III.-Квантовая-механика (1109680), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В то жс время весь ряд теории возмущений для штарковского расщепления уровней не может быть сходящимся в с'трогом смысле слова, а является липгь асимптотическим: начиная с определенного места в ряде (тем более далекого, чем меньше величина возмущения) дальнейшие его члены возрастают, а нс убывают. атом гл х О= ехр( — ). При наличии поля зависимость з1 от б в интересующей нас области можно считать той же, что и в (1), а для определения зависимости от О имеем уравнение О'х Г 1 1 1 бц') , 4- ~-- т — + —, 4- — ) Х =- О, дц~ Х 4 2О 4О~ 4 ) (2) где Х = чЯО~ (это — второе из уравнений (77.11), в котором положено Е = — — 1/2, т =- О, Дз = 1/2). Пусть Ос — некоторое значение О 1расположенное внутри барьера) такое, что 1 « Оо « 1/Е- При О > Оо волновая функция квазиклассична. Поскольку, с другой стороны, уравнение (2) имеет вид одномерного уравнения Шредингера, то можно воспользоваться формулами (50.2). Потребовав, в качестве граничного условия, совпадения у1 с волновой функцией (1) при О = Ос, получим в области вне барьера выражение где рЯ =.
Нас интересует только квадрат ~Х~~. Поэтому мнимая часть экспоненты несущественна. Обозначив через Ог корень уравнения р(О) = О, имеем ч1 з Ос Ре~ хр ча В предэкспоненциальном множителе полагаем при О» 1 1 1 ~ре~ = —, р = — зги — 1; 2 2 в экспоненте же надо сохранить также и следующий член разложения функ- ции р1О): ) В этой задаче пользуемся атомными единицами.
Р е ш е н и е ) . В параболических координатах потенциальный барьер имеется звдоль координаты Ок (рис. 26): вытягиванию электрона из атома в направлении к з -э — сю соответствует его пореход в область больших О. Для определения вероятности ионизации надо исследовать вид волновой функции при больших О (и неболыпих б; мы увидим ниже, что в интеграле, определяющем полный поток вероятности выходящего электрона, играют роль малые с). Волновая функция электрона в нормальном состоянии 1в отсутствие поля) есть 3 77 АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 4р=6Яц=— 1 (у 2~(б Подставив также для скорости электрона Г( 1 661 о, 2 — — + — ] =Агнец — 1, ~( л, 2 2) получим откуда окончательно и = — ехр( — — ) или, в обычных единицах, 4тл)е)о ( 2тл)е(л ') 662 'КР'1, зж' ) ' 2.
Определить вероятность вырывания электрона электрическим полем из потенциальной ялты короткодействующих сил, в которой электрон находится в связанном з-состоянии. Электрическое поле предполагается слабым в том смысле, что ~е~б << б~лгз/т, где и = Л22т~Ц/6, ~Е~ — энергия связи электрона в яме, т — его масса 1Ю. Н. Демкое, П Ф. Друеарее, 1964). Р е ш е н и с. Как и в задаче 1, в случае слабого электрического поля существенны большие расстояния от центра 1дгг » 1).
Па этих расстояниях волновая функция связанного состояния электрона в яме (без поля Е) ил2еет асимптотический вид Ал/х т где А — безразлгерная постоянная, зависящая от конкретного вида ямы 1 В параболических координатах имеем г = (б + 21)/2, и в области 21 » б волновая функция принимает вид ф ехр [ — — (б -Р у)] . 16) 1 ) Гак, если радиус ямы а настолько мал, что ам « 1, то А =- 12х); см.
— 112 подробнее в 3 133. причем 212 = 1/Е. Произведя интегрирование и пренебрегая везде, где это возможно, Лоб по сравнению с единицей, получим И) Полный поток вероятности через плоскость, перпендикулярную к оси 2, т.е.искомая вероятнОсть ионизации ю, есть ш = / ~2У~ г„22грйр о 1р цилиндрический радиус в указанной плоскости). При больших у и лгалых б можно положить 364 гл х атом Ниже в этой задаче массы, длины и времена будут измеряться соответственно в единицах т, 1/и и т/Ья .
Функция 16) распадается на произведение функций от б и щ При наличии электрического поля зависимость !г от б можно считать 1как и в задаче 1) той же, что и в 16). Для определения же ес зависимости от !1 обращаемся к уравнению Шредингера в параболических координатах. При этом 1в отличие от случая кулонова поля), ввиду быстрого убывания поля ямы. на существенных для задачи больших расстояниях этим полем можно вообще пренебречь. Разделение переменных в уравнении Шредингера приводит тогда снова к уравнениям 177.11), в которых надо положить Е .= — 1/2, т = О! а параметры разделения удовлетворяют тспсрь условию В! + дг = О.
Параметр В! надо положить равным 1/2 1так, чтобы зависимость !)! со е удовлетворяла первому из уравнений 177. 11) — приближенно, при малых бб); тогда дз = — 1/2 и для определения зависимости !)! от г1имеем уравнение д Х / 1 1 1 Е , + ( -- — — -~ —, 4- — 9) Х = О, Х = т,/щ дг1 '1 26 '16 Решая его так же, как решалось уравнение 12), получим теперь вместо 13) ш *,(- — /,,—.) г 4А (ра г1оР чо причем ИО) =- Далее, вместо 14) получается и, наконец, вместо 15) / 2 гс =- хА д ехр ~ —— '1, ОВ/ или, в обычных единицах ,ффАз / 2йзмз ) ш= ехр (— Йм (, Зт~с~Г 3.
Оценить с экспоненциальной точностью вероятность вырывания электрона из потенциальной ямы под действием однородного переменного электрического поля В = Во соээ!1;предполагается,что частота и амплитуда поля удовлетворяют условиям Гиэ « Е), )е)бо « 6~я~/ти, где я =. „~2т~Е~/!!, ~Е энергия связи электрона в яме 1Л. В. Келдыш, 1964') . ') Речь может идти, например, об ионизации однозарядного отрицательного иона сильной световой волной; потенциальная яма создается в этом случае взаимодействием электрона с нейтральным атомным остатком. Условие Йгс « ~Е~ обеспечивает при этом допустимость классического рассмотрения поля электромагнитной волны. з 77 АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Н .
Н1р, т) = 4 (р 4- — з1ВПТ), 18) Р е ш е н и е. При поставленных условиях вероятность вырывания ю экспоненциэльно лаала. Для вычисления одного лишь показателя экспонен- ты 1без предэкспоненциального множителя) достаточно рассматривать дви- жение как одномерное — в направлении поля, ось в. Здесь будет удобным описывать электрическое поле не скалярным, а векторным потенциалом: А, = А = — 1сбо/ао) ейный Тогда гамильтониан электрона в области вне ямы примет вид 1 / . д )е)ба Н = ~ — лб -~- ып ой) 2т~, дс ы 1сль ниже 1111.3)) и не содержит координаты ю Введя безразмерные пере- менные и безразмерные параметры — = 2 О 2та' Йоа ~~~~ба т= 1, т=2лгс, 2т ' ' йаг~ ~Е~ й~агз напишем уравнение Шредингера в виде 1длР / д лŠ— — = — ~ — + — зш Йт) Ф.
4дт ~дц П Граничное условие к этому уравнению состоит в требовании, чтобы при и — л 0 его решение лр(О, т) совпадало с невозмущенной полем волновой функ- цией электрона 1с энергией Е = — ~Е~) в яме: 4л -л е" при а1 -л О. 17) Ввиду квазиклассичности задачи ищем решение 1с экспоненциальной точ- ностью) в виде Чл .= ехр го, где З1л1,т) †.классическое действие.
Гак как гамильтониан не зависит от координаты и, обобщенный импульс ро = р сохраняется вдоль классической траектории, так что д = — ~ Н1р, г') дт' 4- пр 4- А, а где А, го — постоянные. При этом, по смыслу действия как функции коор- динат Осм. 1, З 43), надо под р понимать значение, приводящее траекторию в заданную точку и в момент т, т.е.
считать р функцией от и и т, опреде- ляемой уравнением движения дд/др = сопзц т. е. дН1р, ') ~9) др а 1постоянная выбрана так, что и = 0 при т = то). Формулы 18), 19) дают действие, зависящее от двух постоянных: го и А. Чтобы получить решение, удовлетворяющее условию 11), надо лкак при нахождении общего интеграла уравнения Гамильтона — Якоби — см. 1, З 47) считать А функцией от го, а гав функцией координаты и времени, определяемой условием — -=О.
110) дго Очевидно, что надо положить А(то) = то; тогда при и = 0 вместе с т = то будет и д = го, т. е, д = т в согласии с условием 17). Равенство 110) теперь переписывается как Н'1р, то) — , '1 = О. (11) атом гл х Уравнения (9) и (11) совместно определяют функции то(О, г) и р(п, т), а тем самым (после подстановки в (8)) и волновую функцию»р(П, т). Искомая вероятность ю пропорциональна плотности потока вдоль оси ю В классически доступной области эта плотность есть о,)Ф~~. Начало этой области определяется точкой, где перестает возрастать 1ш Я. В этой точке (д1ш 5/дц) = О,а поскольку дд/дц =- р,то 1ш р = О;из (9), (11) следует тогда,что здесь же и Ке р = О.Из этого условия определяется значение то: положив в (11) р = О, тюлучим 4г о й~ зш йто = — 1, откуда й 1,г2т)Е( йто =-1Агзй у, у = = о» 2Г )е)Ео (мнимость »момента времени» го выражает собой классическую неосуществимость процесса).
Окончательно а Г4~' . о ю схр — 211п / сйп йт'дт + то / йз причем в качестве т можно взять любое вещественное значение (мнимая часть интеграла от него не зависит). Вычислив интеграл, получим ю ехр ~ — ((у)), Д(у) =- (1-~ — ) Агап у — . (12) Предельные выражения функции» (7): у(.~) — при т << 1, ((у) — 1п21 — — при у >> 1. 22 3 2 Предельное выражение ю при т — » О отвечает вероятности вырывания частицы из потенциальной ямы постоянным полем. Формула (12) применима, если показатель экспоненты велик. Для этого во всяком случае должно быть Ьо» « ~Е. ГЛАВА Х1 ДВ'УХАТОМНАЯ МОЛКК~ЛА й 78. Электронные термы двухнтомной молекулы В теории молекул основную роль играет тот факт, что массы ядер атомов очень вслики по сравнению с массой электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
