Произведя инверсию дважды, мы вернемся к исходной системе координат. В случае спиноров, однако, возвращение к начальному положению можно понимать в двух различных смыслах: как поворот системы на 0' или на 360'. Для спиноров эти два определения не эквивалентны, так как ф~ меняют знак при повороте па 360'. Таким образом, возможны две альтернативные концепции инверсии; в одном случае Рг (19.2) а в другом .Рг= — 1, Р=Ы.
(19.3) 91 19 ИИВКРСИЯ СПИИОРОВ Существенно при этом, что понятие инверсии должно быть определено одинаково для всех спиноров. Недопустимо, чтобы различные спиноры вели себя при инверсии различным образом (согласно (19.2) или (19.3)), так как тогда не из всяких двух спиноров можно было бы построить скаляр (или псевдоскаляр): если бы спинор уУ'" преобразовывался согласно (19.2), а 9«'" согласно (19.3), то величина ф'"9«„умногкилась бы при инверсии на ~г вместо того, чтобы оставаться неизменной (или менять только знак). Следует также подчеркнуть, что (при любом определении инверсии) приписывание спинору той или иной четности Р не имеет абсолютного смысла, поскольку спиноры меняют знак при повороте на 2я, который всегда можно произвести одновременно с инверсией.
Абсолютный характер, однако, имеет «относительная чотностьь двух спиноров, определяемая как чотность составленного из них скаляра «««99и; поскольку при повороте па 2«г меняют знак одновременно все спиноры, связанная с этим неопределенность не отражается на четности указанного скаляра.
Обратимся теперь к четырехмерным спинорам. Отметим прежде всего, что поскольку инверсия меняет знак лишь трех (х, у, и) из четырех (1, х, у, и) координат, она коммутативна с пространственными вращениями, по ие коммутативпа с преобразованиями, поворачивающими ось |. Если Х есть преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся со скоростью Ъ', то РТ = Т 'Р, где Т ' -- преобразование к системе, движущейся со скоростью -Ъ'. Отсюда следует, что при инверсии компоненты 4-синьора ~ пе могут преобразовываться через самих себя.
Если бы инверсия спинора Си заключалась по-прежнему в преобразовании (19.1) (т, е, изображалась бы матрипей, пропорциональной единичной матрице), то она коммутировала бы со всеми вообще преобразованиями Лоренца, чего заведомо не должно быть (так как операции Х и Х' в применении к ~и заведомо не совладают). Таким образом, инверсия должна преобразовывать компоненты спинора ги через друтис величины. Таковыми могут быть лишь компоненты некоторого другого спинора «1и, пе совпадающего по своим трансформационным свойствам с ~".
Поскольку инверсия не меняет (как уже отмечалось выше) и-проекции спина, компоненты ~ и ( могут перейти при инверсии лишь в компоненты п1 и г«зч отвечающие тем же значениям в, = '/9 и 9, = — 1,«9. Понимая под инверсией операцию, даюшую 1 при двукратном повторении, можно определить ее действие формулами Гл. 111 Фвемиоиы для ковариаптпых компонент ~„и коптравариантных йо эти преобразования имеют обратный знак: (19.4а) так как опускание и поднимание одного и того же индекса происходит с различными знаками, см. (17.5) и (17.9) ') . Если же инверсия понимается в таком смысле, .что Р = — 1, то ее действие определяется формулами (19.5) или, что то же, -э — гт)", з) -э — 4кс . (19.5а) Некоторое различие в характере двух определений инверсии состоит в том, что при втором определении комплекспосопряженные спиноры преобразуются одинаково: если Б = т)„*, Но = ~о, то из (19.5) будем иметь Ео — у — 4Но, Но -+ — гЕо, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
