А.К. Боярчук, Г.П. Головач - Дифференциальные уравнения в примерах и задачах (1109000), страница 9
Текст из файла (страница 9)
15). из условия равновесия трех сил Т(зз), ЬР и Т(р+ /ьр), с точностью до бесконечно малых величин угла Ь р, слелуют равенства Т(р ч- тарду+ о(!йр) = !АР, Т(р + Ь)з) — Трр) + о(/ьы) = ЬР, где ЬР— сила трения, действуюшая на указанный элемент. Согласно условию, 21Р = й/зР, поэтому из (!) получаем соотношение Т(уг+ /ьм) — Т( р) = йТОр+ /ьуз)ьр+ о(~р), из которого известным читателю способом легко получить дифференциальное уравнение вТ вЂ” = йТ. Ыр Его решение — Т = Т,ею. Пусть при (з = 0 Та — — 10 кГ.
Тогда при р = бя (что соответствует трем виткам) Т = !Ое " ш 5355 кГ. М 57. На врашаюшийся в жидкости диск действует замелляюшая его двюкепие сила трения, пропорциональная угловой скорости врашения. Найти зависимость угловой скорости от времени. 28 Гл. 1. Двффереипиальиме уравнения вервого порядка если вначале диск вращался со скоростью 100 оборотов в минуту, а по истечении одной минугы— 60 оборотов в минуту. < Пуси ы(!) — угловая скоростьдвижения диска. Тогда, согласно закону изменения момента количества движения, имеем аы г — =М, (1) где г — момент инерции диска, М вЂ” момент сил, действующих на диск.
По условию М = лры (ле — — сопя), поэтому уравнение (1) принимает вид йы — =йы, л= —. <й ' 2 Его решение — ы = маем. Пусть ш измеряется в оборотах за минуту, а время ! — в минутах. Тогда ьгз —— 100, 60 = 100е", откуда е" = 0,6. Таким образом, требуемая зависимость имеет вид ы = 100(0,6)' об/мин. М 58. В закрытом помещении объемом Ум' находится открытый сосуд с водой. Скорость испарения воды пропорциональна разности между количеством Ч, водяного пара, насыщающего ! м воздуха при данной температуре, и количеством Ч водяного пара, имеющимся в !и воздуха з в рассматриваемый момент (считаем, что температура воздуха н воды, а также величина площади, с которой происходит испарение, остаются неизменными). В начальный момент в сосуде было пге г воды, а в 1 м воздуха Чр г пара, Сколько воды останется в сосуде через промежугок з времени !? м Пусть Щ) — количества испарившейся воды в граммах за время !.
Тогда, согласно условию, скоРость испаРениЯ -т - Равна величине Дф — Ч), т. е. имеем диффеРенциальное УРавнение ло = к(В Ч) с! (1) где й — коэффициент пропорциональности. Найдем значение Ч. Очевидна, что (У гло ' 10 ) Ча = (Рь есп количество пара в граммах, которое было в помещении, а (У-, 10-')Ч,+д=(), — количество пара в граммах в помещении в момент времени й Ясно, что колнчеспю !2з было равномерно распределено в объеме Уз = У вЂ” пга'1О +(г'10 (число 10 ~ везде фигурирует вследствие того, что 1 г воды занимает 1смз = 1О ~м объема). Поэтому (2, (У вЂ” где!0 ) Чз+() (2) Уз ! - 10-ь(, + (2) ' Если У Ъ 1О г(гла -ь 6)), то из (2) можно получить более простую формулу для Ч: УЧо + (е !е Ч= У = Чо+ Подставив (3) в (1), получим окончательное дифференциальное уравнение Н~ Г ()'! — =«~~Ч,-»,— — ), (! ~ У/' проинтегрировав которое, получим: Ц(!) = У(Ч, - Ча)+ Се У, ПосколькУ (2(0) = О, то отсюда следУет, что С = -У(Ч, — Ча).
Таким обРазом, дла оставшейсЯ в сосуде воды имеем формулу нХ гл~(!) = гие — У(Ч~ — Че) (1 — е р') ° м 29 в 3. Однородные уравнения и уравиеяия, ириведюциеев к иим МС+ си) — МС) = Ьр, (1) где р — импульс внешних снл, действующих в течение времени схС на промежутке времени от С до С+ с) С.
В данном случае таким импульсом служат продукты сгорания ракеты, которые отделяются от нее с абсолютной скоростью с — о(С) (с — относительная скорость отделения продуктов сгорания), поскольку отделяется (сгорает) масса М(с) — М(с ь схс), то (2) СХР = (с — о(С))(М(С) — М(С + ЬС)).
Подсшвив (2) в (!), получим М(С+ С!гС)о(С + Схг) — М(С)о(С) = (с — о(С))(М(С) — М(С + ЬС)), нли МС!го+ сгхМ+о(Ьо) = О. Разделив полученное на ххо и устремив С!го к нулю, имеем ВМ М+с — = О. оо Решение полученного дифференциального уравнения имеет внд ! о(С) = с!и — + се. М(С) (3) Постоянную ге определяем из начального условия: о(С)$, з —— О, т.
е. в начальный момент времени или, что то же самое, при М(С) = М скорость о равна нулю. Поэтому из (3) имеем со = -с!и у.. ! Следовательно, М М о = с 1п — = с 1п М(С) М вЂ” х ' где х — сгоревшая масса топлива. Если, в часпюсти, сгорит все топливо, т.е. х = М вЂ” ш, то ракета будет иметь скорость М о = с1п — — формула Йиолхооскоео, и гл 53. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 3.1.
Одиородаое уравнение. Уравнение вида М(х, р)г(я+ РС(х, р)бр = О, (1) где м, дг — непрерывные в некоторой области ю с !й' и однородные функции одной и той же степени, называется однородным. Напомним, что функция р называется одлородвой сомлели пт (ит — действительное число), если УС б (а, а) р(Сх, Су) ыС р(х, р), (х, и) б)9, с похюшью замены и = х сг(х) уравнение (1) сводится к уравнению с разделяющимися переменными х и (г.
5ло. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива она равна ит, скорость истечения из ракеты продуктов горения равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрешя силой тяжести и сопротивлением воздуха. м Пусть М(С), о(С) соответственно масса и скорость ракеты в момент времени С.
Тогда й(С) = М(С)о(С) есть количество движения ракеты. По закону сохранения количества движения справедливо равенство ЗО Гл, 1. Двффереициальиме уравнение первого порадка 32. Уравнение, сводимое к однородному. К однородному уравнению приводится следующее: Г-г(ьгх)а+ь) ( =, ь=, '=х2х (2) если а Ьз -азЬ| ~ О. Для этого достаточно полакить х = и+ а, у = е+Д и подобрать настоянные а, )3 таким образом, чтобы правая часть уравнения (2) приобрела вид у'(-~-„— Ьг-„- ~. Если же /а и-ЬЬ т т а~От — азЬ~ = О, то а~в+ Ь|у = Ь(азх+ Ьзу), (Ь = сопи). В этом случае уравнение (2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой х = азх+ Ьту. З.З.
Обобщенно-однородное уравнение. Уравнение вида (1) называется обобщенно-однородным, если существует такая постоянная а, что после замены у = з" оно становится однородным. Решить уравнения. 60. (у+ тГх' — у') дх — хду = О и Здесь функции М(х, у) = у+ хГх' — ут ((х( > (у1), гУ(х, у) = — х однородные и имеют стег1ень щ = 1, так как Ь(((х, !у) = !у+ /~ (х — у ) = 1 (у+ l*з — у ) = !Ьг (х, у) для ! > О (т.
е. а = О и Ь = +ос), а !т (!х, !у) =. -!х = !)т" (х, у) для любого С, Следовательно, данное уравнение однородное. Применив замену у = хи, получаем Ну = х да + и да, а уравнение преобразуется к виду (хи + ~ 4 ъг1 — и') дх — х(х ди + и дх) = О. (1) Очевидно, что х = О является решением исходного уравнения, поэтому считая, что в (1) х Ф О, получим звпхч'1 — и'Их — хди = О, Раздетая переменные и затем интегрируя, находим: дх ди у — — — звп х! и !х! = агсз(п — + С. ~х) ьг) — ит' х Принимая еще во внимание, что и = х! (т.е.
у = хх) также есть решения, окончательно записываем все решения данного уравнения: зйп х 1и 1х! = агсип — + С; у = шх; х = О. М у х Заиечавве. Строго говоря, решение х = О получается в результате допушелля, что у( — ут О = О для произвольных значений у. 61. ху' = у(1+ )п у — )п х). < Переписав уравнение в виде х ду — у (1+ 1п — ) Их = О (х > О, у > О), у! х~ обнаруживаем, что функции М(х, у) = -у () +!и ух) и )у(х, у) = х однородные одной и той же степени гл = 1. Поэтому, применив замену у = хи, ду = хди+ оИх, получим хди — и1пидх = О.
Разделяя переменные и интегрируя, находим (пх — 1п!1пи(= 1пС (и ~ 1), % 3. Одиорпаяме уравнения и уравнения, привадюииеся к иим 31 у=хе *. с* Заметим, что решение у = х, которое соответствует значению и = 1, входит в формулу семейства интегральных кривых при С = О. ~ 62. ау с~в ж (у' — х') Иу = О, М(1,!).
м В ланном примере требуется найти кривую, которая удовлетворяла бы дифференциальному уравнению и проходила через точку М. Прежде всею, находим все решения этого уравнения. Полагая у = хи, получаем и' дх+ х(и' — 1) Ои = О. Отсюда при и Ф 0 интегрированием находим ) з (и+ / — =1ПС, 1 1п)их)+ — = (пС, 2из или х +2у !и — =О. 2 2 )у) С (1) К полученному семейству присоединим еще кривую у = О. Дадее, подставив в (1) х = 1, у = 1, имеем С = ет. Поэтому требуемая кривая имеетуравнение х' + у'(1п у' — !) = О. м 63. (хуер +у') их — х ет г(у = О. м здес~ удобно применить замену х = иу тогда их = и иу+ у г(и, и г(у+ у (ие" + 1) ии = О, Ну (ие'-ь 1) би — — =О, !п)х)+ет = С.
)ь у и 64. (2„гху у— у) йх — х ду = О. < Очевидно„ху > О. Отбросив тривиатьные решения х = О, у = О, считаем, что ху > О. Полагая у = их (и > 0), имеем Иу = и Зх + х йи, 2 (ьгйьуп х — и) йх — х аи = О. (!) Если х > О, то отсюда находим (и ~ 1): дх 1 г 0и !у !их = — 1п)1 —,/й)+!пС, или х!! — )) — ~ = С. х 2./ тггй — и' Если же х < О, то полагая в (1) х = — х,, получим 2 (т/й+ и) бх, -ь х, Ии = О. Разделяя переменныс и интегрируя, имеем Гу~ х~ 1 Ч- г) — — = С, или — х (1+)) — ) = С. х1 х~ Обьединяя оба ответа (при х > 0 и при х ( 0) в один, окончательно можем записать х — з/ху у= С. (2) Заметим, что решение у = х (и = 1) входит в (2) при х > 0 (С = 0), а решение у = 0 вообще не входит. Поэтому все решения данного уравнения описываются формулой (2) с присоединением у = О.
Решение же х = 0 можно включить в (2) лишь формально, поскольку дифференциал 4 (х — гхуу) при х = 0 не существует. )н 65. ху' = усов!и — ". м Замена у = хи, (и > О, х ~ О) приводит к уравнению хи = и(со51пи — 1). Гл. 1. Диффеуеициальвме ууааненви первого иоряаяв 32 Считая, что 1п а Ф 2йе (и Ф е, Ь б Е), получаем йх йи г 4(йг и) )и(!х1С) = г! = сгй (1п 4й), х и(сов )и и — 1) ' соз1пи — 1 или 1п(Сх) = сГК1п )( —. (у Наконец, легко проверить, что ЧЬ б Е функция у = хе'"', х Ф. О, также является решением исходного уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
