III.-Квантовая-механика (1109680), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Единственным таким вектором является «вектора Л. Поэтому оператор ©~ должен иметь вид ©ь = (Иь + ХьХ вЂ” -Л~6,ь), (75.2) 21(2з - 1) ', 3 где выражение в скобках составлено так, чтобы быть симметричным по индексам г, Й и давать нуль при упрощении по этой паре индексов (о смысле коэффициента гьг см. ниже). Операто- ') Во избежание недоразумений подчеркнем, что речь идет о замкнутой системе частиц, или о системе частиц в центрально-симметричном внешнем электрическом поле. Так, если рассматривать ядра как «закрепленные», то сделанное общее утверждение справедливо для электронной системы атома, но не молекулы.
Предполагается также, что нет никакого дополнительного («случайногоь) вырождения уровня энергии, помимо вырождения по направлениям полного момента. В противном случае можно составить такие волновые функции стационарных состояний, которые не обладали бы определенной четностью, и соответствующие им диагональные элементы дипольного момента не должны обращаться в нуль. 347 175 МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ры /, надо понимать здесь как известные нам Я 27, 54) матрицьт по отношению к состояниям с различными значениями ЛХу, оператор Дв можно, конечно, заменить просто его собственным значением,У(,У + 1).
Поскольку три компоненты момента Л не могут одновременно иметь определенные значения, то то же самое относится и к компонентам тензора Я;ы Для компоненты Я„имеем В состоянии с заданными значениями Дв = У(У+ 1) и У, = ЛХТ имеет определенное значение также и СХ„; (75.3) При ЛХ~ = У (момент направлен «цсликомь по оси л) имеем Я„= ф эту величину и называют обычно просто квадрупольным моментом. При У = 0 все элементы матриц момента равны нулю, так что исчезают и операторы (75.2).
Они тождественно обращаются в нуль также и при,У = 1у'2. В этом легко убедиться, непосредственно перемножая матрицы Паули (55.7), представляющие собой матрицы компонент всякого момента, равного 1/2. Это обстоятельство не случайно, а является частным случаем общего правила: тензор 2йпольного момента (с четным 1) отличен от нуля только для состояний системы с полным моментом импульса (75.4) ,У >!У'2. Тензор 2'-польного момента есть неприводимый тензор ранга 1 (см.
П, 3 41),и условие (75.4)является следствием общих правил отбора по моменту для матричных элементов таких тензоров условие, при котором могут быть отличны от нуля диагональные матричные элементы (3 107). Как уже было отмечено выше, правило отбора по четности требует при этом, чтобы 1 было четным числом. Следует также учесть, что электрические мультипольные моменты являются чисто «орбитальными» величинами (их операторы не содержат операторов спина).
Поэтому если спин— орбитальным взаимодействием можно пренебречь, так что У и Я сохраняются по отдельности, матричные элементы мультипольных моментов подчиняются правилам отбора не только по квантовому числу У,но и по У. 348 хтом гл х Задачи 1Л,ь = ' Л Ль ~- ЛьЛ, — — Л[гу-~ Цб,ь~ = 2,У(,7 — Ц 'с 3 2ЦŠ— Ц 3 Й Вь 1-1ь1 — — 1)1 ~- Цб*ь~ (Ц Требуется найти связь между коэффициентами ()з и Оь. Для этого умножим равенство (Ц слева на Л и справа на Хь (с суммированием по 1 и й) и перейдем к собственным значениям диагональных операторов. При этом ХХ,1,Хь =. (ЛВ)', где, согласно формуле (31.4), 2Л1 =.,7(Л й Ц -~- 141 + Ц вЂ” Я(Я -~ Ц.
Произведение же ХХьХ,Хь преобразуется с помощью формул (Х„йь~ = ъе,ыйп ~Л,1~~ = 1еп„,й подобно тому как это было сделано в задаче к 3 29, и дает ХХ,Х,Хь = (ЛВ) — (ЛВ). Аналогичным образом ХЗ,Тьуь = (Л')', ЭЛьЛ,Ль .= Л'(Л' — Ц. В результате получим из (Ц следующее соотношение: 3(ЛЬЯ2ЛЬ вЂ” Ц вЂ” 21(Л+ Ць11 + Ц (Х -1- 1И2,7 ' 3)Ц21 — Ц В частности, для Я =- 1/2 эта формула дает (2) 1 при Л = 1 г- —, 2 (ь — 1Н2б+ 3) 1 (3) с1з = с1ь 1421 + Ц при,1 =- Š— —. 2 2. Выразить квадрупольный момент электрона (заряд — е ) с орбитальным моментом 1 через средний квадрат его расстояния до центра. Р е ш е н и е.
Мы должны усреднить выражение О„= — ~е(г (3 сов е — Ц = — )е)г (Зп, — Ц 1. Найти связь между операторами квадрупольного момента атома в состояниях, отвечающих различным компонентам тонкой структуры уровня (т.е, состояниям с различными значениями Л при заданных значениях 1 и Я). Р е ш е н и е. В состояниях с заданными значениями Ь и Я оператор квадрупольного момента, как чисто орбитальной величины, зависит лишь от оператора Ь и потому выражается такой же формулой (75.2) с заменой Л на 1.
(и с другой постоянной ( >). Оператор (75.2) получится из него путем дополнительного усреднения по состоянию с данным значением,7: ММУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ по состоянию с данным моментом 1 и проекцией момента гп = 1. Среднее значение углового множителя непосредственно определяется по полученной в задаче к 329 формуле (в которой надо заменить 1, на Ц, и в результате найдем 1эз1 = ~е~)гй — 21 М 21-У 3 Знак этой величины противоположен знаку заряда электрона, как и должно было быть: частица, движущаяся с моментом, направленным вдоль оси э, находится в основном вблизи плоскости з = 0 и потому соэз В ( 1/3.
Для электрона с заданным значением у = 1 ш 11'2 переход с помощью формул (3) дает 1Е' = )е)гг (2) 21й2 3. Определить квадрупольный момент атома (в основнолю состоянии), в котором все и электронов сверх заполненных оболочек находятся в эквивалентных состояниях с орбитальным моментом 1. Р е ш ен и е.Поскольку суммарный квадрупольный момент заполненных оболочек равен нулю, оператор квадрупольного момента атома есть сумма 3)е)гг 2 О,„= Х ~~1,1ь+1ь1, — — Ц1+ Цб,ь], (21 — Ц(21+ 3) 3 взятая по и внешним электронам (здесь использована формула (4)).
Предположим сначала, что и < 21+ 1, т.е. заполнена половина или менее мест в оболочке. Тогда по правилу Хунда Ябу) спины всех у электронов параллельны (так что Я = и/2). Это значит,что спиновая волновая функция атома симметрична, а потому координатная волновая функция антисимметрична по этим электронам.
Следовательно, все электроны должны иметь различные значения т, так что наиболыпее возможное значение Мь (и совпадающее с ним Ь) равно Л = (ЛХь),„= Х~ т = — и(21 — У+ Ц. 1 2 =! — -~-1 Искомое Яь есть собственное значение 1;1„при ЛХь = Ь. Имеем поэтому 6~с~ге ~ ~ э 1Д+ Ц~ (21 — Ц(21+ 3),, ~ 3 откуда, после вычисления суммы, 2Ц21 — 2У.1- Ц (,>ь = — — — — — )е)гз.
(21 — 1Н21 й 3) Окончательный переход от Яь ь Яз производится по формуле (2). Случай атома с более чем наполовину заполненной внеп|ней оболочкой сводится к предыдущему путем перехода к рассмотрению дырок вместо электронов; поэтому ответ дается той же формулой (б) с измененным общим знаком (заряд дырки равен +~с~), причем под и надо понимать теперь не число электронов, а число свободных вакансий в оболочке. 350 гл х Атом й 76. Атом н электрическом поле Если поместить атом во внешнее электрическое поле, то его уровни энергии изменяются; это явлснис называют эффектам ХХХтпарка.
В атоме, помещенном в однородное внешнее электрическое поле, мы имеем дело с системой электронов, находящихся в аксиально-симметричном поле (поле ядра вместе с внешним полем). В связи с этим полный момент импульса атома, строго говоря, перестает сохраняться; сохраняется лишь проекция ЛХз полного момента Л на направление этого поля.
Состояния с различными значениями ЛХг будут обладать различными энергиями, т,с. электрическое полс снимаст вырождение по направлениям момента. Это снятие, однако, неполное: состояния, отличающиеся лишь знаком ЛХХ, по-прежнему имеют одну и ту же энергию. Действительно, атом в однородном внешнем электрическом поле симметричен по отношения> к отражению в любой плоскости, проходящей через ось симметрии (осве проходящая через ядро в направлении поля; ниже мы выбираем ее в качестве оси г). Поэтому состояния, получающиеся друг из друга посредством такого отражения, должны обладать одинаковой энергией. Но при отражении в плоскости, проходящей через некоторую ось, момент импульса относительно этой оси меняет свой знак (направление положительного обхода вокруг оси переходит в отрицательное).
Будем предполагать электрическое поле достаточно слабым . настолько, что обусловленная им дополнительная энергия мала по сравнению с расстояниями между соседними уровнями энергии атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры. Тогда для вычисления смещения уровней в электрическом поле можно воспользоваться теорией возмущений, развитой в 3 38., 39. Оператором возмущения является при этом энергия системы электронов в однородном поле б, равная Ъ' = — с1Е = -Ы„(76.1) где с1- - дипольный момент системы. В нулевом приближении уровни энергии вырождены (по направлениям полного момента); однако в данном случае это вырождение несущественно, и при применении теории возмущений можно поступать так, как если бы мы имели дело с невырожденными уровнями.
Это следует из того, что в матрице величины д, (как и з-компоненты всякого другого всктора) отличны от нуля только элементы для переходов без изменения Мт (см. 329), а потому состояния, отличающиеся значениями ЛХз, ведут себя при применении теории возмущений независимо друг от друга. 351 АТОМ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Смещение уровней энергии в первом приближении определяется соответствующими диагональными матричными элементами возмущения. Однако диагональные матричные элементы дипольного момента равны нулю Я 75). Поэтому расщепление уровней в электрическом поле является эффектом второго порядка по полю') . Как квадратичная по полю величина, смещение гдЕи уровня Ь' должно выражаться формулой вида (76.2) гДе сггй симегетРичный тензоР; выбРав ось е в напРавлснии (и) поля, йолучиаг (76.3) 2 Тензор сг,.й представляет собой в то же время поляризуемость атома во внешнем электрическом попс.
Действительно, понимая в общей формуле (11.16) под параметрами Л компоненты вектора О, и полагая Й = Йс — О,гг„найдем, что среднее значение индуцируемого полем дипольного момента атома есть — (и) дЬЕ„ дб, Подставив сюда (76.2) г получим (76.4) Вычисление поляризуемости должно производиться по общим правилам теории возмущений. Согласно формуле второго приближения (38.10) имеем 60 Ч ' )гГ*) (г)А) сггй = 2,Р Е. — Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
