III.-Квантовая-механика (1109680), страница 66
Текст из файла (страница 66)
176.5) т Поляризусмость атома зависит от его (невозвгугпснного) состояния, в том числе от квантового числа ЛТу. Эта последняя зависимость может быть установлена в общем виде. Значения гт,. для различных значений ЛХу можно рассматривать как собственные значения оператора гггй = сгибай + )3и('7г 7й + 7йА Ай3 )) (76 6) ) Исключение составляет атом водорода, у которого щтарк-эффект линеен по полю (см. следующий параграф).
Подобно водороду ведут себя в достаточно сильных полях также и атомы других элементов, находящиеся в сильно возбужденных (и потому водородоподобных, см. З 68) состояниях. 852 гл х атом это есть общий вид симметричного тензора второго ранга, зависящего от вектора Л асср. 3 75). Из 176.3) и (76.6) имеем 7ЛЕп = — — (лтп+2~п~ЛХл — — Л(У+1)1~. (76.7) При суммировании по всем значениям ЛХл второй член в фигурных скобках обращается в нуль, так что первый член представляет собой общее смещение «центра тяжести расщепленного уровня.
Отметим также, что, согласно 176.7), .уровень с Л = 1/2 остается нерасщепленным в согласии с теоремой Крамерса 1360). Если атом находится в неоднородном внешнем поле 1ьлало меняющемся на протяжении размеров атома), то может существовать также и линейный по полю эффект расгл1епления, связанный с квадрупольным моментом атома.
Оператор квадрупольного взаимодействия системы с полем имеет внд, соответствующий классическому выражению квадрупольной энергии 1сзл. П, 3 42): дэ 176.8) где сэ. потенциал электрического поля 1подразуьлеваются значения производных в месте нахождения атома). Задачи 1. Определить зависимостыптарковского расп1епленлля различных компонент мультиплетного уровня от Л. Р е ш он и е. Задачу удобно решать, переставляя порядок наложения возмущений; сначала рассматриваем штарковское расщепление уровня без тонкой структуры,а затем вводим взаимодействие спин †орби. Поскольку спин атома не взаимодействует с внешним электрическим полем, штарковское раслцепление уровня с данным орбитальным моментом Ь определяется формулой того же вида 176.2) с тензором Й,ы выражающимся через оператор Ь гак жо, как в 176.6) он выражается через Л: 2 о,ь = аб,ь + Ь) Ь,йь -ь ܫ܄— — Ь,«Ь ) 3 (индексы и везде опускаем).
После введения взаимоделзствия спин — орбита состояния атома должны характеризоваться полным моментом Л. Усреднение оператора а,л по состояниям с заданным значением момента Л 1но не его проекции Мл) формально совпадает с усреднением, произведенным в задаче 1 3 76. В результате мы вернемся к формулам 176.6), 176.7) с постоянными о, )л, выражающимися через постоянные а, Ь согласно соотнолпениям 31ЛЬ) ~21ЛЬ) — 1] — 2Л1Л -~ 1)ЦЬ + 1) л1,7-ь 1)12л — Ц12л+ 3) Тем самым определяется зависимость расщепления от Л 1но, разумеется, не от Ь и о', от которых — как от характеристик нерасщепленного терма— зависят также и настоянные а, Ь). АТОМ В ЭЛЕКТРИ 1ЕОКОМ ПОЛЕ 2. Определить расщепление дублетного уровня (спин Я = 1/2) в произвольном (не слабом) электрическом поле.
Р е ш ен и е. Если величина расщепления не мала по сравнению с интервалом между компонентами дублета, возмущение от электрического поля и взаимодействие спин — орбита должны учитываться одновременно, т.е. оператором возмущения является сумма; 'г' = АЫ вЂ” — Ев а Л 2Ь ~Х~ — — О(Ь -Р Ц] ~ (ср. (72.4) и предыду1пую задачу).
Опустив несу1цественные для расщепления постоянные члены, перепишем этот оператор в виде (см. (29.1Ц) Р = — [У,Х ~- У Х, -~ 2У,Х,~ — ЬЕ'Х,',. 2 При каждом заданном значении ЛХ = М1 собственные значения этого оператора определяются корнями секулярного уравнения, составленного из матричных элементов по отноп1ению к состояниям ~ЛХЕЛХЕ) ~ЛХ х 1/2, ~1/2).
С помощью формул (27.12) находим (лх — 1!2,172)~ )м — 172,1(2) = ~м — — ) - ье' ~м - — ), 2 ~1 2) ~, 2) ~м4-172, — 1112)Цм+ 172,— 1112) = — — ~ м+ — ) — ье ~ м+ — ) 2 ~1 2) ~1 2) (М вЂ” 1/2, 1/2ЩМ+ 1/2, — 1/2) = — [~ Л+ ЛХ Э. — ) ) Π— ЛХ+ — )] 2 2 2 В результате (см. задачу 1 3 39) для смещения уровней получим ЬЕ = — ЬЕэы (Ц здесь опущены все члены, одинаковые для всех компонент расщепляющегося дублета.
Эта формула (с обоими знаками перед корнем) относится ко всем уровням с ~ы~ ( Л вЂ” 1/2. Значению ~ЛХ~ = Л вЂ” 1/2 отвечает лишь одно состояние )ЛХЕЛХЕ), и смещение уровня дается просто соответствующим диагональным матричным элементом. С тем жс выбором алдитивной постоянной,что и (Ц,находим 11Е = ~ — + ЬЕэ) (Л+ — ) — ЬЕэ (Е+ — ) (2) (что совпадает с результатом, получаемым по формуле (Ц с одним знаком перед корнем). 3.
Определить квадрупольное расщепление уровней в аксиально-симметричном электрическом поле 1 Р е ш е н и е. В поле, симметричном относительно оси э, имеем де~ дрэ дх' 1 ) Аналогичная задача для произвольного поля — см. задачу 6, 3 103. 354 гл х атом остальные вторые производные равны нулю. Оператор (76.8) квадрупольной энергии имеет вид Заменяя операторы их собственными значениями, получим для смешения уровней гзЕ =- а ~,7(1 + Ц вЂ” ЗМг). 2.7(21 — 1) 4. Вычислить поляризуемость атома водорода в основном состоянии.
Р е ш е н и е. Ввиду сферической симметрии з-состояния тензор поляризусмости сводится к скаляру (о.г = оды), для которого имеем, согласно (76.от), 2 г--~ ~гоь~' а = — 2е ь Ео — Ео (дипольный момент электрона И, = ег; Ео — энергия основного уровня). Введем вспомогательный оператор Ь согласно определению т с1Ь 6 0Ь (та — масса электрона).
Тогда гоь = (гта/6~)(Ео — Ео)Ьоь и затем 2гте' 2гте гогЬьо =, (гЬ)оо (у) Для вычисления этой величины достаточно знать результат действия Ь на волновую функцию Ого(т). Согласно (9.2) имеем т НЬ гта гФо = — — гуо = — (ПЬ вЂ” ЬПИо. 64Ь 6 Обозначив функцию ЬгЬо через Ь(г)ого и учтя, что гуо удовлетворяет уравнению Йууо = Еогуо, где Й = — 6~Л/2пг -ь Ьт(г), получим для Ь(г) дифференциальное уравнение (Ц2)моаЬ+ С Ь~ Ьо = Подстановкой Ь =- сов 01(т) (где 0 — полярный угол в сферических координатах, г = т соз О) оно приводится к виду —. + — — — -'г — 7" = гк ГУ1.Фо (2) 2 т т' ~о Его решение должно удовлетворять условию конечности Яо при т -э 9 и т э оо. Для основного состояния атома водорода ого = охр( — т(ав)(Я (ав = = 6г/тпе — боровский радиус).
Решение уравнения (2), удовлетворяющее поставленному условию, есть 7" = — гтав (ав -~-т!2). По формуле (Ц находим теперь ) 2г г 2г 9 з о = ~,т)соз 0)оо = (тг')оо = — ав. ав Зов 2 ) В следующем параграфе этот результат будет найден другим путем. 3 77 АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ б.
Вычислить поляризуемость электрона, находящегося в связанном е-состоянии в потенциальной яме с радиусом действия сил а таким, что агг « 1, где гг = хг2ш~~Ео~/й, ~Во~ — энергия связи электрона. Р е ш е н и е. Ввиду условия иа « 1 при вычислении матричного элемента (гЬ) сс областью внутри ямы можно пренебречь и пользоваться во всем пространстве волновой функцией относящейся к области вне ямы (нормировка этой функции тоже учитывает условие на « 1; см. об этом подробнее в 3 133). Уравнение (2) предыдущей задачи принимает вид Г' у — †.сг' — — = и 2 г и его решение, удовлетворяющее граничным условиям: 1" = — гг /2и.
Вы. г числение по формуле (Ц приводит к результату; те 4йг 4' й 77. Атом водорода в электрическом поле Уровни атома. водорода, в отли пге от уровней других атомов, в однородном электрическом поле испытывают расщепление, пропорциональное первой степени поля 1линейный, эффект Штарка). Это связано с наличием у водородных тсрмов случайного вырождения, в силу которого состояния с различными значениями 1 (при заданном главном квантовом числе и) обладают одинаковыми энергиями. Матричные элементы дипольного момента для переходов между этилги состояниями отнюдь не равны пулю, а потому секулярное уравнение дает уже в первом приближении отличное от нуля смещение уровней') .
Для вычисления удобно выбрать невозмущенные волновые функции таким образом, чтобы матрица возмущения была диагональна по отношению к каждой группе взаимно вырожденных состояний. Оказывается, что это осуществляется путем квантования атома водорода в параболических координатах. Волновые функции г)г„г„г стационарных состояний атома водорода в параболических координатах определяются формулами (37.15), (37.16). ) В нижеследующих вычислениях мы не учитываем тонкой структуры водородных уровней. Поэтому поле должно быть хотя и не сильным (условие применимости теории возмущений), но в то же время таким, чтобы штарковское расщепление было велико по сравнению с тонкой структурой.
Обратный случай — см. задачу 1 в т. 1У, 3 32. гл х атом Оператор возмущения (энергия электрона в поле Е) есть Ея = Е(й — г))/2 (поле направлено в положительном, а действующая на электрон сила — в отрицательном направлении оси я) ') . Нас интересуют матричные элементы для переходов п1пзт — э п1птт,, при которых энергия (т.е.
главное квантовое число и) не меняется.,Легко видеть, что из них оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы о о о 4 Упгпг(Р1)Хпгпп(Р2)(Р1 — Р2) Г1Р1 "Р2 (77 ) о о (мы произвели подстановку й = пр1, т) = пр2). В отношении числа т диагональность рассматриваемой матрицы очевидна; что касается чисел п1, п2, то диагональность по отношению к ним следует из взаимной ортогональности функций у„, с различными п1 и одинаковыми тп (см. ниже). Интегрирования по НР1 и по с)р2 в (77.1) разделяются; получающиеся интегралы вычислены в 91 математического дополнения (интеграл (1.6)). После простого вычисления получим в результате для поправки первого приближения к уровням энергииг) Е~1) = — Еп(п1 — п2) (77.2) 2 или в обычных единицах з йг Е(1) = — п(п1 — п2) ~е~б 2 тпе Две крайние компоненты расщепившегося уровня соответствук1т п1 = п — 1, пг = О и п1 = О, пг = п — 1. Расстояние между этими двумя крайними уровнями есть, согласно (77.2), Збп(п — 1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
