И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Оперирование такими большими матрицами затруднено и требует много машинного времени. Эту задачу можно упростить. Мы здесь не будем подробно обсуждать, как зто можно сделать в общем случае, поскольку в следующих главах используется самый легкий и быстрый способ, связанный с применением матричных представлений. Мы просто кратко поясним метод, козорый приводит малопривлекательные и громоздкие представления операпий симметрии к более простой форме г!!. С помогцью подходяшего преобразования подобия обычную маз рицу можно превратить в так называемую б.ючно-доаголальлу!» манзр»яу.
В такой матрице ненулевью элементы сгруппированы только в квадратных блоках, расположенных вдоль диагонали, проходяшей из левого верхнего в правый нижний угол. Например, типичная блочно-див!опальная матрица имеет вил ! 2 3!О О О ! 4-1 2!О О О ! 3 1-2!О 0 0 1-- О 0 О!5!О О ! 0 О О О!1-1 ! О О 0 О!1 2 ! Досзоинства таких матриц лучше всего проявляются прн их умножении.
Допустим, например, что нужно перемножить две матрицы размера 5«5: ЗЯО Гзымз 4 Иолсшыи и;з ~с з,зтический яиняраз Образизе внимание на зо, что произведение двух одинаковых блочнодназ опальных матриц (как в вышеприведенном примере) также является блочно-дияз опальной матрицей идензнчной конструкции. Но особенно важно то, что эта рсзулширу>ощая матрица получается просто умножением соответствующих индивидуальных блоков исходных матриц. Проверим это лля рассмгзтривасмого случая.
з] з з] 2 1+3 2 2 2+3.1~( 1 1+2.2 1 2+2.1~ ~2~ . ~11 — ~2~ В общем виле, если две матрицы А н В с помощью преобразования подобия могут бып, приведены к блочно-диагональным матрицам, имеющим одинаковую форму. их произведение С имеет аналогичный вил: Опер;щия умножения справедлива н для индивидуальных блоков: А,.В, =С, А, В =С '(з ' Вз = Сз Поскольку свми блоки подчиняются той же таблице умножения, по и большие матрицы, каждый блок будет новым представлением для некоторой оперяпни группы. Так если вышеупомянутые матрицы А и В являюзся гзредсгявлегзнями для соответствук>ших операций симметрии сз, и и, в гочечной з рупие С,, то жо же самое относится и к матрицам А, 4 . Аз и В,.
В . Вз соогвегсгвеппо. Таблица умножения для Сз,, (табл. 4-!) свидешльсзвуст, что и, и,'=Сз А, ' ) (Аз( ( зз в, ' Вз Вз С, ' (С,, 1 Сз По этой жс причине не золько полная матрица С, но и малые матрицы С, Сз, Сз будут представлениями операции Сз. Указанным способом з большие матрицы могут нриоодитьгл к малым матрицам, с которыми легче оперировать. Предположим, что обсуждаемые большие матрицы А. В и С вместе с единичной матрицей Е образуют представление для точечной группы Сз, В данном случае это называется ириыодимым лредсоиолеиием группы, желая этим показать, что существует преобразование подобия лля приведения матриц. Затем мы берем каждый индивидуальный блок и пытаемся снова найти такое преобразование подобия, которос езце больше упростило бы их.
Эта операция повторяется до тех пор, пока вдоль диагонали каждой из больших матриц не появятся простейшие блоки. Это состояние будет соответствовать иеприиодимым предстоилеииям. Теперь допустим, что в упомянутом примере малые матрицы уже больше не могут быль упрощены с помощью преобразования подобия В таком случае каждый набор малых матриц, сгруппированных вдоль диагоналей больших матриц, будет неприводимым представлением точечной группы С „т.е. наборы А„В,, С, и Е,; Аз, В, Сз и Ез, а также А,, В, Сз н Е, -неприводимые представления. Таким образом, приволимое представление распалось на трн неприводимых представления. Поскольку операции симметрии могут применяться ко всем видам возможных базисов, выбранных для данной молекулы, существует бесконечное число приводимых представлений.
Важной особенностью является то, чз.о все эти представления могут быть сведены к оебольизому и конечному числу неприводимых представлений практически для всех точечных групп Эти неприводимые представления часто называют тина.ии ги.ззмезззризк они находят применение во многих областях химии лля описания свойств симметрии. 4.4. Характер представления Введение неприводимых представлений -значительный шаг вперед в решении проблемы, связанной с размером исходных матриц. К счастью, возможно даже и дальнейшее упрощенно.
Вместо работы с неприводимыми представлениями можно просто использовать нх .гираюнеры. Преимущества такого подхода будут достаточно хорошо продемонстрированы позже. Пока же дадим определение: заракозер (или след) матрицы это сумма ее диагональных элементов. Для следующей матрицы ,12ОЗ О ° 7,1 1 1 2' О''О 1 -2 3 с4 3Ч! ! ~ь»» Ы . ыиюи~ .:юл и.»чели» . шмь.» характеры 1 + 1 2 с,-~ ] О+0-0 О+0-0 1+1 2 характер ранен 1 + 7 + о + ( -а) = а Поскольку представление, будь то приводимое или неприводимое, это набор матриц.
соответствующих всем операциям симметрии данной точечной группы. хирикьчер предлтиивленил является совокупностью характеров всех этих матриц. В простом базисе Лг, и ЛР, использованном ранее лля молекулы Н)ь)л.(Н, имеющей симмезрию С „, представление состояло из четырех матриц размера 2 х 2: Таким образом.
характер этого представления выражается следующей совокупностью чисел: 2 0 0 2 Однако мы пока це знаем, приводимо или же неприводнмо данное представление. Чтобы ответить на этот вопрос, мы сначала должны знать харакзеры неприводимых представлений точечной группы С зл. 4.5. л дбдццы хдрактеров Характеры неприводимых представлений сведены в специальные тиблицьл хириктерив. Мы здесь не будем касаться того, как находят характеры данного неприводимого представления*. Таблицы харак- * Тем, кто захочет узнать, как зто делается, можно порекомендовать книгу Р Хохштрассера имолекулярные аспекты симметрии» (Мс Мир, !968).-При».
аРреи теров всегда можно найти в учебниках и справочниках, а некоторые из них приводятся в последующих главах настоящей книги. Таблица характеров для точечной группы Сы показана в табл. 4-3. В верхней строке приводится полный набор операций симметрии данной группы. В Табанил 4-3. Предварительная таблица характеров лля точечной группы С,„ левом столбце стоят некоторые временные обозначения, относящиеся к рассматриваемому случаю.
Символ Г обычно используется для обозначения представления. Основную часть таблицы составляют сами характеры. Так, каждая строка содержит характеры неприводимого представления, а число строк говорит о том, сколько неприводимых представлений имеет данная точечная группа. Чтобы пользоваться таблицами характеров, необходимо располагать некоторыми предварительными сведениями. Прежде всего имеются клиссли неприводимых представлений, к которым применимы три следукнцих правила: !.
Обычно операции симметрии одинакового типа принадлежат к одному классу (например, Сз и Сзз или три вертикальные плоскости симметрии в точечной группе С,. 2, Число неприводимых представлений группы равно числу классов в этой группе. 3. Характер любого неприводимого представления одинаков для всех операций в данном классе. Проиллюстрируем эти правила на примере упомянутой таблицы характеров для группы С „. Все четыре элемента симметрии стоят здесь особняком, каждый из них образует собственный класс.
Число не- приводимых представлений точечной группы С,„как раз равно четырем, что точно соответствует числу классов. Табл. 4-4 содержит предварительную информацию, необходимую для составления таблицы характеров точечной группы С,». Полный набор операций приводится в верхней строке. Ясно, что некоторые из них принадлежат к одному классу, поскольку число неприводимых представлений равно 3, а число операций составляет 6. При более внимательном рассмотрении этой таблицы сзановится заметно, что характеры всех неприводимых представлений (Сз и Сз, а также <т„ о» и лт,") равны.
Действительно, обе операции вращения третьего порядка Глава 4 Полезный математический аппарат 205 характеры н н, 1 О 1+1+1 3 н, н, О 1 н, нт г.т 1+1-2 нт н ~н, н, Рис. 4-9. Операции поворота и отражения в плоскости симметрии Лля молекулы аммиака.
н н, Твблиття 4-4. Прслввритсльивя таблица характеров лля точечной группы Сы производят одинаковые изменения с молекулой аммиака, как зто видно из рис. 4-9. То же самое справедливо и для трех вертикальных плоскостей симметрии; все они оставляют на месте один из атомов водорода, а два других меняют местами. Следовательно, С, и С', образуют один класс, ц все три плоскости симметрии (а„а', и о,".) -другой класс.
Таким образом, число классов в С„равно трем, что соответствует числу неприводимых представлений. В компактном виде таблица характеров для С,„ приведена в табл. 4-5. Число операций в данном классе каждый раз обозначено в верхней Таблица 4-5. Компактная таблица характеров Л.'тя точсчиои группы С, строке таблицы характеров. Операция идентичности Е всегда сама является классом; то же справедливо для операции инверсии й Другой важной особенностью неприводимого представления являе~- ся его размерность. Это просто размерность любой из его матриц, что в свою очередь равно числу строк или столбцов матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
