IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1« «е(диАВ длАР) = ТРии 2 2 (У;„= д„А, — диАИ -- тензор электромагнитного поля). В результате получим уравнение второго порядка в виде [ (р — еА) — гп — — егп <т'" ] ф = О. (32.6) 2 Произведение глин"' можно записать в трехмерном виде, выразив его через компоненты Ии ~ Е) 1РВи ~ Е Н) Тогда [(р — еА) — пт'+ ЕЕН вЂ” геоЕ)ф = О, или, в обычных единицах, (32.7) ~( — — — — Ф) — (гб~+ — А) — гп~с + + е ЕН вЂ” 1 — ''с«Е1ф = О. (32.7а) с с Появление в этих уравнениях членов, содержащих поля Е и Н, связано с наличием у частицы спина; мы вернемся к их обсуждению в следующем параграфе.
Среди решений уравнения второго порядка имеются, конечно, также и «лишние», не удовлетворяющие исходному уравнению первого порядка (32.1) (они представляют собой решения нием знака заряда. С другой стороны, опера,ция зарядового сопряжения означает переход от частиц к античастицам. Мы видим, что если частицы обладают электрическим зарядом, то знаки заряда электрона и позитрона автоматически оказываются противоположными. Уравнение первого порядка (32.1) может быть преобразовано в уравнение второго порядка путем применения к (32.1) оператора у(р — еА) + ни [;уи'у~ Я вЂ” ЕАВИри еАи) — тп)ф = О.
Произведение у" 7~ заменяем на 2 2 где и' - аптисимметричный «матричный 4-тензор» (28.2). При умножении на Оли можно произвести аптисимметризацию, т. е. заменить 146 чистицл во ввкшнкм полк Гл. ш уравнения (32.1) с измененным знаком перед пб). Отбор нужных решений в конкретных случаях обычно очевиден и не нредпшвляет тру.да.
Регулярный метод отбора состоит в том, что если бд есть произвольное решение уравнения второго порядка, то решение правильного уравнения первого порядка есть б)б = [у(р — еА) + бп)бд. (32.8) б)б = ~б (а„ф~~к~ ехр( — 1к~+~1) + 6~~ ф~~ ~ ехр(Ы~~ ~б)), п баЯ„' ехР(гк„~~ б) + бибб„ехР ( — Ы~ 11) ) . (32.9) При этом надо иметь в виду, что по мере углу.бления потенциальной ямы уровни энергии могут перейти границу к = О, т. е. из Действительно, умножая это равенство на у(р — еА) — т, мы видим, что правая часть обращается в нуль, если бд удовлетворяет уравнению (32.6). Следует подчеркнуть., что способ введения внешнего поля в релятивистское волновое уравнение путем замены р на р — еА пе самоочевиден.
В его проведении мы по существу опирались на дополнительный принпип; указанная замена должна производиться в уравнениях первого порядка. Имепво в результате этого в уравнении (32.6) появились дополнительные члены, которые не возникли бы, если бы замена была произведена непосредственно в уравнении второго порядка. Среди стационарных решений уравнения Дирака во внешнем поле могут иметься состояния как непрерывного, так и дискретного спектра. Как и в нерелятивистской теории, состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению, при котором частица может находиться на бесконечности, где ее можно рассматривать как свободную. Поскольку собственные биб б * ир ~бр'~+, ясно, что непрерывный спектр собственных значений энергии лежит при к > т и при к < — пи Если же — пб < к < т, то частица ве может находиться на бесконечности, так что движение фипитно и состояние принадлежит дискретному спектру. Как и для свободных частиц, волновые функции с «положительной частотой» (е > О) и с «отрицательной частотой» (к < 0)б определенным образом входят в схему вторичного квантования.
Для частиц во внешнем поле эта схема естественно обобщается путем замены плоских волн в формулах (25.1) соответственно нормированными собственными функциями уравнения Дирака б1би и 1пи, относЯЩимисЯ к положительным (ки ) и отРиЦа- М М тельным ( — ки ) частотам: 1 ЗЗ УРььвненив ДНРлкл Для элвктРОььА ВО Внешнем пОле 147 положительных сделаться отрицатььльныиььл (или, для потенциа; ла другого знака, из отрицательных положительными). Тем не менее из соображений непрерывности надо продолжать считать эти уровни электронными (а пе позитронными).
Другими словами, к электронным следует относить все состояния, которые при бесконечно медленном выключении ьюля примыкают к положительной границе непрерывного спектра (с = т). Хотя уравнение Дирака для электрона во внешнем поле и дает возможность, как уже было сказано, решать широкий круг задач квантовой электродинамики, необходимо в то же время подчеркнуть, что применимость понятия внешнего поля в рамках одночастичной задачи в релятивистской теории все же ограничена.
Эта ограниченность связана с самопроизвольным рождением электрон-позитронных пар, возникающим в достаточно сильных полях (см. ниже, 3 35, 36). Мы нс будем рассматриваь ь в этой книге вопрос о введении внешнего поля в волновые уравнения частиц с отличным от 1/2 олином, поскольку он не имеет прямого физического смысла- реальные частиь1ы с такими спинами являются адронами и их электромагнитные взаимодействия не могут быть описаны волновыми уравнениями. В этой связи следует отметить, что эти уравнения могут приводить и к физически противоречивым результатам. Так, волновое уравнение для частиц со спином О имеет комплексные (с мнимыми частями обоих знаков) уровни энергии в поле достаточно глубокой потенциальной ямы. Волновое уравнение для частиц со спином 3,~2 приводит к нарушению причинности, проявляющемуся в появлении решений, распространяющихся со сверхсветовой скоростью. Задача Определить уровни энергии электрона в постоянном магнитном поле.
Р е ш е н и е. Векторный ььотеьщиа,с А, = А. = О, .4„= Н, Ьььоле Н направлено по оси 2). Сохраняются 1ььаряду с энергией) компоненты р„, р, обобщенного импульса. Воспользуемся уравнением второго порядка для вспомогательной функции ьз Ьсм. Ь32.8)) и примем, что З2 есть собственная функция оператора Еь (ьь собственным значением а = шЦ, а также операторов рь, р,.
Уравнение для у2 имеет вид (' -)= 2 2 2 2 — — З- (еНт — р ) — еНа уь = Ье — т — р,)уь. ,1Л2 Это уравнение по форме совпадает г. уравнением Шредингера щья линейного осциллятора. Собственные значения е определяются формулой е — ьп — р, =~е~Н(2п-РЦ вЂ” еНа, и=о, 1, 2, ...
Ьср. 111, 3' 112). Отметим, что волновая функция ьь2, которую гзьедует определить из Ь2 по формуле Ь32.8), не является собственной функцией оператора Е„. - в СоОтветствии с тем, чтО для движущвйея частицы спин не является сохраняющейся величиной. 148 частица во внешнем полк гл га 8 33. Разложение по степеням 1/с ') 1й — й = (осе (р — — А) + (Зтс + еФ) 1а. (33.1) В релятивистской энергии частицы содержится также и ее энергия покоя тс . Для перехода к нерелятивистскому приближению .2 она должна быть исключена, для чего вместо гр вводим функцию ф' согласно — сшс~Г/6 Тогда (16 — + тс ) ф' = (осе (р — — А) + ртсс + еФ[ гр'. Представив дт в виде ф' = ~, ), получим систему уравнений: (1гг — — сФ) ~р' = ест (р — — "А) Х', (33.2) ( ' .
'1 ' = (- И еФ+ 2т~с1 Х~ со. [р А) у~ (33 3) дг l ь с (ниже будем опускать штрихи у уа и Х, что не вызовет недоразумений, так как в этом параграфе мы пользуемся только преобразованной функцией гд'). В первом приближении в левой стороне уравнения (33.3) оставляем лишь член 2тс2Х и получаем о. (р — -еА) еа (33.4) (отметим, что Х ~р/с).
Подстановка этого выражения в (33.2) дает (гб — — еФ) ео = — (сг (р — — А)) го. Для матриц Паули справедливо соотношение (сга) (о Ь) = аЬ + ит [аЬ), (33.5) ') В атом параграфе пользуемсв обычной системой единиц. Мы видели (см. 8' 21), что в нерелятивисгском пределе (е — г — у 0) две компоненты (Х) биспинора ф = ( г ) обращаются в (Х) нуль. Поэтому при малых скоростях электрона Х (( ео.
Это дает возможность получить приближенное уравнение, содержащее только двухкомпонентную величину со, путем формального разложения волновой функции по степеням 1/с. Исходим из уравнения Дирака для электрона во внешнем поле в виде 1зз РАзло5квние ПО сткпен51л1 17' где а, Ь произвольные векторы (см. (20.9)). В данном случае а = Ь = р — -',А, но векторное произведение (аЬ) не обращается в пуль в силу некоммутативности р и А: ~(р — — А) (р — — А)1 )р = 1 — ""1(АА) + (37А)))р = 1 — 'го1А )р. Таким образом, (сг (р — -еА)) = (р — -еА) — — 'сгН (33.6) (где Н = го1А магнитное поле), и для )р получается уравнение и 7 =ЙФ= ~ — (Ф вЂ” 1А) Ф Ф вЂ” ' и~ 7. )33.7) д1 (2т с 2тс Это — так называемое уравнение Паули. Оно отличается от нерслятивистского уравнения Шредингера наличием в гамильтопиане последнего члена, который имеет вид потенциальной энергии магнитного диполя во внешнем поле (ср.
П1, 8 111). Таким образом, в первом (по 1))с) приближении электрон ведет себя как частица, обладающая наряду с зарядом также и магнитным моментом: е )и = — 6я. тс (33.3) 3 = сф'аф = с()р'о21 + зс'о)р). Согласно (33.4) подставляем сюда, сг ( — 16737 — — А) )р, т* = (1657 — — А) )р"а, а произведения, содержащие по два множите,пя о', преобразуют- ся с помощью формулы (33.5), представленной в виде (о.а)о = а+1(сга), о(оа) = а+1(ао). (33.9) ) Этот замечательный результат был получен Дираком в 1928 г. Двух- компонентная волновая функция, удовлетворяющая уравнению (33.7), была введена 77аули (1927) еще до открытия Дираком его уравнения.
При этом гиромагнитное отношение (е/571с) двое больше, чем это было бы для магнитного момента, связанного с орбита.льным движением '), Плотносгь р = у7*у7 = )р*)р+ у*зс. В первом приближении второй член должен быть отброшен, так что р = ))р)27 как и должно быть для шредингеровского уравнения. Плотность же тока: Гл г~ 150 чвстицл во внешнем полк В результате получается 3 = †''(~рT~р* — р*'7~р) — †' А~р*~р + — го1(р*сгф, (33.10) 2т тс 2т в согласии с выражением (115.4) (см. Ш) из нерслятивистской теории.
Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение до членов 1/с2 ') . Будем предполагать при этом, что имеется только электрическое внешнее поле (А = О). 2 Прежде всего замечаем, что с учетом членов 1/с плотность Р= 14'+ !Х~' = ~Ф'+, '...~ '~'Ф'. Это выражение отличается от шредингсровского.
Имея в виду найти (во втором приближении) волновое уравнение, аналогичное уравнению Шредингера, мы должны ввести вместо 92 другую (двухкомпонентную) функцию гргр, для которой сохраняющийся во вромени интеграл имел бы вид 1 ~92 р~ д' т, как это должно 2 З быть для уравнения Шредингера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
