И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Поскольку операция симметрии все~да оставляет молекулу неизменной, ее не- приводимое представление-единичная матрица. Характер единичной матрицы равен числу ее строк или столбцов, как это показано ниже.' Š— ~1~ 1 Отсюда следует, что характер Е всегда ривен размсрттоспти данного неприводимого представления. Одномерные представления невьтрожденны, а дву- и многомерные представления вырожденны.
Смысл вырождения обсуждается в гл. 6. Настало время составить полную таблицу характеров. Таким примером для точечной группы С,„является табл. 4-б. Рассмотрим теперь те символы, которые используются для обозначения неприводимых представлений. Это так называемые символы Малликена; более полно они представлены в табл.
4-7, а их смысл поясняется ниже. Буквы А и В используются для обозначения одномерного неприводимого представления в зависимости от тото, симметрично или !Элвл л »! Ось ь, перпендикулярна гвввной асн. Таблиц» 4-6. Полная таблица характеров лля точечной ~ руппы С, Таблица 4-7. Обозначения непринодиыых представлений для конечных групп антисимметрично оно по отношению к вращению вокруг главной оси в данной точечной группе.
Под антисимметрией понимается изменение знака или направления (антисимметрия обсуждается в следующем разделе). Характер для симметричного представления равен +1, и зто обозначается буквой А. Антисимметричность обозначается буквой В, ее характер — !. Символ Е" используется для двумерных, а символ Т (иногда Е) -для трехмерных представлений. Подстрочные индексы д и и указывают на симметрию или антисимметрию данного представления по отношению к инверсии. В немецком языке счово дегаИе означает «четный», а инде»оде — «нечетный». Надстрочные индексы «'» и « "» указывают, симметрично или антисимметрично неприводимое представление по отношению к горизонтальной плоскости симметрии со- * Не путать с операцией иле»личности, которая лакже обозначается буквой Е.
ответственно. Индексы ! и 2 для состояний А и В соответствуют симметричному (!) и антисимметричному (2) поведению относительно оси С, перпендикулярной главной оси, а при ее отсутствии- вертикальной плоскости симметрии. Смысл индексов ! и 2, относящихся к Е и Т, сложнее и здесь не рассматривается. В таблицах характеров бесконечных групп С„, и Овв используются греческие, а не латинские буквы: так, ь закреплена за одномерными, а буквы П, Ь, ф и т.д. за двумерными представлениями.
Всегда возможно найти такую характеристику, которая остается неизменной при любой операции симметрии в данной точечной группе. Таким образом„всегда имеется неприводимое представление с характерами только +1. Это полностью симметричное лепр«вод«мое лредсшивленпе, и оно всегда стоит первым в любой габлице характеров. Таблицы характеров обычно состоят из четырех основных частей (иногда из трех, если последние две части объединены в одну), как зто видно на примере табл. 4-6 (для Сьы) и табл.
4-8 (для С,„). Первая часть таблицы содержит символы группы (в левом верхнем углу) и символы Малликена, относящиеся к размерности представлений и их связи с различными операциями симметрии. Вторая часть таблицы содержит операции классов симметрии (верхняя строка) и характеры неприводимых представлений группы. Третья и четвертая части таблицы характеров содержат некоторыс базисные функции данной группы, применяющиеся в химических задачах. В третьей части находятся шесть символов: х, у, г, Я„Л„и Вы Первые три относятся к декартовым координатам, которые мы уже использовали в качестве базиса для точечной группы С „.
Символы Я„, Л. и В, обозначают вращения относительно осей х, у и -. Последствия, в возникающие при применении операций симметрии к врашенинь можно наглядно показать на примере детской игрушки .юлы. Выведем характеры для вращения вокруг оси г в точечной группе Сл„(рис. 4-10,а). Очевидно, что операция идентичности оставляет вращающуюся юлу неизменной (характер !).
То же самое случится и с вращением относительно той же оси, поскольку поворотная ось симметрии неотличима от оси самой игрушки. Соответствующий характер опять равен 1. Теперь поставим рядом с вращающейся юлой зеркало (рис. 4-10,о). Не важно, !де именно находится зеркало, но вращение в зеркальном Таблица 4-8. Таблица характеров лля группы С,„ Глава 4 ) ( 'т!11!! Пыы !з!!)! Сз Ь Рис. 4-!О. а единичная операция и ось Сз в применении к врвщвюгпейся юле; б -операция отражения для вращающейся юлы. отображении будет всегда иметь противоположное направление по отношению к реальному вращению. Следовательно, характер равен — 1. Таким образом, характеры вращения относительно оси в точечной группе С„, будут 1 1 — 1.
Действительно, )с. принадлежит к неприводимому представлению А, и таблице характеров для Сзы Другими словами, )г, преобразуетсн как Аз, или оно образуегп базис для А . Четвергая часть таблицы характеров содержит все возможные квадраты и смешанные двойные произведения координат. согласно нх поведению под влиянием операций симметрии. Все координаты и их произведения, перечисленные в третьей и четвертой частях таблицы характеров, являются важными базнсными функциями. Они имеют одинаковые свойства симметрии подобно атомным орбиталям с теми жс индексами; е соответствует р., т' — уз соответствуют т/„з и т.д. С этим мы встретимся еще раз при обсуждении свойств атомных орбиталей.
С азгтнсимметрией мы сталкивались уже несколько раз, но для нас это все-таки совершенно новое понятие. Кроче того, антнсимметрия является той областью, где химия встречается с другими науками блан!даря концепции симметрии, объединяющей всех нх неповторимым образом. «Оггерапии антисимметрии преобраз>ют предметы, обладагощ дву мя возможными значениями данного свойства, так, что одно значение переходит в другое» [61.
Простейшая демонстрация операции анти- симметрии -это изменение цвета. На рис. 4-11 показаны операции идентичности и аитиидентичности. Разумеется, в первом случае нет никаких изменений, а во втором происходит обращение черно-белой окраски. Антизеркальная симметрия может существовать вместе с зеркальной симметрией (рис. 4-12); дополнительные примеры антизеркальной симметрии приведены на рис. 4-13. В качестве элементов антисимметрии могут выступать многие эле- Ш менты, а не только плоскость симметрии. Так, например, на рис 4-14 ( убникову (83) присутствуют антиповоротные оси второго, четвертого и шестого порядков. Антиповоротная ось четвертого порядка включает поворотную ось второго порядка, а антиповоротная ось шестого порядка — поворотную ось третьего порядка.
Элементы антисимметрии имеют те же обозначения, что и обычные элементы, за исключением того, что они подчеркнуты. Розетки, изображенные во второй строке на рис, 4-14, характеризуются агггизеркально-поворотной осью. Антипо- Рис. 4-! ! Примеры применения операции идеи гичиости (всрхияя часть рисунка) и операции витиидсигичиости (сиизу). Рис. 4-!2 Примеры зеркальной (1- 2 и 3 — 4) и аптизсрквльиой (1-.4 и 2 3) симметрии. 34 !553 Вшил 4 з! а л г-е ! с е$$®ф~ 2.т гл' Рис.
4-13 Примеры антнзеркадьиай симмегрии и прввосзавнвя церковь н Загорске. (По свидсгельогву ввторв сннмкв злесь изобркнен Иоводевизии монастырь в Москве - Прим дерев ! С лгобезного рвзрсшеиия автора снимка А А. Иванова !Москвв1; б-персис ение !зоран пв гклнь 171: в змблемв предприятий ТоЬО5КАМ.
Булвпешт, е репродукция Викгорв Вкшпреия Воспроизводится с разрешения воротные оси появляются в комбинации с одной или более плоскостями симметрии, перпендикулярными плоскости рисунка в третьей н чствсртой строках на рис. 4-14. Наконец, лля фигур в нижней строке этого рисунка обычные поворотные оси комбинируются с одной или более плоскостями антизеркального отражения.
Действительно, встречаюшийся здесь тип симметрии 1 т также харакуереп для иллюстраций, изображенных на рис. 4-12 и 4-13. Вышеупомянутые примеры касались только простейших точечных групп. Черно-белые вариации это опять простейший случай того, что называют симметрией цвета. Это область обширна и сложна, а се значимость начинает осознаваться только постепенно [8-! 1З. Единственный пример сложности цветовой симметрии — это кубик Рубика. В одноцветном исполнении кубик имеет много элементов симметрии, среди которых . поворотная ось четвертого порядка.
проходяшая через середины противоположных граней. В своем первоначальном, несмешанном сос!оянии кубик Рубика имеет все грани разных пвегов. По этой причине упомянутая ось симметрии четвертого порядка уже не является Рнс. 4-14 Операпни антисимметрии: антипаааратные аси 2, 4 и 6; антнзеркальиа-наваразные аси 2, 4 и 6; антипаворотныс аси в сочетании с обычными плоскостями симметрии 2 т, 4.
т, 6 т; абычныс поворотные асн в сочетании с плоскостями аитизеркальиага отражения 1 т, 3 т 1на Шубиикаиу Щ). Васпраизиодитсв с разрешения издательства «Наука», Москва. !.ынл 4 По кл шьш и и и ~нзчл лнй щп ~!з|з Два диагноза Д-р Сзйм ?на призывном пункте) Убитый горем, печильиый хилый мужчина с тоскливыми глази.ии и трясущимися конечностями, не человек, а развалина. Ссутулясь, оя делает шаг вперед и стоит перед доктороле покагилива ч. Гоеорвпз тихо. почили игепотом.
Л-р Сзйм ?в страховой конторе) Молодцееатьлй мужчиии спортилчого види с античной еьтриекой и блестя- щими глазами. Слегка покачиеиясь, чеканным лиагом идет по комнате. У него звучный баритон. Врач Сколько Вам лет? Сколько лет?.. я очень, очень стар. Застенчиво.О, черт возьми, даже не- удобно сказать... зто звучит глупо.
С горечью. Быть старым - это значит не удалиться от колыбели, а нрибли- зитьса к могиле. Быть молодым эго не значи~ быть рядом с колыбелью, зто значит быль далеко от могилы. Ваши родители живы? Едва живы, если зто можно назвать :кизнью; они проводят дни и ночи, мучаясь угрызениями совести из-за того, чго дали жизнь такому жалкому и больному подкидышу, рожденному. чтобы страдать и приносить страдание. Мой отец по праву старшего зани- мает пост председатели клуба долго- жителей Делает вдох ках малелзькая певчая пичужка Делает мои?иый вдох, достаточный выя того, чтобы пробыть под водой целых дне недели.
элементом симметрии для кубика Рубика. Однако все-такн возможно сохранить понятие такой осн, но его уже нужно буде~ связать с определенным изменением цвета граней кубика. Чтобы ззо сделать, необходимо знать, как раскрашен кубик. Рассмотрим расцветку, которая поясняется на рнс. 4-)5. Вообразим ось четвертого порядка, проходящую через центры, например, желтой и белой граней. Тогда поворотная ось четвертого порядка будет меня~и цала граней за каждую четверть поворота в следующем порядке: красный — синий-оранжевый зеленый-красный или же красный-зеленый оранжевый-синий- красный в зависимости от направления вращения. Вышеприведенные примеры относились к точечным группам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
