III.-Квантовая-механика (1109680), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е. общее расщепление уровня при эффекте Штарка примерно пропорционально п2. Увеличение расщепления с главным кван- товым числом естественно: чем дальше от ядра находятся элек- троны, тем больше дипольный момент атома. ) В этом параграфе мы пользуемся атомными единицами. г) Этот результат был получен Шварцпг льдом и Этипгейном (К.
БЦтаггвсЫ1д, Р. Ерв1егп, 1916) на основании старой квантовой теории и Паули и Шредппгером (1926) с помощью квантовой моханики. 357 277 АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ наличие линейного эффекта озгпшает, что в невозмущенном состоянии атом обладает дипольным моментом со средним значением 3 д, = — — п1п1 — п2). 177.3) 2 Это находится в согласии с тем, что в состоянии, определяемом параболическими квантовыми числами, распределение зарядов в атоме не симметрично относительно плоскости е = О 1сеь 2 37).
Так, при п1 > п2 электрон находится преимущественно на стороне положительных е, а потому дипольный момент атома противоположен внешнему полю (заряд электрона отрицателен!). В предыдущем параграфе было указано, что снятие вырождения однородным электрическим полем не может быть полным — остается во всяком случае двукратное вырождение состояний, отличающихся знаком проекции момента на направление поля 1в данном случае состояний с проекциями момента, равными хт). Однако из формулы 177.2) видно, что в линейном штарк-эффекте у водорода даже такое снятие вырождения не достигается, смещение уровней 1при данных п и п1 — п2) вообще не зависит от т и п2. Дальнейшее снятие вырождения происходит в эффекте второго приближения; вычисление этого эффекта представляет интерес тем более, что в состояниях с п1 = пг линейный эффект Штарка вообще отсутствует.
Для вычисления квадратичного эффекта неудобно пользоваться обычной теорией возмущений, так как при этом пришлось бы иметь дело с бесконечными суммами сложного вида. Вместо этого воспользуемся следуюгдим несколько видоизмененным методом. Уравнение Шредингера для атома водорода в однородном электрическом поле имеет вид — 2А+ Е+ — — ЕЕ)~ = О. ( 1 1 2 Как и уравнение с с' = О, оно допускает разделение переменных в параболических координатах. Та же подстановка 137.7),что и в 2 37,приводит к двум уравнениям г -"( — "') (-'-=-'-') =- 177.4) ~у е 2 )22 ) + ~ 22 + 22 )22 = 122Л~ 121+)32 = 1~ НЛ НП 2 4В 4 отличающимся от 137.8) наличием членов с б.
Будем рассматривать в этих уравнениях энергию Е как параметр, имеющий данное определенное значение, а величины Д1,,32 как собственные 358 гл х хтом значения соответствующих операторов )легко убедиться в том, что эти операторы самосопряженные). Эти величины определяются при решении уравнений как функции от Е и б', после чего условие )31+ До = 1 определит энергию как функцию внешнего поля. При приближенном решении уравнений 177.4) рассматриваем члены, содержащие поле б, как малое возмущение. В нулевом приближении 1с = 0) уравнения имеют известные уже нам решения ~1 = ъ~е ~„, (~е), 7о = ~Й~„„„(г)е), 177.5) где функции 7'„,„, те же, что и в (37.16), а вместо энергии введен параметр е= У вЂ” 2Е.
177.6) Соответствующими значениями величин Ды )3э )согласно равенствам 137.12), в которых надо заменить п на 1/е) будут )31 — — (п1 + ' ) е, )1 = (пэ + ) е. (77.7) Функпии 11 с различными значениями п1 при заданном е взаимно ортогональны, как собственныс функции всякого самосопряженного оператора 1мы пользовались уже этим фактом выше при рассмотрении линейного эффекта), в 177.5) они нормированы условиями о о Поправки первого приближения для Д и фэ определяются диагональными матричными элементами возмущения рц) г / ~2)2 ~~ 3(Ц ~ / 2у2 о о Вычисление дает ,9 = —,16п1 + бпг~т~+ т + бп1+З~т~+2).
Выражение для Дэ отличается заменой и1. на по и переменой % знака. Во втором приближении имеем, согласно общим формулам теории возмущений, (о) ь2 ~Ы') 4"1 )-4"< ))' и'гп, 359 277 АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Интегралы, входящие в матричные элементы (г~)„,„, вычислепгп ны в 31 математического дополнения. Отличны от нуля только элементы гг'е..,— =ы'>.,— .,=-4<2. -:-~ о.йь+мтг. (С )пг.пг — 2 = (С )пг 2пг г П1(П1 — 1)(П1+]т])(П1+]Ж] — 1).
Стоящие в знаменателях разности равны 12' (П1) — 12' (пг) = е(пг — пг). В результате вычисления получается йг )31 — — —, (]т] + 2пг+ 1)(4т2 + 17(2]т]пг+ + 2П21 + ]т] + 2П1) + 18] (выражсние для 122 отличается заменой пг на П2). Собирая пойй лученныс выражения и подставляя в соотношение г31 + (22 = 1, получим уравнение еп —,'(17п +51(пг — п2) — 9т, +19]+-Š—,(пг — П2) = 1.
Е п 2 2 2 3 п 1бе~ 2 е Решая его последовательными приближениями, получим во втором приближении для энергии Е = — Е2гг2 выражение Е = — —, + — Еп(пг — п2) — — п (17п — 3(пг — п2) — 9т +19]. 1 3 Е' 2 2 2иг 2 1б (77. 8) Второй член представляет собой известный уже нам линейный эффект Штарка, а третий искомый квадратичный эффект (С. У'епгее1, Е Ка11ег, Р. Ере1егп, 1926).
Отметим, что эта величина всегда отрицательна, т.е. благодаря квадратичному эффекту термы всегда смещаются вниз. Среднее значение диполь- ного момента получается дифференцированием (77.8) по полю; в состояниях с пг = п2 оно равно г1, = (п~,18)(17П2 — 9т + 19)Е. (77.9) Так, поляризуемость атома водорода в нормальном состоянии (и = 1, т = 0) равна 91г2 (см, также задачу 4 3 76). Абсолютное значение энергии водородных термов быстро падает с увеличением главного квантового числа п, а штарковское расщепление возрастает.
В связи с этим представляет интерес рассмотрение штарк-эффекта сильно возбужденных уровней в полях настолько сильных, что произведенное ими расщепление Збо гл х атом сравнимо по величине с энергией самого уровня и потому теория возмущений неприменима') . Это можно сделать, воспользовавшись квазиклассичностью состояний с большими значениями п. Подстановкой (77.11) Г ,МЮ=а о«=(...ю., бг чг Г (2(е/г — Г (гЗ гг = ( ~-1/г) (77.13) 1и1, и2-- целые числа) г) . Эти уравнения определяют в неявном виде зависимость параметров )г1, )г2 от Е.
Вместе с равенством ' ) Применимость теории возмущений к высоким уровням требует малости возмущения лишь по сравнению с энергией самого уровня 1энсргией связи электрона), а не с интервалами между уровнями. Действительно, в квази- классическом случае (который как раз представляют сильно возбужденные состояния) возмущение может считаться малым, если вызываемая им сила мала по сравнению с силами, действующими на частипу в невозмущенной системе; но это условие эквивалентно указанному выше. ) Подробное исследование показывает, что более точный результат получается, если в выражениях для сгь сгг вместо т — 1 писать ти . Целые г г числа пг, пг совпадают тогда с параболическими квантовыми числаыи.
Л ж1/Л~ У2 х2/хЯ (77.10) уравнения (77.4) приводятся к виду лх /Е А ' — 1 г +1 + г ь)Ж1 — 0~ дс' 2 8 4с~ 4 ГЕ 13г т — 1 8 г + 1 + г + г))Х2 й1~ 2 г1 4г1' 4 Но каждое из этих уравнений имеет вид одномерного уравнения Шредингера, причем роль полной энергии частицы играет Е(4, а роль потенциальной энергии — соответственно функции Фг т' — 1 б 2 8 г 8 28 88г 8 (77.12) „Вг т — 1 8 сг21г)) = + г Г). 2п 8Ч~ 8 На рисунках 25 и 26 изображен примерный вид этих функций (для т > 1).
Согласно правилу квантования Бора — Зоммерфельда (48.2) имеем з 77 АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ )31 + )32 = 1 они определяют, следовательно, энергии смещенных электрическим полем уровней. Интегралы в уравнениях (77.13) могут бьггь приведены к эллиптическим; ре1пение этих уравнений возможно лишь в численном виде. Штарк-эффект в сильных полях осложняется еще и другим явлением ионизацией атома электрическим полем (С. Еапсеоз, 1931). Потенциальная энергия электрона.
во внешнем поле Ел принимает при з — > — со сколь угодно болыпие отрицателыгые значения. Накладываясь на потенциальнукг Е1 (г энергию электрона внутри атома, она приводит к тому, что областью возможного т движения электрона (полная энергия Е Рис. 25 которого отрицательна) становится, наряду с областью внутри атома, также и область болыпих расстояний от ядра по направлению к аноду. Эти две области разделены ~' 2 потенциальным барьером, ширина которого уменыпается с увеличением поля. Но в квантовой механике всегда существует некоторая отличная от нуля вероятность частице Л1 Ч2 -4- 1 — — — — — — пройти через потенциальный барьер. В данном сгтучае выход электрона из области внутри атома через барьер наружу представляет собой не что иное,как ионизацию атома.
В слабых полях вероятность такой ионизации исчезающе мала. Она, однако, экспоненциально растет с полем и в достаточно сильных полях становится значительной') . Задачи 1. Определить вероятность (в единипу времени) ионизации атома водорода (в основном состоянии) в электрическом поле, удовлетворяюпГем условию Е «1 (Е «т ~е~*"/6~ в обычных единицах). 1 ) Описываемое явление служит иллюстрацией того, как малое возмущение может изменить характер энергетического спектра. Уже слабое поле Е достаточно для того, чтобы создать потенциальный барьер и сделать область вдали от ядра принципиально доступной для электрона. В результате движение электрона становится, строго говоря, инфинитным, и потому энергетический спектр из дискретного превращается в непрерывный. Тем не менее формальное решение, получаемое по методу теории возмущений, имеет физический смысл: оно определяет уровни энергии состояний, которые если и не вполне, то «почти стационарным Атом, находящийся в таком состоянии в некоторый начальный момент времени, останется в нем в течение длительного промежутка времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
