И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1109026), страница 29
Текст из файла (страница 29)
" Синонимами э~ого термина являются «тождественная операцияи и «едииичиаи пперапияи. Прим, иерею Рис. 4-!. Операции симметрии в точечной группе С,. Так, например, произведением, С, означает, что сначала к какому-либо выражению* применяют ось симметрии второго порядка, а затем уже на получившееся выражение действуют операцией отражения.
Теперь применим все эти операции к положениям атомов в молекуле сульфурилхлорида (рис. 4-2, а). Очевидно, тот же самый результат может быть достигнут просто отражением в плоскости о'„, что показано на рис. 4-2, б. Таким образом, имеем гг„сз = о', 2. В общем случае произведение элементов группы не обладает свойством коммутативности. Это означает, что результат последовательного применения операций симметрии зависит от того порядка, в котором они применяются.
На рис. 4-3 показан пример с молекулой аммиака, принадлежащей к точечной группе С„. Результат различается в зависимости от того, применяется ли сначала операция С,, а затем а'„' или же наоборот. Произведение операции идентичности с любым элементом группы обладает свойством коммутативности по определению. Так, например, Сз'Е= Е'Сз и о, Е= Е о, Точечная группа С„необычна в том отношении, что все возможные произведения ее элементов обладают свойством коммутативности. Так, на рис.
4-2, а мы могли бы получить тот же самый результат, сначала применив отражение пн а уже потом поворот второго порядка. 3. Произведения элементов группы всегда обладают свойством ассоциативности. Это означает, что, если имеется последовательность применения нескольких операций симметрии, они могут быть сгруппированы любым образом, не повлияв на окончательный результат, при условии, что порядок их применения сохраняется.
Так, например, С, . о. а'„= С, ( о„а'.) = (С, . а«) а', Вскоре мы познакомимся с такими выражениями. имеющими отношение к строению молекул. 1ЯЛ Глена Л Пол 3ный х33тсх3атичсский аннар33 53 Оа Оа н Нз н Нт или а,, о„'=а.' а,=Е Рис. 4-2. а — последовательное применение двух операций симметрии, С, и о„, к положениям атомов в молекул~ БО2С12; б применение операции о'„к ЯО С1 . 2 32 и и г ~~и, ~к „~ ~~и,~ „~ ~ и, Рис. 4-3 Иллюстрация некоммутативности операций симметрии. 4.
Для каждого элемента Х ~руины имеется обратная или взаимная операция Х ', удовлетворяющая условию Х.Х '=Х''.Х=Е Например, С2 С2 — — С2 ' С2 —— . Е Операции симметрии и обратные им операции можно найти в таблицах умножения групп, Эти таблицы состоят из пронведений элементов ~руин. Примером подобной таблицы для точечной группы С является табл. 4-1. Она построена следующим образом: каждый 2ч элемент группы, т.е. операция симметрии, выписан без пав~прений в верхней строке и в левом сголбце таблицы.
Произведение двух элементов образуется так; первый элемент бере~ся из строки, а второй из столбца, причем порядок применения этих элементов должен строго соблюдаться. Результат находится на пересечении соответствующего столбца и строки. Любой из этих результатов является операцией симметрии, также принадлежащей к точечной группе С „. Действительно, каждая строка и каждый столбец самой таблицы состоят из тех же первоначальных операций, но перераспределенных некоторым образом; однако вы не нагщете двух совершенно одинаковых строк или столбцов.
Из этой таблицы умножения для группы Ст„видно, что обратной операцией для С, является сама С„так как на месте нх пересечения находится Е; сходным образом обратной операцией для о, является а, в этой группе. По аналогии с табл. 4-1 в табл. 4-2 приводится таблица умножения для точечной группы С3,. Здесь вводится новое обозначение †возведен в квадрат: Сз СЗ = СЗ Таблица 4-1.
Таблица умножения для точечной груп- пы С„ Таблниа 4-2. Таблица умножения для точечной группы С3, ~Я 1 мнз 4 И к иизп и, ~ и оп к еии змвпрз' которое означает два последовательных применения поворотной осн третьего порядка. Применив такую операцию один раз, мы получаем поворот на 120, а С', означает поворот сразу на 240"'.
Соответственно обозначение С,' означает поворот на 2 (360')51 = 144 . Число элементов в группе называется порядком груням; для его обозначения обычно используется символ )з. Таблицы умножения для групп показывают, что )з = 4 для точечной группы С,„н lз = 6 для Сз,. Группа может иногда распадаться на два вида меньших образований, называемых подгруппами и классами. Подгруппа — зто меньшая по размеру группа, входящая в данную и обладающая всеми четырьмя основными свойствами группы. Операция идентичности Е все~да образует свою собственную подгруппу, являясь обязательным элементом всех остальных возможных подгрупп. Кзагс — это полный набор элементов (в нашем случае, операций симметрии) группы, сопряженные один с другим.
Сопряжение означает, что, если А и В принадлежат к одному классу, в группе имеется некоторый элемент л; лля него В=7 ' А.е. Такая операция называется преобразованием подобии. Другими словами, В является результатом преобразования подобия для А с помощью У, т.е. А и В сопряжены. Обратная операция может быть применена с помощью таблицы умножения н правила 4, упомянутого выше: 2' ' е. = е. е" ' = Е Для выяснения вопроса, какие операции внутри данной группы принадлежат к одному классу, нужно провести все возможные преобразования подобия.
Проделаем необходимые выкладки для точечной группы С „, начав с операции идентичности: Е ' (Е Е)=Е ' Е=Е (Сз~) ' (Е Сз) = (Сзз) з, Сз Сз Е а„. ' (Е.а„) = о„' о', = о„го„= Е Отсюда можно сделать вывод, что сама операция Е является классом; она коммутирует со всеми другими элементами группы, оставляя их неизменными. Следовательно, она не может быть сопряжена с любым другим элементом. Это общее положение в одинаковой мере справедливо для всех остальных групп. Теперь рассмотрим а„.: Е ' (ае Е)=Е ' ое=Е о„=а, С, ' .
(о„. Сз) = Сз ' а', = Сз. о',. = о",, (Сз) '. (а, Сзз) = (С~~) '. а," = С, а'„' = о'„ Мы проделали все возможные преобразования подобия для операции он Видно, что три операции, относящиеся к вертикальным плоскостям симметрии, принадлежат к одному классу. Мы пришли бы к такому же выводу, если бы рассмотрели преобразования подобия с участием двух остальных операций ом Теперь рассмотрим Сз: Е-' (Сз.Е) = Е- - С, = Е С, = С, Сз ' (Сз Сз) = Сз' Сз = Сз Сз —— С, Согласно этим преобразованиям, С и С' сопряжены и„ следовательно, принадлежат к одному классу. Лорядок класса определяется числом элементов в классе. Так, например, класс операций отражения имеет порядок 3 в группе Сзм а класс операций вращения имеет порядок 2. В общем случае порядок класса или подгруппы является делителем порядка группы*. Математическое описание операций симметрии производится с помгпцью матриц.
4.'. Мд 1рииш Матрица представляет собой прямоугольную по форме совокупность чисел или символов. Эти элементы заключаются в квадратные скобки. Пример матрицы, составленной из чисел, приводится ниже: 5 7 0 — 3 Обычно матрица имеет лз строк и и столбцов: " Из этого утверждения, известного как теорема Лагранжа, вытекает очевилное следствие: группа, порядок которой является простым числом, ие имеет подгрупп.— Прил. иерее. !км ! !.юи, 4 Инде !нмй и.!тематический,!и!мни ! !ач а! ! агэ ...... а! !22! !222 ..—..
а2н Г'.) а ! а„а ...... а „ И .'1 1 0 1 0 0 0 1 одного столбца, например: Вь!шеприведенная матрица изображается заглавной буквой А, другое обозначение выглядит так: 1"!!„~, где подстрочный индекс ! обозначает число строк, О < ! < и!, а индекс ! обозначает число столбцов, О « ' / и. Имеются некоторые специальные матрицы, которые потребуются для нащего изложения, Квадрахпнан и!атри!!и — матрица с одинаковым числом строк и столбцов. В соответствии с общим обозначением матрица [ао1 является квадратной, если т = н. Такой пример приведен ниже; О- собак разновидносэь квадратных матриц — единичная матрица, в которой все элементы, стоящие на диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол, равны 1, а все остальные элементы равны нулю.
Единичная матрица обозначается буквой Е. Три единичные матрицы приведены ниже: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 О 0 1 Сн!нлбвнван э!атр!!на состоит только из Столбцовые матрицы используются для представления векторов. Веки!нр характеризуется длиной и направлением. Вектор в трехмерном пространстве показан на рис. 4-4. Если вектор расположить так, что его начало совпадает с началом декартовой системы координат, то три координаты, описывающие положение противоположного конца, целиком определяют вектор.
Эти три декартовы координаты записываются в виде столбцовой матрицы; Таким образом, эта столбцовая матрица представляет собой вектор. Если столбцовые матрицы используются для описания векторов, то квадратные матрицы применяются для нредсьчивиенин оиераиий сиз!- мен!рии. Выполнение операций симлзетрии с вектором фактически является геометрическим преобразованием. Как же можно эти геометрические преобразования перевести на матричный «язык»? Рассмотрим специальный случай и проанализируем, как операции симметрии, характерные для групп симлхетрии С„могут быть применены к вектору, изображенному на рис.
4-4. В матричной форме мы сначала записываем (или обычно представляем себе это в уме) координаты первоначального вектора в верхней строке, а координаты вектора, получающегося в результате операций симметрии, в левом столбце: х, у, -, ~ — исходный вектор результирующий х,' ~ вектор у,' ~ г!' Затем мы подробно исследуем результат применения операций симметрии. Если данная координата преобразуется сама в себя, то на место Рис. 4.4. Представление вектора н трехмерном пространстве. ! )олс~нь и пв~смв~пчсььпа з~ ~ырз~ ! лпвп а щп хз Уз х~' 1 0 О у, О 1 О х1' О 0 1 муо-кз «в' 1 О 0 у, О 1 О л1' 0 0 -1 1 х1+О уз+О а~ х, 0 х,+1 уз+О х1 - уз 0 хв + О у, + (-1)аз -аз их пересечения ставится 1; если при преобразовании меняется знак, то ставится — !. Эти символы появятся на диазонали матрицы.
Если же координата преобразуется в другую координату со знаками + или —, то в местах соответствующих пересечений появятся 1 или — 1; это будут уже недиагональные элементы. В точечной группе С, имеются две операции симметрии, Е и о„. Операция идентичности Е не меняет положения вектора, поэтому она может быть представлена в виде единичной матрицы: В другом обозначении это выглядит так: Е о, = с, Если а," — элементы матрицы, а Ь вЂ” компоненты вектора, то компоненты П 1 вектора с,, являющегося произведением, выражаются следующим образом: с,.
= ~ аы. Ьэ Чтобы получить первый матричный элемент результирующего вектора, все элементы первой строки квадратной матрицы умножаются на соответствующие элементы столбцовой матрицы, а затем складываются, Чтобы получить второй матричный элеменг, повторяется та же самая процедура со второй строкой матрицы и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
